Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Может, конечно, случиться, что все коэффициенты этого уравнения равны нулю, и оно представляет собой тождество. Если исключить этот случай, то число корней уравнения и, следовательно, число точек пересечения не превосходит порядка линии. Мы доказали Предложение 5. Число точек пересечения алгебраической линии с прялгой, которая на ней не лежит целиком, ке превосходит порядка линии. Существуют линии, которые ни с одной прямой це имеют в принципе возможного числа точек пересечения, равного порядку линии.
Примерами могут служить линии с уравнениями хг + у~ = 0 или ( л+уз)з Пример. Архимедова спираль -- линия с уравнением г = сир в полярной системе координат пересекает каждую прямую, проходящую через полюс, в бесконечном числе точек. Следовательно, она не нвляется алгебраической линией. Упражнения 1. В декартовой прямоугольной системе координат даны аоординаты вершин треугольника А(20, — 1о), В( — 16, 0) и С( — 8, 6). Найдите координаты центра и радиус округкности, вписанной в треугольник.
2. Начало координат лежит в одном нз углов, образованных прямыми с уравнениями Агх+ Вгу+ Сг = 0 и А х+ В у+ С. = О. При каком необходимом н достаточном условии аа коэффициенты уравневнй этот угол острый? 3. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и пересекающей прямые с уравнениями х = 1 Ч- 2й у = 2 -Ь 3й г = — 1 и х = 4й у = 5 — бй з = 3 + 20 4. В декартовой прямоугольной системе координат найдите координаты центра и радиус сферы, проходящей через точку А(0, 1, 0) и касающейся плоскостей с уравнениями х + у = О, х — у = 0 и х + у + 4- = О. 5. В декартовой прямоугольной системе координат давы координаты вершин треугольника .4(1, 2, 3), В(1,5, — 1) и С(5,3, — 5).
Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника. 6. Напишите уравневия прямой, которая паралаельна прямой г = га -Ь ч-асс и пересекает прямые г = гг + ад и г = г -ь а к ГЛАНА Ш ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2 1. Исследование уравнении второго порядка В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением' Атз+ 2Вху -р Суз + 2Рх+ 2Ьу+ Р = О, % в котором коэффициенты А, В и С не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которые ему удонлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует.
С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид уравнения (1) не изменитсн. Нри повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол р старые координаты точки х,у будут связаны с ее новыми координатами х', у' формулами (8) 2 3 гл. 1 х = х' соя со — у яш р, у = х яш цз + у' соя:р.
В новых координатах уравнение (1) примет вид А(х' соя ьз — у' яш ф' + 2В(х' соя р — у' я1п Чз) х х(х'гйп со+ у'совр) + С(х'я1пуз+ у'сояЧз)~ + ... = О. Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно х', у' и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением х'у' в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и л1ы подсчитаем, что половина коэффициента при х'у' есть В' = —.Ая1пцзсояцз+ В(сояз аз — яшз,р) + Ся1пьзсоя~р.
Если В = О, то поворачивать систему координат не будем. Если же В ф ф О, то ныберем угол р так, чтобы В' обратилось в нуль. Это требование принсдет к уравнению 2Всоя2ьо = (А — С) яш2д. (2) Если А = С, то соя 2цз = О, и можно положить р = т14. Если же А ~ С, 1 Г 2В то выбираем р = — агс18 ~ ~. Для нас сейчас важно то, что хоть 2 *) Козффициенты при произволении переменных и при их первых степенях обозначены 2В, 2Р и 2Е, так как ниже часто будут употребляться половины этих козффициентов, Рл.
1П. Линии и поверхности второго порядка 66 один такой угол обязательно существует. После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение А'х'г + С'у" + 2Л'х'+ 2Е'у'+ Г' = О. (3) Выражения для коэффициентов уравнения (3) через коэффициенты (1) подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по- прежнему считаем произвольными. Сформулируем следующее вспомогательное Предложение 1.
Если в уравнение (3) входит с ненулввылг коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координатна В самом деле. пусть, например, А' ~ О. Перепишем (3) в виде 1У ~а Ер2 А' Аа/ А' Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами хн = х' + 11'1А', ун = у', то уравнение приведется к виду как и требовалось. А. Предположим, что А'С' ф О, т. е. оба коэффициента отличны от нуля.
Согласно предложению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведется к виду А'х' + С у + Е ' = О. (4) Могут быть сделаны следующие предполоячения относительно знаков коэффициентов в этом уравнении. А1. А'С' > О коэффициенты А' и С' имеют один знак. Для Рн имеются следующие три возможности. А1а.
Знак Гн противоположен знаку А' и С'. Перенесем Ен в другую часть равенства и разделим на него. Уравнение примет вид ег ог (5) аг Ьг где аз = — Ро1А', Ьз = — Ро/С' Можно считатьи что в этом уравнении а, > О, Ь > О и а > Ь. Действительно, если последнее условие не выполнено, то могкно сделать дополнительную замену координат х = у, у = х (6) Определение.
Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (5) при условии а > Ь, называется эллипсом, уравнение называется каноническилг уравнением эллипса, а система координат — его канонической системой координат. При а = Ь уравнение (5) есть уравнение окружности радиуса а. Таким образом, окружность .
частный случай эллипса. уй Нсслвдоваиив уравнвния второго порядка А16. Знак Гп совпадает с общим знаком А" и С". Тогда аналогично предыдущему мы можем привести уравнение к виду Пг Пг — + —, = — 1. х у (7) аг Ьг Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки.
Уравнение, которое приводится к каноническому виду (7), называется уравнением мнимого эллипса. А1в. Г" = О. Уравнение имеет вид (8) Ему удовлетворяет только одна точка хп = О, уп = О. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (8), называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых. Основанием для этого названия служит сходство с принеденным ниже уравнением (10).
А2. А'С' ( 0 коэффициенты А' и С' имеют разные знаки. Относительно Г" имеются следующие две возможности. А2а. Г" ф О. В случае необходимости, делая замену (6), мы можем считать, что знак Гп противоположен знаку А'. Тогда уравнение и иво итси к ви р д ду (9) аг Ьг где аг = — Го/А', Ь- = Гп/С'. Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (9), называется гиперболой, уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат ее канонической системой координат. А26.
Г" = О. Уравнение имеет вид (10) Кго левая часть разлагается на множители ахп — суп и ахп + суп и, следовательно, обращается н нуль тогда и только тогда, когда равен нулю хоть один из сампо'кителей. Поэтому линия с уравнением (10) состоит из днух прлмых. Эти прямые пересекаются в начале координат, и мы имеем, таким образом, пару пересекающихся прямых. Б. Допустим теперь, что А'С' = О, и, следовательно, один из коэффициентов А' или С' равен нулю. В случае необходимости, делая замену (6), мы можем считать, что А' = О. При этом С' ~ О, так как иначе порядок уравнения был бы меньше двух. Используя предложение 1, мы приведем уравнение к виду пз+2УУ и+Гп Б1.
Пусть Р' ~ О. Сгруппируем члены следующим образом: и С'упг+ 2Р'(хо+,) = О. Тл. 1П. Линии и поверхности второго порядка бз Перенесем начало координат вдоль оси абсцисс в соответствии с формулаьаи перехода х' = хн + Ео/211', у* = у". Тогда уравнение примет вид Сну*а + 2Р'х* = О, или уса = 2рх', (11) где Р = — В'ггС'. Мы можем считать, что Р > О, так как в пРотивном случае можно сделать дополнительную замену координат, изменяющую направление оси абсцисс: х = -х*, у = у*.
Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (11) при условии р > О, называется параболой, уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат . — ее канонической системой координат. Б2. Допустилй что 11' = О. Уравнение имеет вид С'унг + Го = О. Относительно Г" есть следующие три возможности. Б2а. С'Тго ( Π— — знаки С' и Ео противоположны.
Разделив па С', приведем уравнение к виду у — и =О. (12) Левая часть уравнения разлагается на множители ун+а и ун — а. Обращение в нуль каждого из них определяет прямую линию. Эти прямыо параллельны, и, таким образом, уравнение определяет пару параллельных прямых. Б2б. С'Ео > О -- знаки С' и с'о совпадают. Разделив на С', приведем уравнение к виду уггг+аг =О. (13) Этому уравнению пе удовлетворяют координаты ни одной точки.
Уравнение, приводящееся к каноническому виду (13), называют уравнением пары мнимых параллельных прямых. Б2в. Го = О. После деления на С' уравнение принимает вид (14) Это уравнение эквивалентно уравнению ун = О, и потому определяет прнмую линию. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (14), называется уравнением пары совпавших прямых. Сооерем вместе полученные результаты. Теорема 1. Пусть в декартовой системе координат задано уравнение второго порядка (1). Тогда существует такал декартова прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов: 1) — '., + —,=1; 2) —,+ У, = — 1; 3) азхг+сгуг=О; ао Ьг ах Ьг 92.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
