Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 55
Текст из файла (страница 55)
При вычислении интеграла момент времени 1 можно принять за начало отсчета времени, т. е. положить [ = О. Это, конечно, не изменит результата. При я = сопз1 координата х совершает гармонические колебания х = х„соз ([Б[ + 6), а потому У = — '- соз'([А[+ 6) = -~- «1+ соз (2[А[+ 6)1, так как полная энергия равна Е = '!, Ях,'. Используя полученное выражение и выполняя интегрирование, получим т т с! !([ = ~ ) «1+ сов (2[Б! -)- 6)) [(г = 2 .
Б е г Ег о Это обычное представление о медленности. Но в нашей задаче его недостаточно. Надо на изменения й и его производной наложить дополнительное ограничение, потребовав, чтобы за каждый период колебания величина ЕФ оставалась почти постоянной. Точнее, это требование сводится к тому, чтобы на каждом периоде колебания отношение я!й могло быть представлено в виде ',-= Х «1+.1 (43.2) 22Ь % сп АдиАБАтические инВАРиАнты Произведение Тй с точностью до величин высшего порядка малости по й дает приращение ая параметра й за период Т. Таким образом, вместо (43.4) можно написать (43,5) Приращение ая за период колебаний может быть сделано сколь угодно малым. Поэтому, если энергию Е рассматривать как функцию параметра й, то в пределе приближенное соотношение (43.5) перейдет в точное дифференциальное уравнение — — 0 Е 22 Интегрируя это уравнение, получим Е )и-;.
=Сонэ( ) / Ф а потому Е рй = = сопз(. (43.6) Используя формулы (40.3) и (40.4), из этого соотношения получим еще два других: (43.7) (43.8) ЕТ = сопз), Е -„- = сопз(. Эти соотношения означают, что величины ЕТ и Е!ы для гармонического осииллятора является адиабатическими инвариантами. При этом аериод колебания Т и частота ы, входящие в эти соотношения, должны вычисляться так, как если бы нри колебаниях нара- метр й оставался постоянным, т. е. по формулам (40.3) и (40.4).
Например, в случае медленного укорочения нити математического маятника, совершающего малые колебания, его период Т медленно уменьшается от колебания к колебанию. Одновременно энергия колебаний возрастает таким образом, что произведение ЕТ остается постоянным. 3. Для правильного понимания доказанной теоремы необходимо точно отдавать себе отчет, чтб понимается под медленностью изменения параметра осциллятора я.
Недостаточно, чтобы изменения параметра й на каждом периоде колебаний были бесконечно малы. Надо, чтобы эти изменения удовлетворяли условию (43.2). Представим себе, например, что вблизи нижнего положения нить математического маятника действием внешних сил немного укорачивается, а вблизи крайних положений удлиняется, принимая исходное значение. Работа внешних сил при укорочении нити вблизи нижнего положения будет больше работы, производимой маятником над внешними полями при удлинении нити вблизи каждого край- ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. ч1 него положения. Причина этого в том, что при колебаниях маятника натяжение нити меняется, достигая максимума в нижнем положении.
Поэтому за каждое колебание в систему дважды будет вкладываться энергия. И если число колебаний взять достаточно большим, то и прирост энергии можно сделать также большим, хотя длина маятника, а с ней и период Т останутся неизменными. Колебания с периодически меняющимися параметрами называются параметрическими. Примером могут служить качели. К параметрическим колебаниям результаты (43.7) и (43.8) не применимы, сколь бы малыми ни были изменения параметра я в пределах каждого периода колебаний. Причина этого в том, что эти изменения не удовлетворяют условию (43.2). Грубо говоря, условие Г43.2) сводится к требованию, чтобы изменения параметра й происходили медленно и монотонно.
Так, в приведенном примере адиабатическая инвариантность выражений (43.7) и (43.8) будет иметь место, если длина нити изменяется медленно и монотонно. Если же на такие изменения наложить еще малые изменения колебательного характера, подобные тем, которые имеют место при параметрическом возбуждении колебаний, то к таким случаям теорема об адиабатической инвариантности выражений (43.7) и (43.8) не применима. 4.
Полученные результаты можно обобщить на случай негармонических колебаний с одной степенью свободы, т. е. колебаний, совершающихся под действием ие квазиупругих сил. В этом случае колеблющаяся величина меняется во времени не синусоидально, а как-то иначе. Период колебаний Т определяется не только параметрами системы, но и их амплитудой. Вместо формулы (43.7) получается КТ = сопз(, (43.9) где К вЂ” кинетическая энергия системы, усредненная по времени за период колебания (черта как раз и означает такое усреднение), т. е. (43.10) В случае гармонических колебаний, как нетрудно доказать, средние за период значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, а потому на каждую из них приходится половина полной энергии, т. е.
К = А7 = '/,Е. Тогда формула (43.9) переходит в ранее полученную формулу (43.7). Подставим выражение (43.10) в формулу (43.9) и примем во внимание, что К = ",, то', р = то, д) = ос(1, где д4 — приращение координаты, определяющей положение материальной точки. Тогда получится $р да= адиабатический инвариант, (43.11) АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 4 431 (43 12) А Посмотрим теперь, как меняется период колебаний Рис. 10б.
шарика Т в результате движения поршня. Под периодом Т мы понимаем время движения шарика туда и обратно, вычисленное в предположении, что во время такого движения поршень закреплен. Если 1 — расстояние между поршнем и дном цилиндра во время этого движения, то Т = 2но. Спустя время Т расстояние 1 возрастет на иТ, а скорость шарика уменьшится пз 2и. Период колебаний в только что уиазанном смысле изменится и сделаетсн равным 2(1+нТ) 2(1+иТ) (о+2н) о — 2и оа-4из нли, пренебрегая квадратом малой скорости и, Т'= Т+2 Т +41 = Т+4Т вЂ”.
г~з о Таким образом, за время Т период получает приращение ЛТ=4Т вЂ” = — Т вЂ”. и ЛК о движется бссконечно медленно, приращения ЛТ н как бесконечно малые дифференциалы, и мы полу- В пределе, когда поршень ЛК могут рассматриваться чаем уравнение пТ 0К вЂ” — + - — =О. Т Интегрируя его, находим ТК = сапз1, т. е мсшчина ТК лалюшся адиабпаичгския инаарианглом. (43.13) причем интегрирование ведется по полному периоду движения материальной точки в предположении, что параметры, характеризующие систему, закреплены. Общее доказательство соотношения (43.11) основано на уравнениях механики в форме Гамильтона.
Мы его приводить не будем. Ограничимея только двумя примерами. 5. П е р вы й п р и м е р. В цилиндре с гладкими стевкамн движется вверх и вниз идеальна упругий шарик, последовательно отражающийся ат основания АВ и поршня С0 по законам абсолютно упругого удара (рис. !Об). Допустим сначала, что поля силы тяжести и прочих силовых полей нет. Заставим поршень С0 очень медленно перемещаться со скоростью и. Исследуем, как зто скажется на движении шарика. Перейдем в движущуюся систему отсчета, в которой поршень покоится.
В этой системе скорость шарика будет и — и. После отражения шарика она сохранится по величине, но изменит знак, т. е, будет равна — о+ и. В не- и подвижной системе отсчета та же скорость равна ( — о+ и) + и = — о+ 2и. Приращение кинетической С В энергии шарика а результате однократного отражения от движущегося поршня будет поэтому равно О ЛК=-- [( — о+2и)з — оз! = — 2т (ио — из). 2 Разделав зто соотношение на К = г(з шоз и пренебрегая квадратом малой скорости и, получим — = — 4 —. К о' В 228 глпмоничвскив колввлнив (гл. уг 6.
В то р о й п р имер. Учтем теперь наличие силы тяжести. Пусть оз— скорость отразившегося шара в верхнем положении (рис. 107). На расстоянии х его скорость о определится соотношением от = о,'+ 2дх. Интеграл (43,11) в рассматриваемом случае будет ,1 =2т~ )(о,э+2лх дх, между поршнем и дном цилиндра. Интеграл надо вычислить в предположении, что поршень эапргпэен, эп. е, при постоянном 1. Вычисление дает 1 .. (от+ 2п() ( оэ — (оэ оэ) 2т аз 2т Зй где 1 — расстояние (йТ 1 оз о,'=оз — ( — +2~ и=от — 2- и, так как Т оз = от + и 2 ' На уровне АВ скорость шара будет о," = оз — 2и, а около днз цилиндра о.'„=о', +221=(оз — 2иР+221 =от — 4о,и, если пренебречь квадратом и.
Извлекая квадратный корень и снова пренебрегая из, получим 2оэ о', = оз — — и. аз С той же степенью точности оР=о.,' — бого и, о," = о', — бо, с,и. Эначнт, о.,'" — о," =-о) — о', или,(' — 1 = О, причем зто соотношение верно с точ. настыа до членов порядка из — Р. Разделив его на время Т и отождествив част ,1' — ( дл' ное ,, с производной -- †, получим — = А1э, сУ д( ш г р где о, — скорость шара в нижвем положении. Таким образом, надо докззвттч чта разность о,' — о', является аднабатнческнм инваризнтом.
Для этого вычйслим значение скоростей оз и оз спустя период Т. Обозначим эти значения о', и о,' соответственно. Разумеется, вычисление надо по-прежнему провести для неподвижного поршня, э "э" " " " "" э *'л.ш,э э ы Рнс. 107. дет это расстояние за время (эТ = иТ!о, (если пренебречь величинами более высокого порядка малости). При этом под действием силы тяжести ега скорость уменьшится и на й(зТ=р — Т. Кроме того, при отражении от движущегося поршня эта сно- п, рость дополнительно уменьшится нз 2и.
Поэтому $431 АДИАВАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ где А от 1 не зависит. Имея в виду, что нас интересуют изменения величины Х при конечных изменениях 1, преобразуем зто соотношение, введя вместо дифференциала времени дифференциал длины й1 = 1йг. Тогда получится — = А1, йл' й1 или в пределе при 1 -л О йл' — =О. й1 Следовательно, У = сопМ, как бы велики ни были изменения параметра 1, т. е, величина / является адиабатичаскил инварионтом, Такая адиабатическая инва- йУ риантность получилась благодаря тому, что производная — оказалась прой1 йл' порциональной второй, а не первой степени 1 .
Если бы — была пропорциойг нальна первой степени производной 1, то адиабатической инвариантности л* не получилось бы. ЗАДА Ч И 1. Шарик математического маятника нли шарим, прикрепленный к пружине с заданным коэффициентом упругости, медленно испаряется (система с переменной массой). Будет ли величина ЕТ адиабатическим инварнантом и почему) О т в е т. 11ет. 2. Шарику массы т, надетому нв тонкую стальную спицу, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с т, сообщена продольная скорость в направлении к точке закрепления спицы, а также скорость в перпендикулярном направлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
