Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 66
Текст из файла (страница 66)
5. Так как базисные векторы равны по длине, векторы е1 -Ь ез и е1 — е взаимно перпендикулярны. Удобно выбрать оси декартовой прямоугольной системы координат направленными вдоль этих векторов. Укозания и ответы к упражнениям 287 2. Факт очевиден, если использовать результат упр. 3. Но попробуйте доказать это непосредственно. 5. Непосредственный поцсчет не слол|ен, но можно ввести декартову прямоугольную систему координат, оси которой направлены вдоль радиусов,и сослаться на результат упр. 6 81.
6. Пранедите касательную ь параболе, параллельную данной прямой. 6. Посмотрите на упр. 4. 1. Следует различать два случая: когда перессчевие есть прямая, и когда оно -- пара совпавших прямых. 5. Решение. Уравнением линии пересечении нвлнется система бх — Зу 64х =О, — х +у — х =1. Если мы исключим з (т. е. найдем его из второго уравнения и подставим в первое), то получим уравнение хз ф уз = 4.
Это уравнение следствие системы, и потому определнет множество, содержащее линию пересечения. Так как в уравнение не входит з, это множество -- цилиндр с образующими, параллельными ез. Пересекая цилиндр плоскостью х = О, мы получаем окружность с уравнением х = О, з: + у = 4, на которой лежит проекция. Однако проекцин не совпадает с окружностью. Исключая тч мы должны были запомнить )словие х- = — 1 — х +у ) О.
Итак, проекция -- две дуги окружности: х- -~- у = 4, у — хз ) 1 на плоскости = О. 6. Гипербола не умещается в полуплоскости. Глава 1Ъ' 8. Посмотрите, во что переходят начало координат и базисные векторы. 9. Множества образов нсех точек при линейном неаффинном преобразовавии - прнмая линия или точка. 11. Гомотетия с центрам в точке пересечения медиан.
1. Преобразуйте плоскость так, чтобы две из прямых перешли в аси координат. 3. Искомые направления совпадают с теми, о которых идет речь в предложении 7. 4. Обратите внимание на то, что прямая, имеющая единственную общую точку с параболой или гиперболой, не обязательно нвляется касательной. Глава Уу 3. б) Коэффициенты разложения те же, что и в упрощенной матрице. 4. Что означает теорема о базисном миноре при Вд А = 17 Указания и ответы к улразсненилзс 288 б. Элементарными преобразованиями строк обратите в нулевые все строки, кроме отмеченных. 6. Оцените ранги матриц ()А)В)), 'цА)А 4- В)!.
36 4. Используйте упр. 3, б) из 83 и способ построения матрицы (8) из 86. Глава Ъ| 2. Вектор с координатами Ь', (, Ь~, Ь~ принадлежит К тогда и только тогда, когда совместна система уравнений с неизвестными а и с1: 1 2 3 4 5 б 7 8 4.
Для нахождения линейных зависимостей между векторами ьсолсно привести матрицу из их координатных столбцов к упрощенному виду с помощью элементарных преобразований строк. Находим, что ас, и и Ьс 1 1 линейно независимы, а Ьз = — а1 — — из+ ЗЬь Поэтому з = а1 — а = 4|Ьз— 4 4 — ЗЬ1) принадлежит .х' Г|.К . 3. В инвариантном подпространстве нечетной размерности найдется собственный вектор. 8.
Т = Е. Отсюда следует, что Л = 1. 9. А '.4ВА = ВА. 10. Воспользуйтесь теоремой 4. 36 6. Если В матрица билинейной функции, то ВЕ = О система уравнений ее нуль-пространства (см. Упр. э). Пересечение нуль-пространств всех форм задается системой В( = О. Поместим в атом пересечении последние я, — Й базисных векторов. Т. Если А~АЕ = О, то 4~А~А4 = (А~)~(АЕ) = О, и потому Ас = О.
8. Найдется верхняя треугольная матрица Я такая, что о~ВЯ = Е (сьс доказательство критерия Сильвестра). 9. Пусть к(хс) > О, а |с(хз) < О. Рассмотрим многочлев к(|хс 4- хз) от переменной й б. Индукции. Разложите детерминант по столбцу, не пересекающему подматрицу. 6. При произвольном я иидунция по Ь. Разложите по первому столбцу.
8. Используйте результат задачи 7, а). 9. Пусть общий корень и Умпожим первый столбец на |з, второй— на 4, третий на 1 и все прибавим к четвертому столбцу. Указанил и ответы к упражнениям 289 Глава М11 4. б) Если вы нашли такую матрицу, то постарайтесь с ее помощью построить матрицу такого типа вдвое большего порядка. Что это за матрицы длн п = 1 и и = 2? б. Л = Ят "1. 6. Чтобы найти инвариантные полпространства, представьте характеристический многочлен Л + 1 как (Л + чГ2Л + Ц(Лз — чГ2Л + Ц и воспользуйтесь предложением 8 8 4 гл. Лг1, Второе подпростравство ортогональное дополнение первого. 7. См.
задачу 9. 3. Преобразование унитарного пространства, имеющее такую матрицу в ортонормированном базисе, нвляетсн унитарным. Глава У111 2. П = 4, г = 2. Малая квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно полуопределенвой. ОТВЕТЫ Глава 1 31 1. )ВСЦСА! = Л?'(1 — Л). 2. АС(1,1/2). 3. (5,— 3).
1 4. Точка пересечения медиан: АО = -(АВ+ АС). 3 1. (1, Ц. 2. П(х~ — х + хз, Ш вЂ” Ю т уз). 4. х = гсоэ1осоя В, у = гвш асов В; з = гжпВ. 33 1. о = ао', х = ах' -1- ае. Координаты уменьшаются вдвое. 2. х = -(-х' -~- у'+ Ц, у = --(х' + у' — Ц. 2 2 3. О .— противоположная О вершина параллелепипеда, построенного на базисных векторах. Концы соответствующих базисных векторов совпадают.
34 3. (3?2)а. б. соаВ = (соэо — созДсозу)?(зшДзшч). 6. — 12ь'2. ~9 Д.Б. Беклемишев Указания и ответы к упражненияж 290 7. Необходимо и достаточно, чтобы детерминант матрицы был положителен. 8. 1см) Глава П 1.х +у =4. З.ха+ху+у — х — у=О. 4.х +уз=4з. ~2 1. х = 2 — 21, у = 2-1-1, х = 1. 2. х = 1 ж 21з 31ъ у = 1з, х = 1х 3.
12,0,2), гз = — 1, гз = 1. 4. Зх — 2у — бе+ 4 = О. 1а,Ь) В~аз О пз 5. а) г = — '', -~- 1а; б) г = — —, — =, + 11пы пз). )а)з ' (п~)е )пз(а ~3 1. О( — 8, Ц, г = 4. 2. (АзАз+ ВзВз)С~Се < О. 3. х = 81, у = 651, х = 495 2 11 чз2 4. Оз(О, 2, 1), г! = чз2; Оз (О, —, -), з з = —. '3'3)' 3 (8 5 40) 1г~ — ге, ае, аа) 6. г=г, +аз ' ' +аег. 1ае, аы аз) Глава 1Н ж у" 1. — — =1; = — 1х — у) — —,у= — (х+у)+Г. 2' нз2 2 и, з 4х ' Зу-~-1 з — Зх-~-4у — 1 2.у' =2х';х'= ',у'= 3. Возможны: пары пересекающихся, параллельных и совпавших прямых. 4. А = С, В = О, В + Ез ) АЕ. 5. Эллипс с полуосями 4чз2 и Зчз2.
3. Для эллипса, параболы и ближайшей к фокусу ветви гиперболы г = = р/11 — всое1о). Для второй ветви гиперболы г = — рзз11+ есоэ р). 5. —, + —. 6. 2чз2. 8. Прямая соединяет точки касания касательных, проведенных к линии из данной точки. 33 1 11 4. О( — —,— ); Зх+у+1 =О, х+Зу — 1 =0. 2' 2) 5. Пара пересекающихся прямых. 7. х — Зу -ь 3 = О. Указания и ответы к улрозсненилм 291 2. а) Однополостный гиперболоид х + у — 2з'+ 4» = 4; б) конус х -~- ул = 2(х — 2) . 3.
Для гиперболического параболоида, заданного каноническим уравнением, нормааьныс векторы плоскостей п~(Ь, а, О) и и ( — 6, во О). Глава 1Лг 31 1. б) Да; в) пет. 2. ((86) ' = Ь '3 'Г', 3. х" = 5 — у, у* = 5 — х. 1. а) Да. б) нет. 2. Пряман у = 3. 4. (1, 1). 6. Свободные члены заменятся на нуль. Т. и) х* =Ьзх-ьа у";с.; 1 1 б) х" = о|х -~-261у+ си у" = 61х+ о1у -Ь си у" = — азх+ Ьзу -Ь вЂ” сз. 2 2 8. у = х 68 —. 9.
Нет. 2 10. В любом случае — — векторы, коллинсарные ем при о -~-6 ф 0 еще и коллинеарные (а 4- Ь, — 1). 1 „! 11. х,* = — — х, у* = — — у. 2 '' 2 12. Осеван симметрия относительно у = — х 18 —. е 2 1. 1/3. 3. Векторы, коллинеарные нектару: а) а(3, 2); б) Ь( — 2,3). Соответствующие растяжения: а) 2ъ/266; б) х/26. 6. а) Ось олной симметрии перпендикулярна в, ось другой получена из нее параллельным переносом на (1/2)а. б) Оси обеих симметрий проходят через О, ось второй получена поворотом оси первой иа угол 9о/2.
7. ф, где г: (х" = х, у* = Лу — а), 3: (х = х, у = у + а); Е сжатие к прямой у = — а/(1 — Л). Глава У 31 1 3 1. а) 7 9, б) 9; в) 48, не считая ее самой. 2. а) Нет; б) да; в) да; г) нет; 3. 2В. 4. В = (3 — 2Л)А — (1 4- Л)В+ ЛС, Л произвольно. б. а) Нет; б) нет. 6. Нет, а = 2Ь вЂ” с. 32 2. а) Да; б) нет. 4. а) Нет. б) да. Уяазанил и ответи л улражяениллг 292 а — (а -~-1)/Ь вЂ” а 1 0 0 — 1 3 — 2 0 — 1 1 , где а и Ь ~ 0 произвольны. 8. 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1/2 0 0 1 0 0 2 0 1 1 1 2 1. а) К8 А = 2, базисная подматрица, например, 3 2 1 б) ()7 8 9(( = 2()4 5 б(( — !)1 2 3)(; б = 2 5 — 4 9 8 7 г) 9 все квадратные подматрицы второго порядка. 2.
а) Ранг ве больше двух; б) Ранг не больше и/2. о 1 2 7 = — 3 3 44 4 9 5 б 1 0 — 1 — 2 — 3 3. а) 0 1 2 3 4 ; б) 0 0 0 0 0 94 1. о" йеЬА. 4. 46. 7. б) Ь = г)еьА, й = ~( — 1)'"Ао, элемента ао матрицы А. 8. (Зч + 1)/2. 10. 10. где д, дополнительный минор 2. 1 А — Ь ал — Ьс — с а 36 — 1 — 1 1 0 0 1 4. ( л (. 5. а) Не сУществУет; б) Ат Е„ — 1 1 4-с 0 1 — 2 1 5. а) Матрице ( — Е) отвечает центральная симметрия, а 1 поворот иа л/2; Указание и ответы к упражнениям 293 Глана Ъ1 1.А=~а, Е, . 2. п(п+ 1)/2.
За базис можно привить матрицы Ее (1) Я стандартного базиса простраиства квадратных матриц порядка и. РЯ = р1а) -Ь р'(о)(1 — а) -Ь вЂ” ро(о)Н вЂ” о) + — р'о(иЯ вЂ” а)' (штрих обо- 2 б зиачает дифференцирование по 1). 4. ~~ раскладывается по еб Ге раскладываетсн по сы е; Гз раскладываетсн по еы е, ез, '—.; Г„1 раскладывается по сы ..., е 5. Ориентированы одивакоао. 32 1. НапРимеР, ам а . 2. ~ 24 — Зс +с =О.
3. Например, линейная оболочка векторов ез и еь 4. а) аъ аи бц б) а1 — а . 5. а) Да; б) да; в) иет. 2 — 1 0 0 0 0 ' 2 — 1 1. а) 1 2 3 0 0 0 в) О О 0 ' 1 2 3 2. Ипъективио при Нд С = 2. Сюръективпыы быть ке может. 3. а) Нет; б) да. 7.
а) Нет; б) да. 34 А~~О 5. , где А1 — квадраткап полматрица порпдка г и ранга г. О О 7. Для Л1 = 7 базис в собствевиом подпрострацстве векторы с коордииатами 9 1 — 2 О 9~ и 9 0 3 1()~. Длп Л = — 7 собственный вектор с координатами 9 2 1 — 3 9~. 8. Для Л~ = 1 собственное подпростраиство .— множество симметричиых матриц. Для Лз = — 1 собственное подпространство мвожсство кососимметричиых матриц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
