Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 21
Текст из файла (страница 21)
49). е1 7. Гиперболический параболоид. По аналогии с уравнением (14) мы можем написать уравнение х и —,, — —,=2г. ао Ьо (15) Поверхность, которая имеет уравнение вида (15) в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом. Исследуем форму этой поверхности. Для этого рассмотрим се сечение плоскостью х = се при произвольном се. В этой плоскости выберем декартову прямоугольную систему координат О', ег, ез с началом в точке О'(о, О, О). Относительно этой системы координат линия пере- ~1.
Поверхности второго порлдпо сечения имеет уравнение (16) Эта линия . — парабола, в чем легко убедитьсн, перенеся начало координат в точку О" с координатами (О,схзД2а-')).(Координаты втой точки относительно исходной системы координат О,ем ез,ез в пространстве равны (сх,О,сгзД2аз)).) Точка О", очевидно, является вершиной параболы, ось параболы параллельна вектору ез, а знак минус в левой части равенства (16) означает, что ветви параболы направлены в сторону, противоположную направлению ез.
Заметим, что после переноса начала координат в точку О" неличина сх не входит в ураннение параболы, и, следовательно, сечения гиперболического параболоида плоскостями и = сг при всех а представляют собой равные параболы. Будем теперь менять величину сх и проследим за перемещением вершины параболы О" в зависимости от сг. Из приведенных выше координат точки О" следует, что эта точка перемещается по линии с у авнениял1и .Р— у=О 2ог ' в системе координат О, ем ез, ез. Эта линия --. парабола н плоскости р = О.
Вершина параболы находится в начале координат, ось симметрии совпадает с осью аппликат, а ветви параболы направлены в ту же сторону, что и вектор ез. Теперь мы можем построить гиперболический параболоид следующим образолн запалило две парабо- ег В лы и будем перемещать одну из них так, чтобы ее вершина скользила по другой, оси парабол были М ---'а параллельны, параболы лежали но Р Я взаимно перпендикулярных плоскостях и нетви их были направ- К лены в противоположные стороны. Прн таКОМ ПЕрЕМЕщЕНИИ ПОдннж- Рис.
НО. О — неподаижиая паранан парабола описывает гипербо- лола, КВМ, КОР и г2В — р име лический параболоид (рис, осО) попожепиа пОдвижнОй парабопы Предоставим читателю проверить, что сечения гиперболического параболоида плоскостями с уравнениями х = а при всевозможных а гиперболы. Эти сечения нарисованы на рис. 51.
Гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, имеет два семейства прямолинейных образующих (рис. 52). Уравнения одного семейства-- Л( — — '~) = д, гл( — '+ л) = 2Лг, Гж 1П. Линии и поверхности второго порядка Рис. 51 Рис. 52 а другого— Л'( — '+ У) = р', )г'( — — и) = 2Л% Выводятся эти уравнения так же, как и уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида. Улражненнл 1.
Докажите, что линия пересечения поверхности второго порядка с плоскостью. которая целиком на ней не лежит, есть алгебраическая линия не выше второго порядка. Сколько общих точек могут иметь пряман и поверхность второго порядка? 2. Найдите уравнение и определите вид поверхвости, получаемой вращением вокруг оси аппликат примой линии: а) х = 1 Ч- г, у = 3 Ч- г, г = 3 Ч- г; б) х = 1 Ч- г, у = 1 '- г, г = 3 -~- г. 3. Докажите, что прямолинейные образующие гиперболического параболоида, приналлелгащие одному семейству, все параллельны какой-то одной плоскости. 4.
На гиперболическом параболоиде с уравнением (15) лежат параболы у = О, х = 2о г и х = О, у = -26 г. Пусть точки А1 и В1 па первой 2 г г параболе и точки Аг и В на второй все находятся на оциааковом расстоянии от плоскости - = О. Докажите, что прямые А1В, А1А,В1Аг и В1В являются прямолинейными образующими. 5. Найдите нроекцию линии пересечения двуполостного гиперболоида -хе -г уг — гг = 1 и конуса бхг — Зу -Р 4гг = О на плоскость г = О.
6. Докажите, что никакая плоскость пе пересекает эллиптический параболоид по гиперболе. ГЛАВА 1У ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ й 1. Отображения и преобразовании 1. Определение. Под отображением плоскости Р в плоскость Л понимают закон или правило, по которому каждой точке плоскости Р сопоставлена некоторая определенная точка на плоскости Л.
Гйы будем пользоваться обозначением 1; Р ->Л. Если потребуется указать, что точке з1 па плоскости Р соответствует точка В па плоскости Л, мы будем писать В = 1(з1). В этом случае точка В называется образом точки А, а точка .4 прообразам точки В. Подчеркнем, что совсем не обязательно каждая точка плоскости Л является образом какой-либо точки. Вполне может оказаться, что множество всех образов не совпадает с Л. Если для некоторого отображения плоскости Р и Л совпадают, то такое отображение называется преобразованием плоскости. Этот вид отображений целесообразно выделить, так как преобразонания обладают некоторыми свойствами, которыми не обладают отображения в общем случае.
Разумеется, можно говорить об отображениях произвольных множеств, а не обязательно плоскостей., но в этой главе, за исключением некоторых примеров, мы будем заниматься только отображениями плоскостей. 2. Примеры. Пример 1. Рассмотрим в пространстве две плоскости Р и Л и сопоставим каждой точке плоскости Р основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость Л. Так будет определено отображение, называемое ортогональным проектированием.
При ортогональном проектировании, вообще говоря, каждая точка плоскости Л имеет единственный прообраз. В одном случае ортогональное проектиронание резко меняет свои свойства. Именно, если плоскости взаимно перпендикулярны, то не каждая точка в Л имеет прообраз, а только точки, лежащие на линии пересечения плоскостей. Зато у каждой из этих точек бесконечно много прообразов: они заполняют перпендикуляр к Л, восстановленный из нее. П р и мер 2. Преобразованиями являются известные читателю параллельный перенос, поворот, осевая симметрия и гомотетия. П р и м е р 3. Рассмотрим прямую р и зададим число Л > О. Из произвольной точки АХ плоскости опустим перпендикуляр на прямую р 9б Гл. ХУ.
Преобразования плоскости и обозначим его основание через А'. Образ Х(М) точки ЛХ определим М соотношением А711ЛХ) = ЛХМ. Если точка М принадлежит р, то положим 1(ЛХ) = = ЛХ (рис. 53). Так построенное преобразование 1 называется сжатием к прямой р в отношении Л. (Если уточнено, что Л > 1, преобразование можно называть растялсвкиель) Мы уже пользовались сжатием к прям, мой в 9 2 гл. 1П, когда изучали фор- му эллипса. Аналогичное преобразование Рис.
53 пространства сжатие к плоскости применялось в 9 4 гл. П1 для описания формы поверхностей второго порядка. Пример 4. Выберем на каждой из плоскостей Р и ХХ декартову прямоугольную систему координат и сопоставим точке с координатами х и у на плоскости Р точку с координатами х' = хз — уз и у" = 2ху на плоскости ХХ.
Нетрудно убедиться, решая эти уравнения относительно х и у, что каждая точка плоскости ХХ имеет два прообраза, за исключением начала координат, которое имеет один прообраз. П р и мер 5. Зададим точку О на плоскости Р и сопоставим каждой точке, отличной от О, такую точку Х(М), что Π—,.(М) агсМОП О— )ОЛХ! Положим Х(О) = О. При этом каждой точке плоскости сопоставляется единственная точка внутри круга радиуса яХ2 с центром в точке О. Каждая точка, лежащая внутри круга, имеет единственный прообраз, а точки, не лежащие внутри круга, не имеют прообразов. П р и м е р 6.
Можно сопоставить каждой точке плоскости основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую р, а каждой точке на р саму эту точку. При этом каждой точке любой прямой, перпендикулярной р, сопоставляется одна и та же точка. Пример 7. Можно сопоставить каждой точке на плоскости Р одну и ту же точку на плоскости Л. Пример 8. Тазкдествеккым преобразованием плоскости Р называетсн преобразование, сопоставляющсе каждой точке плоскости эту же точку. 3.
Произведение отображений. Результат последовательного выполнения двух отображений называется их произведением или композицией. Точнее, вводится следующее Определение. Пусть даны отображения Х; Р -+ ХХ и я: ХХ вЂ” з — з Я. Отображение 6, сопоставляюшее точке А на плоскости Р точку 8~1(А)) на плоскости Я, называют произведением отображения Х 41.
Отобразяения и преобразования на отображение и и обозначают ф. Отображение, которое делается первым, пишется справа. Подчеркнем, что для того, чтобы сушестновало произведение двух отображений, нужно, чтобы плоскость, и которую отображает первое из пих, совпадала с плоскостью, которан отображается при втором. Для двух преобразований одной плоскости это условие аыполнено. Разумеется, произведение отображений зависит от порядка сомножителей, т, е, ф не совпадает с 1я. Оба произведения определены только тогда, когда $: Р 4 Л, а я: Л вЂ > Р.
При атом ф преобразоаание плоскости Р, а 16 преобразование плоскости Л. Зависит от порядка сомножителей и произведение преобразований, хотя оба произведения янляются преобразования- 1( (А)) 1(л(А ми той же плоскости. Действительно. пусть 1 параллельный перенос плоскости на вектор а, а и гомотетия с центром и точке О. Из рис. 54 видно, что 1(я(А)) отлично от я($(А)). Рке. 54 Рассмотрим свойства умножения для преобразований плоскости. Эти свойства с соотнетствуюшими изменениями могут быть перенесены на отображения, но мы займемся только преобразованиями. Умножение преобразований ассоциативно.
Зто значит, что для любых трех преобразований 1, я и и выполняется равенство (~6) й = 1(65). Действительно, для любой точки А преобразование 16 переводит точку о(А) и точку Г(й(Ь(А))), а преобразование Г переводит точку й(Ь(А)) и ту же точку ((6(Ь(А))). Если мы обозначим через е тождественное преобразование плоскости, то для любого преобразования 7 выполнено зе = е1 = Е Таким образом, тождественное преобразование играет ту же роль по отношению к умножению преобразований, как число 1 по отношению к умножению чисел. По определению при любом отображении 1: Р— к Л каждая точка плоскости Р имеет только один образ.
Примеры 4 и 6 показывают, что точка плоскости Л может иметь много прообразов, а в примерах 5, 6 и 7 не каждая точка плоскости Л имеет прообраз, т. е. служит образом какой-либо точки. Оп редел ен не. Отображение 1: Р— з Л называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости Л имеет прообраз, и притом только один. Разумеется, зто определение распространяется на преобразования. Отображения, рассмотренные и примерах 2 и 3, взаимно однозначны, а и примерах 4 7 .. нет. 7 Д.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
