Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Для ее определения достаточно знать, например, либо начальное смещение, либо начальную скорость. Наличие в решении только одной произвольной постоянной связано с тем, что уравнение (40.6) — первого порядка по времени, в отличие от (40,2), которое является уравнением второго порядка. Впрочем, на энергию в уравнении (40.6) можно смотреть как на параметр, который может принимать любые положительные значения, определяющиеся начальными условиями. Тогда уравнение (40.6) становится полностью эквивалентным уравнению (40.2).
4. Все изложенное здесь применимо к гармоническим колебаниям любых механических систем с одной степенью свободы. 1'(гновенное положение механической системы с одной степенью свободы может быть определено с помощью какой-либо одной величины д, называемой обобщенной координатой, например угла поворота, смещения вдоль некоторой линии и пр.
Производная 1) обобщенной координаты по времени называется обобщенной скоростью. При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы за исходное удобнее брать не уравнение движения Ньютона, а уравнение энергии. Его обычно легче составлять. Кроме того, оно в известном смысле проще уравнения Ньютона, так как является дифференциальным уравнением первого, а не второго порядка по времени. Допустим, что механическая система такова, что ее потенциальная и кинетическая энергии выражаются формулами вида а Ееее 2 Ч Екаа "2 Ч (40.8) где и и 6 — положительные постоянные (параметры системы). Тогда закон сохранения энергии приводит к уравнению Е = - д'+ 6-4'=мпз1. 2 2 (40.9) Оно отличается от уравнения (40.6) только обозначениями, что при математическом рассмотрении ие имеет значения.
Из математической тождественности уравнений (40.6) и (40.9) следует, что и общие решения их одинаковы. Поэтому, если уравнение энергии приводится к виду (40.9), то а = уе сон (ше + 6), (40, 1О) т. е. Обобщенная координата д совершает гармоническое колебание с круговой частотой (40. 11) 5.
В заключение покажем, как можно найти общее решение днфференци. ального уравнения (40.2). Из етого уравнения прежде всего вытекает уравнение ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 4 41] эяергии (40.6). Поэтому можно сразу исходить из уравнения (40.6). Используя соотношение (40.3), запишем это уравнение в виде оззхз+ хз = сопз1. (40.12) Левая часть этого соотношения существенно положительна, так как она равна сумме квадратов. Поэтому правую часть можно обозначить юеА2, введя тем' самым новую постоянную А. Тогда хз = юз (А- '— ха). (40.
13) Так как хт =- О, то х ( А. Поэтол]у можно положить х=Асоз6, (40. 14) где 8 — неизвестная функция времени Д Подставляя это выражение в уравнение (40.13), получим Хз=юзА'(1 — сом 8)=юзА2 Мп28, откуда х = .» ю А мп 8. С другой стороны, дифференцируя выражение (40.14) по времени, находим х= — 8Аяп8. Сравнение полученных выражений для х дает 8 = -1-ю, откуда 8=-~- ют+6, где 6 — произвольная постоянная. Таким образом, х= А осе(2» сот+6). Полученные выражения для ж х, =- А соз (ю1+ 6) и х, = А соз ( — ю(+. 6) = =- А соз (ют — 6) можно обьединйть н одно, так как 6 — произвольная постоянная. Ее можно во втором выражении переобозначить, заменив на — 6.
Итак, в общем случае к=А соз (ФГ+6), что совпадает с выражением (39.!). $41. Физический маятник 1. Физическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка пересечения ее А с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеси маятника (рис. 85). Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его из положения равновесия 1р. Угол 1р играет роль обобщенной координаты д. Кинегическая энергия качающегося физического маятника определяется выражением '2 1 ЕК = 211р где ! — момент инерции маятника относительно оси А.
Потенциальная энергия равна Е„„ = тд)2, где Ь вЂ” высота поднятия 2Ю 1гл, ч1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ центра масс С над его самым нижним положением. Обозначим а расстояние между центром масс С и точкой подвеса Л. Тогда Е„= тра (1 — соз ср) = 2тйа з )п' -2-. Таким образом, для малых колебаний потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду (40.8), причем сс = тра, Р = !. Отсюда следует, что малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими с циклической частотой (41. 1) и периодом Т=-2п ~/ —.
(41.2) Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются изохронными. Мы видим, что малые колебаРес. 85. ния 4изического маятника изохронны. Колебания приближенно изохроины, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При ббльших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изохронности колебаний маятника основано его применение в часах. Частным случаем физического маятника является математический маятник. Так называется маятник, вся масса которого практически сосредоточена в одной точке — в центре масс маятника С.
Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити. В случае математического маятника а = С 1 = тд, где 1 — длина маятника, и формула (41.2) переходит в Т=2п1! —. ',~я (4 1.3) Сравнивая формулы (41.2) и (41.3), заключаем, что саизический маятник колеблется так же, как математический маятник с длиной (41.4) которая называется приведенной длиной физического маятника.
Мы доказали это утверждение только для малых колебаний маятнииов. Но оно справедливо и для колебаний с конечными амплитудами, В случае малых колебаний синус угла ~р(2 можно приближенно заменить самим углом. В этом приближении ыеа 2П ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК когда колебания не изохронны. Требуется только, чтобы угловые амплитуды физического и математического маятников были одинаковы.
Доказательство этого мы предоставляем читателю. 2. Отложим от точки подвеса А вдоль прямой АС отрезок АА', длина которого равна приведенной длине физического маятника 1 (см. рнс. 85). Точка А' называется центром качания, Центр «ачания можно определить как математическую точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался беэ изменений.
По теореме Гюигенса — Штейнера ! = !с+ та', где г'с — момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С. Подставив это выражение в формулу (41.4), придадим ей вид 1= а+ —. зс пю' (41.5) пю' ' Но а' = 1 — а, или в силу соотношения (41.5) а' = 1с/(та). Подк с ставив это значение в предыдущую формулу, получим р = — +а. шп Таким образом, У = 1, т.
е. приведенная длина, а с ней и период колебаний физического маятника остались без изменения. Это и доказывает теорему Гюйгенса. 3. Приведем другое доказательство теоремы Гюйгенса, глубже раскрывающее ее содержание. Будем перемещать точку подвеса маятника вдоль одной и той же прямей, проходящей через центр масс С. Ппсмотрим, кая при этом будет меняться его период колебаний, Когда точка подвеса А бесконечно удалена от С, маятник ведет себя как математический. Его период колебаний бесконечно велик, При прибчнжении точки ппдвеса А к центру масс С период колебаний сначала убывает. Когда точка подвеса совместится с С,маятник при любом отклонении будет в безразличном равновесии. Эзо значит, что его период колебаний снова становится бесконечно большим.
Поэтому по мере приближения точки А к С убывание периода должно смениться возрастанием. Положению точки подвеса, где зтв происходит, соответствует минимальный период колебаний. Когда точка подвеса Отсюда следует, во-первых, что 1) а, т. е. точка подвеса А и центр качания А' лежат по разные стороны от центра масс С и, во-вторых, что всем точкам подвеса, одинаково удаленным от центра масс маятника, соответствует одна и та же приведенная длина 1, а следовательно, один и тот же период колебаний Т. Точка подвеса и центр качания являются взаимными или сопряженными точками в следующем смысле. Если ма тник подвесить за центр качания А', то его период не изменится и прежняя точка подвеса А сделается новым центром качания.
Это положение называется теоремой Гюйгенса, Для ее доказательства обозначим а' длину отрезка А'С и допустим, что маятник подвешен за точку А'. Тогда его приведенная длина будет РА2 (ГЛ. У! ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 1С аз — )а+ — = О, >и (41.6) Фиксированному значению приведенной длины 1о соответствует на рис. 86 горизонтальная прямая 1= 1о. Точки пересечения ее с кривой определяют по.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
