Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Так как тангенсы этих углов равны угловым коэффициентам прямых. мы получаем 1 + у~У) (10) Конечно, эта формула не имеет смысла, когда знаменатель дроби обращается в нуль. В этом случае прямые перпендикулярны. Действительно, согласно предложению 1 2 2 векторы с компонентами (1, йь ) и (1, кз) направлнющие векторы прямых, и их скалярное произведение равно 1+ Ь,йз. Ыы получили Предложение 2. Для перпендикулярности прял~их с угловыми коэффициентами Уь и кз в декартовой прямоугольной системе координат необходимо и достаточно вьтолнение равенства 1+ кьке = О. 9.
Некоторые задачи иа построение. а) Перпендикуляр из точки на плоскость. Проекция то ски. Если (г — го, п) = О уравнение плоскости и дана точка М с радиус-вектором Н, то прямая с уравнением г = Н+ сп проходит через ЛХ и перпендикулярна плоскости. Решая совместно уравнения прямой и плоскости, найдем ортогональную проекцикэ Ы на плоскость. Из (Рь — ге+ 1п,п) = О находим 1 и подставляем в уравнение прямой. Мы получим радиусвсктор проекции (В.
— гь, и) гь =Н вЂ”,' п. (пР Обратите внимание на структуру этой формулы; из радиус-векто- уЗ. Основные задачи о прлмых и плоскостях ра В. вычитается проекция К вЂ” го на нормальный вектор плоскости. Из этих соображений можно было получить ответ. б) Перпендикуляр из точки на прямую. Пусть прямая задана уравнением [г — го,а] = О и дана точка М с радиус-вектором В.. Вектор р = [В. — го, а] перпендикулнрсн плоскости, проходнщей через прямую и точку ЛХ.
Если точка не лежит на прямой, то р ~ О, и нектар [а, р] = [а, [К вЂ” го, а]] также ненулевой и перпендикулярен а и р. Следовательно, он лежит в указанной плоскости и перпендикулярен прямой. Итак, получено уравнение г = В.+1[а, [К вЂ” го,а]] перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Применив формулу двойного векторного произведения, .вы заметите, что [а, р] коллинеарен разности вектора К вЂ” го и его проекции на вектор а. Задачу можно было решить, заметив это свойство направляющего вектора перпендикуляра. в) Уравнение проекции прямой на плоскость. Его просто получитхч если не требуется находить направляющий вектор и начальную точку. Пусть заданная плоскость имеет уравнение [г,п) + +Р = О, а прямая уравнение [г — го,а] = О, причем [а,п] ф О.
Тогда плоскость [г — го, а, п) = О проходит через прямую перпендикулярно заданной плоскости. Таким образом, проекция прямой может быть задана системой из двух уравнений: (г — га,а,п) = О, [г,п) +Р = О. Направляющий вектор проекции Ъ - проекция а на плоскость. Она получается из а вычитанием из него его проекции на нормаль: Ъ=а — ',, п. [а, и) ]п[х За начальную точку может быть принята точка пересечения проектируемой прямой с плоскостью, если она существует, или же проекция начальной точки прямой. г) Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прялсгнм.
Пусть прямые с уравнониями г = гз + +1ах и г = ге+ 1аз не параллельны, т. е. [ам ах] ~ О. Вектор р = [а,,аз] перпендикулярен обеим прямым. Следовательно, плоскость (г — гы аы [аы аз]) = О [11) проходит через первую прямую и общий перпендикуляр к обеим прямым [рис. 26), а плоскость О [г — гз,аз, [ам ах]) = О [12) Рас. 26 г"л.
11. ХХрлмые ликии и плоскости через вторую прямую и общий перпендикуляр. Поэтому общий перпендикуляр можно задать системой уравнений (11), (12). Чтобы найти его начальную точку, можно решить совместно уравнение первой прямой и плоскости (12). Направляющий вектор (ам аз). 10. Пучок прнмых. Пучком прлмых на плоскости называется множество прямых, проходящих через фиксированную точку центр пучка.
Пусть Агх+ В«у+ С« = 0 и Агх+ Вгу+ Сз = 0 уравнения двух прямых, принадлежащих пучку. Тогда уравнение сх(А«х + В«у + Сг) + Д(Азх + Вгу + Сг) = 0 (13) при условии о + Д~ ~ 0 называется уравнением пучка прямых. Основанием для этого служит Предложение 3. ХХри любых о и Д (ох+ «Хз ф 0) уравнение (13) определяет прямую линию, принадлежащую пучку. Обратно, уравнение каждой прямой из пучка представимо в виде (13). Донате«и сначала, что коэффициенты при переменных в уравнении (13) не равны нулю одновременно. Для этого перепишем его в виде (оА« + «ЗАз)х + (оВ, + «3Вз) у + (ггС«+ ЗСз) = О.
Допустим, что сгА« + ДАз = 0 и оВ« + ДВг = О. Так как прямые пересекаются, А«Вз — АзВ« ф 0 и из предложения 9 32 вытекает, что значения о = О, «3 = 0 единственные, которые удовлетворяют этим двум равенствам. Но эти значения мы исключили. Таким образом, уравнение (13) определяет прлмую линию. Обозначим через хо, уо координаты центра пучка. По условию А«хо+ В«ус+ С« = О. Агхо+ Вгуо+ Сх = О, а потому хо, уо удовлетворяют уравнению (13), и прямая проходит через центр пучка. Вторая часть предложения будет доказана, если окажется, что через любую точку, отличную от центра пу «ка Мо, проходит пряман линия с уравнением вида (13).
Легко проверить, так ли это. Рассмотрим точку ЛХ«(хы у«), отличную от ЛХо, и обозначим и = А«х«+ Вгуг + Сы и = Азхг + Вгу«+ Сг. Так как наши прямые имеют только одну общую точку, числа и и о одновременно не равны нулю, и мы вправе положить н = — и, Х1 = и. При таких значениях о и Д координаты точки ЛХ«удовлетворяют уравнению (13).
Это означает, что соответствующая этим значениям прямая пучка проходит через Л1ы и предложение доказано. Заметим, что каждая пара чисел о и «3 (сез + «3з ~ 0) определяет в пучке единственную прямую, но каячдой прямой соответствуют бесконечно много пропорциональных между собой пар чисел. Если нам известны координаты центра пучка, то уравнение пучка можно написать в виде о(х — хо) + Д(у — уо) = О, 43. Основные задачи о пулмых и плоскостях положив, что пучок определяется прямыми х — хо = О и у — уо = О.
Впрочем, и без того очевидно, что это -. уравнение произвольной прямой, проходящей через ЛХо. Посмотрим на уравнение пучка прямых с несколько более обшей точки зрения. Систему из уравнений прямых, определяющих пучок, можно рассматривать как уравнение центра пучка. Поэтому уравнение каждой прямой пучка есть следствие этой системы.
Теперь наш результат можно сформулировать так. Предложение 4. Если система линейных уравнений имеет решение, тв некоторое линейное уравнение является ее следствием тогда и только тогда, когда оно есть сумма уравнений системы, умноженных иа какие-то числа. Мы доказали это предложение для частного случая систем из двух уравнений с двумя неизвестными. В общем виде оно вытекает из результатов гл. Ъ' о системах линейных уравнений.
Другими геометрическими интерпретациями этого предложения являются пучки и связки плоскостей. Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную прямую — — ось пучка. Уравнение пучка плоскостей имеет вид о(Ахх+ В,у+ Схх+ Рх) + П(Агх+ Взу+ Сгг+ Рг) = О, где ог + Пг ~ О, а в скобках стоят левые части уравнений двух различных плоскостей пучка. Связкой плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную точку . - центр связки. Уравнение связки плоскостей имеет вид о(Азх+ Вху+ Сзг+ Рз) + П(Лгх+ Вгу+ Сгг+ Р ) + +.у(Азх+ Взу+ Сзг+ Рз) = О, где ог +,Зг + ~г ~ О, а в скобках стоит левые части уравнений плоскостей связки, имеющих центр своей единственной общей точкой.
Предоставим читателю самостоятельно вывести эти уравнения, если он пожелает. 11. О геометрическом смысле порядка алгебраической линии. Пусть на плоскости дана алгебраическая линия Ь, имеющая в декартовой системе координат ура>знение Аз хь'у" + ... + А„х"'у' = О. (14) Рассмотрим произвольную прямую с параметрическими уравнениями х = хе+ ахь, у = уо+ агй (1б) Найдем точки пересечения Ь и прямой липин. Они будут известны, если мы найдем соответствующие им значения параметра й Это будут те значения, при которых х и у, выраженные по форму- гл. В. Прлмие ликии и плоскости лам (15), удовлетворяют уравнению (14).
Подставим (15) в (14): .4~(хо+ аг1)~'(ув+ аг1)ц + ... + А,(хе + аг1)~'(уо + аг1)ц = 0 (16) Раскрывая скобки в каждом члене, мы получим мпогочлены относительно 1 степеней йг + 1ы ..., К, + 1,. Их сумма будет многочленом, степень которого не выше, чем максимальная из степеней слагаемых. Но максимальное из чисел кг +1ы ..., к, + 1„-- это порядок линии г,. Поэтому степень уравнения (16) не превосходит порядка линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
