Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Сколько различных тензоров можно образовать при помощи свертывания из тонзора типа (2,2)7 б. Докажите, что тензор из упр. 3 антисимметричен по любому подмножеству множества индексов. 7. Докажите, что для любого тензора типа (1, 1) выполнено равенство ю ь а, а, = а,',ап. В 2. Теизоры в евклидовом пространстве 1. Метрический теизор. Все, сказанное о тензорах в линейном пространстве, разумеется, справедливо и в случае евклидова пространства. Однако в евклидовом пространстве тензоры обладают многими свойствами, которых они не имеют в линейном. Определение. Сопоставим калздому базису евклидова пространства матрицу Грама этого базиса. Определяемый этим тензор у,.
типа (0,2) называется метрическим тенгором пространства. Как лзы видели в примере 5 2 1, справедливо П р е д л о ж е н и е 1. Сопоставим каждому базису евклидова пространства матрицу, обратную матрице Грима этого базиса. Это соответствие определяет тенэор уб типа (2,0). Определение. Тензор, построенный в предложении 1, называется контраариантным метрическил~ тензором.
Поскольку (Г )т = (Гт) 1 = Г ', контрвариантный метрический тензор симметричен: у =у Напишем равенство ГГ 1 = Е в тензорцых обозначениях: эь е у„.у' ' = б,. 2. Поднятие и опускание индексов. Наличие метрического тензора позволяет ввести в евклидовом пространстве еще две операции над тензорами . поднятие и опускание индексов. При опускании индекса тензору типа (р,д), р > 1, сопоставляется тензор типа (р — 1, д + 1), получаемый свертыванием данного тензора с метрическим тензором по тому индексу, который мы хотим опустить.
При этом порядок индексов сохраняется в следующем смысле. Мы отказываемсн от соглашения, согласно которому нижние индексы следуют за верхними. Для того чтобы отметить порядок индексов, над каждым нижним индексом и под каждым верхним индексом ставится точка. Например, при опускании первого индекса у тензора оо' мы получаем тензор био '„' = о,'.
18 Д.В. Беклеентпа 274 Гл. 1Х. Огневы ахвнзарнаб алгебры В действительности эти точки расставляются не всегда, а тогда, когда возможны недоразумения или неоднозначность в интерпретации формул. Часто можно обойтись без них. При поднятии индекса данный тецзор сворачивается с коптрвариантным метрическим тензором по тому индексу, который следует поднять. Результат будет тензором типа (р+ 1, д — 1).
Например, поднятие первого индекса у гх,'.7' дает и 7' = длхх,'а',, а поднятие третьего ад ы гх приводит к гх. — д и Пример 1. В 33 гл. 1711 был введен вектор, присоединенный к линейной функции на евклидовом пространстве. Строка коэффициентов хр линейной функции и координатный столбец вектора сх связаны фОрчуЛОй хр = О7Г. ПЕрЕХОдя От МатрИЧНОй ЗаПИСИ К тЕНЗОрцОй, МЫ получаем д, = сх дьо Итак, линейная функция получается из вектора ь опусканием индекса. Наоборот, вектор получается из функции поднятием индекса: гхг = д'ххбо П р и м е р 2.
К билинейной функпии Ь на евклидовом пространстве присоединено линейное преобразование А, матрица которого связана с матрицей билинейной функции равенством А = Г хВ. В тензорных обозначениях это может быть переписано как хь о, =д ')хь,. Мы видим, что тепзор А получен из тензора Ь поднятием первого индекса.
Мы можем сказать также, что Ь получается из А опусканием индекса, но здесь уже необходимо подчеркнуть, что при опускании верхний индекс становится первым нижним индексом; л. )4х, = дшсх:. То, что здесь это существенно, показывает Пример 3. В Х 2 гл. Ъ'Н мы определили линейное преобразование А', сопряженное дахшому преобразованию А.
В произвольном базисе их матрицы связаны равенством, которое можно переписать в виде ГА* = (ГА) г. Обозначим через и' и хх ' элементы А и А* и напишем это равенство в тензорных обозначейиях; к *ь Ухло.; = Ухьо х - — после опускания индексов один хан юр полу жегся из яру~ ох о транспонированием. Свертывая обе части этого равенства по индексу 1 с тензором д", мы получим д' ах*,д = д" дхьсх~; или *1 Л вЂ” чтобы получить один тензор из другого, надо поднять нижний индекс и опустить верхний.
3. Евклидовы теизоры. При изучении евклидова пространства часто можно ограничиться только ортонормированными базисами. При этом все формулы, связанные со скалярным произведением, р2. Тензоры в евнлидовом пространстве 27а значительно упрощаются, так как метрический тензор имеет единич- ную матрицу: (1, 1=7, (О, 1ф~. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к друго- му ортонормированному является ортогональной, т. е. удовлетворяет соотношению я ' = яг, а ее элементы связаны равенствами (2) Пусть мы ограничились ортонормированными базисами. Тогда в силу (2) закон преобразования компонент тензора имеет вид о'и"'Г = ~ ~и'...в "о'...о'се"'"' ". Р) и А ~н и "' ~, 71"' зп й -ло л,....,л, Здесь нарушились правила тензорной символики: индексы 1ы ..., с в левой части равенства верхние, а в правой --- нижние.
Кроме того, пРишлось написать знак 2 ', так как индексы сУммиРованин Йы ..., Йп оказались все сверху. Это признаки того, что равенство не является инвариантным (оно верно только в ортонормированных базисах). Формула (3) показывает, что, ограничиваясь ортонормированны- ми базисами, мы уничтожаем различие между верхними и нижними индексами: и тем, и другим в законе преобразования соответствуют одинаковые множители. Заметим еще, что в силу (1) в ортонормированном базисе совпада- ют компоненты тензоров, отличающихся друг от друга на поднятие или опускание индекса. Мы отмечали это в гл.
17П для векторов, при- соединенных к линейным функциям, и для преобразований, присоеди- ненных к билинейным функциям. Это легко проверяется и в любом случае. Мы имеем, например, о, ь = ддо, „. = о', ',, так как в сумме ь зп по 1 отлично от нуля только то слагаемое, где 1 = 7, а в нем дп = 1. Из сказанного следует, что, ограничинаясь ортонормированными базисами, мы можем отождествить все тснзоры, которые отличаются друг от друга поднятием или опусканием индекса. Точнее говоря, все тснзоры, имеющие в ортонормированных базисах одинаковые компо- ненты, мы объединяем в один класс и рассматриваем этот класс как некоторый новый объект - евклидов тензор. О п редел е н и е. В евклидовом пространстве размерности и за- дан евклидов твнзор валентности в., если каждому ортонормирован- ному базису сопоставлена в-мерная матрица порядка и. При этом ка- ковы оы ни были ортонормированные базисы е и е', элементы он и о',, „соответствующих матриц связаны соотношением 1 ч 1 (4) Все индексы у свклидовых тензоров равноправны, и мы пишем их внизу.
По повторяющимся индексам, как всегда, производится сум- мирование. 276 Гл. 1Х. Основы тензврнвй алгебры Числовые величины, не меняющиеся при переходе от одного ортонормированного базиса к другому., в гл. 17~!были названы ортогональными (или евклидовыми) инвариантами. Теперь мы видим, что это евклидовы тензоры валентности О. Компоненты евклидова тепзора в цеортоцормированных базисах не определены. Однако для каждого евклидова тензора валентности в можно определить эти компоненты так, чтобы получился тензор любого типа (р,а), где р + а = в. Для этого их нужно найти, исходя из компонент евклидова тснзора в ортонормированном базисе, при помощи закона преобразования компонент тензора типа (р,е7). Таким образом, каждый евклидов тензор порождается любым тензором из некоторого класса тснзоров.
Ясно, что все тепзоры этого класса отличаются друг от друга поднятием или опусканием индексов. Рассмотрим вектор евклидова пространства и присоединенную к нему линейную функцию. В ортонормированном базисе их компоненты совпадают, а в неортонормированном --. различаются.
В этом случае компоненты линейной функции называются ковариантными координатами евклидова вектора, определяемого рассматривасмьвл вектором. Это координаты вектора в биортогональном базисе. Важным примером евклидова тензора является так называемый дискриминантный тензор, определяемый длн некоторого ортонормированного базиса равенством ( 1)к(,..л.) (где гт' число нарушений порядка в соответствующей перестановке), если все индексы различны, и а„л„= 0 в противном случае. Как мы видели в упр. 3 ~ 1, компоненты такого тензора преобразуются по формуле в',, = ви л„с1егВ, что в случае ортогональной матрицы перехода дает вч л = ~сц ы компоненты дискриминантного тензора одинаковы во всех ортонормированных базисах одной ориентации с исходным и отличаются только знаком в базисах противо- поло'кной ориентации. Для неортонормированных базисов дискриминантный тензор доопределяется как тензор типа (О,п). Для евклидовых тензоров определены все тензорные операции, введенные для тензоров в ~ 1.
Определения, а также формулировки и доказательства свойств этих операций были бы почти досланным повторением сказанного, и мы не приводим их. Заметим только, что для евклидовых тснзоров свертывание возможно по любой паре паре индексов, и транспонировать, симметрировать и альтернировать можно по любому множеству индексов. Например, если, ограничиваясь ортонормированными базисами, мы отождествим квадратичную форму с присоединенным к ней линейным преобразованием, то полученный новый объект — евклидов тснзор валентности 2 — будет иметь инвариантную свертку (как линейное преобразование) и инвариантно будет удовлетворять условию симметрии аг = о,, (как квадратич- дд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
