Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В Векгаорнал алгебра что векторы обоих базисов, имеющие разные номера, ортогональны: (е„е,*) = О при г' ф зй Нроме того, (еы еь) = 1 для всех г. Нетрудно проверить, что ортонормированный базис совпадает со своим взаимным. Предложение 10. Если е,,ег,ез - - базис, взаимный сеь,ег,ез, то произвольный вектор в раскладывается пв этим базисам так: а = (в,е',)ег + (а,е.*)ез + (а,е*)ез, (27) (28) а = (а,е~)е~ + (в,ез)ез + (в,ез)ез. Чтобы доказать (27), умножим равенство а = огег + озе + озез скалярно сначала на е*, затем на е.* и на е*.
Мы получим ог = (а, е*), оз = (а,е~), оз = (а,ез). Аналогично доказываетсн раяенство (28). Предложение 11. Есгт е,,е.'„ез базис, взаимный сеыег,ез, то базис е,*',ег",ез", взаимный с е~,ег,ез, совпадает с ег, ег,ез. Действительно, равенство (28), написанное для базиса е,е.',е*, имеет вид а = (а,е*,) е*, + (а,ег) е.*, + (а,ез) ез . Подставляя сюда вместо а последовательно еы ез и ез и учитывая, что (ее е*) = О при г ~ С а (е„е*,) = 1, получаем ег = е,"*, ез = е'* и ез = ез .
Числа (а,е~), (а,еа) и (а,ез) однозначно определяют вектор в с помощью векторов базиса еы ег, ез. Они называются кввариантными координатами вектора а в базисе еь, ег, ез. По отношению к базису е*„ег,е* это обычные координаты вектора. Обычные координаты, чтобы подчеркнуть их отличие от ковариантных координат, называют контрвариантными координатами. 11. О векторных величинах. В приложениях математики часто рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил и т. д.
Векторам, изображающим такие величины, приписывается размерность. Не вдаваясь в существо дела, мы ограничимся изложением формальных правил действий с размерностями. С формальной точки зрения, размерность это одночлеп, составленный из какого-то набора символов. Такие одночлены перемножаются и делятся, как обычные одночлены. Имеют место следующие правила действий с векторными величинами. ° Модуль векторной величины имеет ту же размерность, что и сама величина. ° Складывать векторные величины можно только в том случае, когда их размерности совпадают. При этом размерность суммы та же, что и у слагаемых. ° При умножении векторной величины на скалнрную их размерности перемножаются.
~д. Скаялрное, слешанное и векторное произведения ° Скалярное, векторное и смешанное произведения имеют размерность, равную произведению размерностей сомножителей. Это легко следует из первого правила, определений скалярного и векторного произведений и формулы Л10). Для того чтобы изобразить векторную величину на чертеже, мы должны условиться о масштабе: сколькими единицами длины (ллапример, см) мы будем изображать одну единицу данной размерности (например, км, ьл/с, 11). Если в векторном произведении сомножители имеют размерность длины, та произведение имеет размерность плошади. Масштаб для изображения единиц плолцади выбирается так, чтобы одна единица площади изображалась одной линейной единицей. При этом длина векторного произведения будет численно равна площади параллелограмма, построенного на сомножителях.
Поскольку единица длины у нас выбрана и на меняется, указанное соглашение ни к каким противоречиям привести не может. Однако оно не так безобидно, как может показаться. Именно, два математика, пользующиеся этим соглашением, но разными единицами длины (наприьлер, француз, пользующийся сантиметрами, и англичанин дюймами), для одних и тех же векторов нарисуют несовпадающие векторные произведения. Как связаны длины этих произведений. если дюйм равен примерно 2,5 см? Упражнении 1. Пусть в некотором базисе скалярное произведение вычисляется па формуле (2). Докажите, что базис ортонормированный.
2. Используя свойства скалярного умназкення, лаказките, чта высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке. 3. Найдите сумму векторных проекций вектора а на стороны заданного правильного треугольника. 4. Построены векторы, перпендикулярные граням пронзвальнага тетраэдра, равные по длине площадям этих граней н направленные в стороны вершин, противоположных граням. Докажите, что сумма этих векторов равна О.
б. Дав трехгранный утоп. Используя свойства векторного пранзвсдсппя, найдите выражение кякага-либо из ега лвугрвнных углов через плоские углы. 6. Пусть дан положительный базис аа ориентированной плоскости такай, что ~ел~ = 2, ~ез( = 3 и (ел, ее) = 2. Найдите плошадь ориентированного параллелограмма, построенного на векторах аЛ1, 2) н ЬЛ2, 1).
Т. При каком условии на матрицу перехода ат одного базиса к другому оба базиса ориентированы одинакова" .Вонрос поставлен как для плоскости, так и для пространства. 8. Какова размерность векторов взанмнага базиса е,',е*,,ел, если векторы базиса ел, ем ел измеряются в савтиметрах? ГЛЛВЛ И ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ 2 1. Общее понятие об уравнениях 1. Определения. Начнем с простого примера. Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат.
Рассмотрим сферу радиуса г, центр которой находится в точке Г с координатами (а,Ь,с). Сфера множество всех точек, отстоящих от центра на одно и то же расстояние г. Обозначим через (х, у, з) координаты некоторой точки М и выразим через них равенство ~РЪ~~ = г: (х — а)з ч- (у — Ь)з + ( — с)з = Возводя в квадрат обе части равенства, мы придадим ему более удобную форму (х — а)з + ~у — Ь) ч- (з — с) = гз.
(2) Очевидно, что это равенство выполнено для всех точек сферы и только для них, и, следовательно, его можно рассматривать как запись определения сферы при помощи координат. Равенство (2) называется уравнением сферы в рассматриваемой системе координат. Приведем пример из геометрии на плоскости. Графиком функции ~ называется линия Е, состоящая из точек, координаты которых связаны соотношением у = Дх). Если нас интересует в первую очередь линия, а не функция, мы можем встать на другую точку зрения и считать, что соотношение у = Дх) есть уравнение линии Л.
Вообще, под уравнением множества о в некоторой системе координат следует понимать выражение определения множества л' через координаты его точек, т. е. высказывание, верное для координат всех точек множестяа и неверное для координат точек, ему. не принадлежащих. Чаще всего уравнение представляет собой равенство, записанное ьчатематическими символами, но это вовсе не обязательно: оно может быть словесным описанием, перечислением и т, д, Например, высказывание "обе координаты точки — рациональные числа" мы будем считать уравнением соответствующего множества в какой-либо заранее выбранной системе координат.
Это должно звучать естественно для читателя, знакомого со способами задания функций. Часто уравнению множества точек в планиметрии можно придать вид Г(х, у) = О, а в стереометрии вид Г(х, у, з) = О, где Г функция соответственно двух или трех переменных. Уравнение сферы (2) у1. Общее понятие об уравнениях 41 имеет такой вид, если не замечать то несущественное обстоятельство, что член г' написан в другой части равенства.
Может случиться, что уравнение какого-либо множества удобнее записать в виде неравенства. Например,щар, ограниченный сферой с уравнением (2), имеет уравнение (х — а)~ + (у — Ь) + (з — г)з ( гз. Однако напрасно было оы надеяться разделить множества на такие, которые задаются равенствами, и такие, которые задаются неравенствами.
Действительно, равенство Ф(х, у,з) = Г(х, у, з) — ~Р(х, у.з)~ = О задает то же множество, что и неравенство Р(х, у, з) > О. Следует подчеркнуть зависимость уравнении от системы координат. При изменении системы координат меняются координаты точки, а потому уравнения одного и того же множества в разных системах координат, вообще говоря, различны. Обучаясь матоматике, мы знакомимся с логическими и математическими правилалеи, по которым из одного верного высказывания можно получить другое верное высказывание. Строгое изучение этих правил относится к специальной науке -- математической логике.
Мы же, формулируя приведенные ниже предложения, просто будем считать, что такие правила известны. Естественно поэтому, что о доказательстве этих предложений не может быть речи. ° Если Рл и Рт уравнения множеств 5 и Т, то уравнение пересечения Я П Т есть высказывание, состоящее в том, что Рл и Рг верны одновременно. Такое высказывание обозначается Ра Л Рг. В случае, когда Рл и Рт равенства, содержащие координаты точки, Гз(х„ у,з) = О и Рт(х.у,з) = О, уравнение пересечения есть система уравнений Рв(х,ууз) = О, Рт(х,у,з) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
