Д.В. Беклемишев - Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (1112306), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Внешнее умножение. Как для поливекторов, так и для внешних форм определена операция внешнего умножения. В обоих случаях операция определяется одинаково и имеет одни и те же свойства. Обычно она употребляется для внешних форм. 282 Гл. 1Х.
Основы тензорной алгебры Определение. Пусть даны внешние формы со и В степеней р и а. Обозначим через [ол,В] внешнюю форму степени р+ д, равную тонзорному произведению ш и В, альтернированному по всем индексам. Внешним произведением форм ш и В называется [р+ а)-форгиа ш Л В = [Р ~)' [ш, В]. р! й! П р и м е р 2. Если аг' и шг линейные формы с компонентами ш,' и ш-, то ш' Л агз имеет компоненты м Это билинейная функция с кососимметричной матрицей.
Тензорное умножение дистрибутивно по отношению к сложению, а результат альтернирования суммы равен сумме альтерпированных слагаемых. Поэтому внешнее умножение дистрибутивно по отношению к сложению: для любых форм В', Вз одной степени и любой формы ш [в'+вз)л =в'л /-ьвзл /. Легко видеть, что умножение внешнего произведения на число равносильно умножению на это число любого из сомножителей. Рассмотрим три внешние формы оо', шз и шз степеней р, а и г и произведение [оо' Л шз) Л шз.
Компоненты [[ш',соз],ооз] равны 2, З З 2 З а~[[0 .лршгы.иг)оь1 ..ь ) о~[и..лр"~д .о о~вы..ь ) [10) так как в силу предложения 7 8 1 внутреннее альтернирование дает [р+ с7)! одинаковых членов. Понять, что здесь происходит, проще всего на таком примере. Пусть р и 6 суть 1-формы, а ш — 2-форма. Тогда компоненты формы [[р,зб], ш] равны 1 1 р[[ггдй ьй = — ~рфг ~ай — — РПДГ.
мр Так как второе слагаегзое антисимгзетрично по всем индексам, оно отличается знакома от первого, и внутреннее альтернирование может быть и оп ено: р ущ РРФг) и) = РРА1 'а Р Точно так же внутреннее альторнирование можно пропустить и при вычислении компонент [оо', [ооз,шз]]. Вместе с [10) это дает [[ш', 2]: "] = [ ', [ ', з]] Сравним множители, которые надо добавить, чтобы получить внешние произведения. Они одинаковы; [р+й+ )'[р-ьй)' [и+в+ )'[й+ )' [р -Ь й)! г. 'р! й! (й -~- г)! р. 'а! г.' Из сказанного следует ассоциативность внешнего умножения ш Л[ш Лоо)=(ш Лш)Лш. ру. Лоливекторы. Внешние формы 283 Отсюда следует Предложение 5.
При внешнелл уллножении мутативны, если хотя бы одна из них четного ллутативньл, если оба порядка нечетные. внешние формьл компорядка, и антиком- Упражнения 1. Функция от двух векторов в трехмерном евклидовом всктораом пространстве сопоставляет любым двум векторам х и у смешанное произведение 1а, х, у), где а — фиксированный вектор. Докажите, что зта функция 2-форма. Выразите ее матрицу а заданном базисе е через координаты вектора а. Это позволяет нам говорить о внешнем произведении любого числа внешних форм без упоминания о расстановке скобок.
В частности, базис в пространстве у-формч построенный в предложении 4, состоит из внешних произведений ' =ри Л...Лр'. Заметим в качестве еще одного примера, что простой р-вектор, образованный векторами хл ч ...,хр, есть их внешнее произведение. Исследуем перестановочность внешнего умножения. Пусть О р-форма, а ш .--. у-форкла, и каждая из них разложена по соответствую- щему базису. Вычисляя О Л ил, мы воспользуемся дистрибутивностью и получим сумму Оч,, ичн Р" Л ... Л Р" Л Рд' Л ... Л Рхц Л11) лл«..ыбл«" оч При вычислении ич Л О возникнет аналогичная сумма: или чу„,,рд' Л ... Л ры Л ри Л ... Л р".
Л12) чч(..(чр,чч(.. (Оч Числовые коэффициенты, разумеется, перестановочныч и вопрос сво- дится к возможности переставить базисные 1-формы во внешнем про- изведении р" Л ... Л р" Л рн Л ... Л р' . Рассмотриьл коьлпоненту этого произведения с произвольным набором индексов 1л, ..., 1рл.д, Она рав- на ччлч. чч ьч... ь„.ч Сравним эту компоненту с соответствующей компонентой другого произведения ь, л;,д, Мы должны переставить каждый из р индексов л через у индек- сов дй Так как обобщенный символ Кроллекера антисимметричен по верхним индексам, это вызовет умножение компоненты на ( — 1)гд.
Все слагаемые в (11) и 112) отличаются на этот множитель, и потому О Л ш = 1 — 1)ядш Л О. 113) 284 Гл. 1Х. Основы тензорноб алгебры 2. ПУсть 4,", ..., 4орй линейво незанисимые вектоРы в и-меРном линей- НОМ ПРОСтРаНСтВЕ. ДОКажнтЕ, Чта бИВЕКтОРЫ 24ьо~~' ДЛЯ ВСЕХ )г < ) СОСтааляют базис в пространстве бивекторов пространства .хг. 3. Пусть хы ...,хр -- базис надпространства 2е С 'х'. Назовем направляющим р-вентором надпространства ш = хг Л ...
Л хт Докажите, что: 1 а) вектор у лежит в хг тогда и только тогла, когда у Л ш = О; б) любые два направляющих р-вектора подпространства х' отличаются один от другого на числовой множитель:, в) если пространство евклидова, этот множитель равен отношению объемов ориентированных параллелепипедов, построенных на соответствующих базисах. УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ ОБШИЕ ЗАМЕЧАНИЯ В конце каждого параграфа приведены упражнения, относящиеся к материалу данного параграфа.
Решая их, надо иметь в виду, что получение верного ответа необходимо, но не ово является основной целью. Эта цель посмотреть на конкретные частные случаи общих фактов, поупражняться в применении методов, изложенных в соответствующем параграфе. Поэтому не все предлагаемые способы решения одинаково полезны. Часто встречаетсн тенденция решать задачи не теми методами, которые в данный момент изучаются, например, в начале изучения аналитической геометрии студент бывает склонен решать предложенные ему задачи методами элемевтарной геометрии.
Это бессмысленно: элементарная геометрия уже изучена, сейчас нужно овладеть новым материалом. Иногда есть возможность догадаться, каков должен быть ответ, а затем проверить свою догадку. Это, конечно, прекрасно, но мало чему учит. Сделав ато, подумайте, как бы вы стали решать, если бы вам не удалось догадаться. Как правило, решение задач не требует длительных рассуждений или громоздких вычислений. Если найденный вами способ решения трудоемок, посмотрите, вельзя ли сделать задачу иначе. В векоторых упражненинх указания приведены для того, чтобы обратить внимание читателя на тот путь решения, который кажется автору предпочтительным. В любом случае перед тем, как окончательно остановиться на определенном способе решения, полезно сравнить его с другими возможными способами.
После того как решение получено, подумайте., нельзя ли получить его проще. Ответы ко всем упражнениям приведены, но и жизни приходится решать задачи без готовых ответов, и потому полезно выработать в себе привычку делать пропсрку. Там, где это оозмол1по, слодуст подставить полученный ответ в условие задачи и убедиться, что оп удоплотворнет условию. Это, однако, не гарантирует, что найдены все возможные решении задачи. Если полная проверка невозможна, то следует проделать частичную проверку: уловзетворнет ли полученное решение хотя бы части условий залачи и естественным требованиям, которым оно необходимо должно удовлетворять (скажем, является ли вычисленная длина положительной)'? Сколько решений должна иметь задача из общих соображений? Совпадает ли размерность найденной величины с размерностью искомой? Верна ли найденная общая формула в простейших частных случаях? Важно обратить внимание на обоснованность ответа.
Особенно это относится к задачам на доказательство, которые можно рассматривать как задачи с готовым ответом. Не каждый текст, заканчивающийся словами "что Указания и ответы н улранснвнияхз 286 и требовалось доказать", является доказательством. Здесь трудно дать общие рекомендации, однако, закончив доказательство, задайте себе два вопроса: положились бы вы на это рассуждение, если бы от его результата зависело что-то очень важное для вас, или потребовали бы дополнительных гарантий' ? Если бы кто-то привел вам это доказательство, то что бы вы возразилиу Часто ошибка в рассуждении находится там, где написано "очевидно".
Вы в этом уверены, но на чем основывается эта уверенность'? Очевидные вещи тем и хороши, что их легко доказать. Если нет полной ясности, то копайтесь, пока ее не будет. Приведенные ниже указании к задачам иногда иьзеют формзу утверждения. На такое утверждение надо смотреть как на вспомогательный результат, который еше нужно проверить. УКЛЗЛНИЯ Глава 1 4.
Если такая точна сущсстнует, то РА -~- РВ -~- РС = ЗРО для любой точки Р. 3. Разложите в по сторонам треугольника. Проекция линейной комбинации равна линейной комбинации [с теми же коэффициентами) проекций этих же векторов. 5. Заметьте, что [[я, Ь[, [а, с]) = (в, [Ь, [я, с))). Далее можно применить формулу двойного векторного произведении. Это преобразонание бывает полезно и в других случаях.
Глава 11 5. Если два данных невтора не ьоллинеарны, то часто бывает удобно использовать базис, составленный из этих векторов и их векторного произведения. 2. Если умножить уравнение на пгп сззпбпднлнз член, то снпбпдный члон полученного уравнения будет положителен. Глава 111 2. Члены второй степени составляют квадрат двучлена Зх — 4у. Мы не можем положить у' = Зх — 4у, а' = з, так как при этом мы перейдем к непрямоугольной системе координат. Но замена у' = [ — Зх ф 4у)?'5, х' = [4х Ь Зу)?'5 переводит прямоугольную систему в прямоугольную.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
