Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Эллипс, гипербола и парабола 4) —,, — — '",, = 1; 5) а'х' — стух = 0; 6) ут = 2рх; 7) уд — о, = 0; 8) ух + а = 0; 9) ух = О. В соответствии с этим существуют семь классов линий второго порядка: 1) эллипсы: 3) точки (пары мнимых пересекающихся прямых); 4) гиперболы; 5) пары пересекающихся прямых; 6) параболы; 7) пары параллельных прямых: 9) прямые (пары совпавших прямых).
Уравненинэ 2) мнимого эллипса и уравнению 8) пары мнимых параллельных прямых не удовлетворяет ни одна точка. Упражнения 1. Приведите к каноническому виду уравнение Зх + 10ху -~- Зу — 2х + 2у — 9 = О. 2. Приведите к каноническому виду уравнение 9х — 24ху -~- 1бу — 34х — 38у — 9 = О. 3. Какого класса линию может определять уравнение второго порядка, если его леван часть раскладывается в произведение линейных мночленов? 4.
При каком условии на его коэффициенты уравнение второго порядка в декартовой прямоугольной системе координат является уравнением окружности? б. Система координат удовлетворяет условиям ~е~~ = (е ~ = 5, (енес) = = 7. Какая линна определяется в этой системе координат уравнением х + +у'=1? 6. Докажите, что сумма коэффициентов Л + С в уравнении (1) не меняетсн прн переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой такой л е системе. 3 2.
Эллипс, гипербола и парабола В предыдущем параграфе мы познакомились с классификацией линий второго порядка. Геометрические свойства только трех классов линий пе являются очевидными. Ими мы сейчас займемся. 1. Эллипс. Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением — + — =1 у аг Ьг при условии а > Ь > О.
Из уравнения (1) следует, что для всех точек эллипса ~х~ < а и ~у~ < Ь. Значит, эллипс лежит в прнмоугольнике со сторонами 2а и 2Ь. Точки порссеченин эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты (а, 0), ( — а, 0), (О, Ь) и (О, — Ь), называются вершинами эллипса. Числа а и Ь называются соответственно большой и малой полуослми эллипса. Гл. 111. Линии и поверхности второго порядки 70 В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты (х, у) какой-либо точки ЛХ ему удовлетворя- 6 ют, то ему удовлетворяют и координа- 1 ты ( — х, у), (х, — д) и ( — х, — у) точек ЛХг, ЛХ2 и ЛХз (рис. 27). Отсюда вытекает Предложение 1.
Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а нач ло канонической 3 — 6 ~г системы его центром симметрии. Ркс. 27 Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса а с центром в центре эллипса: хг+ дг = аг. При каждом х таком, что (х~ < а, найдутся две е, густ:Эгг р~ «. «е г ст:*'7Э. п1 р точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно ЬХа. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты Рис. 28.
Здесь 6Хо=1Х2 Рис. 29 1зсех точек уменьшаютсл в одном и том же отношении Ь1а (рис. 28). С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые ого фокусами. Пусть по определению с =а — Ь (2) и с ) О. Фокусами называются точки Рг и Ег с координатами (с,0) и ( — с,0) в канонической системе координат (рис. 29). Для окружности с = О, и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью. Отношение (3) называется эксцентриситвтом эллипса. Отметим, что г < 1.
Предложение 2. Расстояние от произвольной точки ЛХ(х, у), лежащей на эллипсе, до каждого иг фокусов (см. рис. 29) является ух. Эллипс, гипербола и парабола 71 линейной функцией огп ее абсциссы х: т1 — — ~Г~ М~ = а — гх, гг = ~ГгМ~ = а, + ех, (4) Доказательство Очевидно, что г11 = 1х — с)~ + уг.
подставим слода выражение для уг, найденное из уравнения эллипса. Ыы получим г =х — 2сх+с +Ь г,,г 2 г Ь х а- Учитывая равенство (2), это можно преобразовать к виду г, = а — 2сх+ — „= (а — ех) . г аТак как х < а и г < 1, отсюда следует, что справедливо первое из равенств (4); г1 — — а — гх. Второе равенство доказывается аналогично. Предложение 3. /[ля того чтобы точка лежала на эллипсе., необходимо и достаточно, чтобь1 сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а.
Необходимость условия очевидна: если мы сложим равенства (4) почленно то ви им. что у д г1 + гг = 2а. (5) Докажем достаточность. Пусть для точки ЛХ1х, у) выполнено условие (5), т. е. чп-сг -Ф=Ь вЂ” Iяттг'+Г. Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены: ч'(* '- г;-г (6) Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение (2). Мы придем к равенству Ьзхг+ азуз = = а'Ь-, равносильному уравнению эллипса (1). аг а С эллипсом связаны две заметгг гг 1 чательные прямые, называемые ег его директрисами Их уравнения 7 р, О ег Р~ п7г в канонической системе координат (рис. 30) х= —, х= — —. (7) Рис. зо Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу. Предложение 4.
Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса и расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса г. Докажем это предложение для фокуса Хг( — с,0). Пусть Ы1х, у) произвольная точка эллипса. Расстояние от ЯХ до директрисы с урав- ьл. ПХ. Линии и поверхности второго порядка нением х = — а/е по форхиуле (9) 2 3 гл.
11 равно дг = х+ — = — (ех+а). а 1 е е Из формулы (4) мы видим теперь, что гг/ь1г = г. Обратно, пусть для какой-то точки плоскости г<Хдг = е, т. е. 7(*+ г -'= (*е-') Так как е = сХа, это равенство легко приводится к виду (6), из которого, как мы знаем, следует уравнение эллипса. Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением.
Пусть ЛХо(хо,уо) - точка на эллипсе и уо у'= О. Через ЛХо проходит график некоторой функции у = Х(х), который цели'., (к, ° ь, ь ° .ь ь ь,(,ь = ьььь — *7Р, гг ь--.ьь ьькь=-ь,Г- г7г.н.ь ...н.ь,,ь, значим подходящую функцию Х(х).) для нее выполнено тождество 1Х(хИг аг Ьь Дифференцируем его по х: 2х 2ХХ' —., + —,=О. аг Ьг Подставляя х = хо и Х(хо) = уо, находим производну ю от Х в точке хо, равную угловому коэффициенту касательной: г Ь Х 1хо) = — —,—.
а' уь Теперь мы можем написать уравнение касательной; Ь хьь У вЂ” Уо = — —., — 1х — хо). о- уь Упрощая это уравнение, учтем, что Ьгхг + агут = агЬг, так как ЛХо лежит на эллипсе. Результату моькно придать вид (8) При выводе уравнении (8) мы исключили вершины эллипса (а, О) и ( — а,О), положив уо ф О. Для этих точек оно превращается, соответственно, в уравнения х = а и х = — а. Эти уравнения определяют касательные в вершинах.
Проверить это можно, заметив, что в вершинах х как функция от у достигает экстремума. Предоставим читателю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение (8) определяет касательную для любой точки ЛХо(хо, уо) на эллипсе. Предложение 5. Касательная к эллипсу в точке ЛХо(хо,уо) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами. Уй.
Эллипс, гипербола и ~арабвла 73 Доказательство Нам надо сравнить углы уг, и угг, составленные векторами г~ Мо и ргЛХо с вектором и, перпендикулярным касательной (рис. 31). Из уравнения (8) находим, что п(хогга,уо,гЬ2), и потому (КЫо,п) = —,(хо — с) + — '. ус = аг Ьг =1 — — ','= хгс с, — гхе аг а Рис. 31 Используя (4), мы получаем отсюда, что сог ~рг — — 1/(а~п~). Аналогично находим соя угг = 1/(а~п~).
Предложение доказано. 2. Гипербола. Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется ка- х=т аЬ чгР— агй-' Это позволяет указать координаты точек пересечения (аЬ7'в, оЬЬ,го) и ионическим уравнением (9) а- "Ьг Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы ~х~ > а, т. е. все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины 2а (рис. 32).
Ось абсцисс канонической системы ко- Мг ег М ординат пересекает гиперболу в точках с координатами (а.,О) и ( — а,О), назы- Ое ваемых вершинами гиперболы. Ось ор- мг Мг динат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они на- Рис. 32 зываются ее ветвями. Числа а и Ь называются соответственно вещественной и лгнимой полуосями гиперболы. В точности так же, как и для эллипса, доказывается Предложение 6. Для гиперболы оси канонической систелог координат являются осями симметрии., а начало канонической системы — ивнтрвлг симметрии. Длн исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат.
Уравнение прямой возьмем в видо у = йх, посколысу мы уже знаем, что праман х = О не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения х Йгх а'-' Ьг Поэтому, если Ьг — агкг > О, то Га. 1П. Линии и поверхности второго порядка ( — а61лц — лл66,го), где обозначено и = (Ьг — огйг)1л1г. В силу силлметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении 6 (рис. 33). Числитель дроби аЬлло постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при 6 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
