Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 58
Текст из файла (страница 58)
чп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Вопрос сводится к сложению линейных скоростей в аналогичном физическом смысле (см. 8 7; в нерелятивистской механике, как известно, сложение линейных скоростей производится по правилу параллелограмма). Произвольная точка твердого тела М с радиусом-вектором г в результате первого вращения (вокруг оси ОА) получает линейную скорость юг = )озгг), а в результате второго вращения (вокруг оси ОВ) — линейную скорость е, = 1»тзг). Результирующая линейная скорость будет равна я~1+ тгв 1(г»1+ етз) ! ]" Если ввести векторную сумму в математическом смысле (46.5) г» = »11+ еза то результат запишется в виде тг = (г»г:]. (46.
6) Пусть точка М лежит на оси вектора ит, т. е. на диагонали параллелограмма, построенного на векторах атг и оте, или ее продолжении. Тогда е = О. Все точки указанной оси в рассматриваемый момент времени находятся в покое. Зто объясняется тем, что все эти точки в результате первого вращения движутся в одну, а в результате второго вращения — в противоположную сторону.
Результирующая линейная скорость получается равной нулю. Все прочие точки тела вращаются вокруг оси вектора от с угловой скоростью ю. Мгновенную линейную скорость любой точки тела можно вычислить по формуле (46.6). Зто значит, что мгновенное результирующее движение твердого тела есть вращение вокруг мгновенной оси ОС. Зта ось, вообще говоря, непрерывно перемещается как относительно самого твердого тела, так и относительно неподвижной системы отсчета, в которой рассматривается движение. Итак, мы доказали, что два вращения с угловыми скоростями озг и вта складываются (в рассматриваемом физическом смысле) и адно вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью нт = «тх + нтв.
Мгновенная ось в каждый момент времени направлена вдоль диагонали параллелограмма, построенного на векторах с»1 и Вте. Сложение подчиняется правилу параллелограмма. Физическое сложение в указанном смысле оказалось тождественным с математическим. 3. Поясним изложенное наглядным примером.
Пусть по поверхности неПОАВИжИОГо КрУгового конуса 2 катится без скольжения другой круговой конус 1 (рис. ) (Т и !!8). Вершины обоих конусов все время находятся в одной и той же точке О. В рассматриваемом движении конус 1 вращается вокруг собственной оси ОА с некоторой угловой скоростью ы,. Свми ось ОА описывает коническую поверхность, вращаясь вокруг другой оси ОВ с угловой скоростью е,. Речь идет о сложении зтих двух вращений, Так как скольжения нет, то все точки тела, лежащие на прямой ОС, по которой конусы касаются друг друга, неподвижны.
Касательная ОС является поэтому мгновенной осью вращения юнуса 1. Мгно- 5 аб! УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОР. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИИ 239 венная ось вращения перемещается в теле, т, е. в конусе д двигаясь по его поверхности. Но она перемещается также и в пространстве, т. е. по поверхности конуса 2. 4.
Вращение вокруг параллельных осей можно рассматривать как предельный случай вращений вокруг пересекающихся осей. При сложении таких вращений надо различать два случая: 1) вра- А щения совершаются в одном на- Рнс. 117. Рис. ! 18. правлении, 2) вращения совершаются в противоположных направлениях. Рассмотрим первый случай.
Построив параллелограмм на оа Рис. !19. векторах нт, и тп„пересечем его произвольной прямой АСВ, перпендикулярной к вектору нт (рис. 1!9 слева). Тогда й, = ОС 1ця„ )ге = ОС !и аа. Если углы а, и схт малы„то их тангенсы можно заменить синусами. Сделав это, получим (4б. 7) "а МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ГГЛ. РП Устремив точку О в бесконечность, получим предельный случай одинаково направленных вращений вокруг параллельных осей (рис. 1!9 справа). Такие два вращения складываются в одно вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью Га = н, + ы,.
Мгновенная ось проходит между осями 1 и 2 и делит расстояние между ними обратно пропорционально угловым скоростям в, и м,. Аналогично рассматривается случай, когда векторы Га, н Га, направлены противоположно. Если м, ) а„то м = Га, — в,. Мгновенная ось проходит вне отрезка АВ со стороны большей угловой скорости (рис. 120). Она делит отрезок АВ внаиним образом на части Й, и й„обратно пропорциональные угловым скоростям ь, и Га,.
Ряс. 120. 5. Рассмотрим, наконец, сложение поступательного и вращательного движений. Если поступательное движение совершается параллельно оси вращения, то при сложении, очевидно, получится винтовое движение. Достаточно поэтому ограничиться случаем, когда поступательное движение перпендикулярно к оси вращения. В этом случае все точки тела будут двигаться параллельно одной и той же плоскости, перпендикулярной к той же оси. Такое движение называется плоским. Плоскость, параллельно которой происходит движение, можно принять за плоскость рисунка.
Поступательное движение можно рассматривать как вращение вокруг бесконечно удаленной осн. Поэтому разбираемый случай можно свести к сложению двух вращений вокруг параллельных осей, удаляя одну из осей в бесконечность. Ясно, что в результате возникнет вращение вокруг какой-то мгновенной оси. Задача сводится к определению положения мгновенной оси и угловой скорости мгновенного вращения. Пусть тело вращается вокруг оси О с угловой скоростью м, 4 461 УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОР.
СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ 241 а сама ось 0 вращается вокруг параллельной неподвижной оси 0„ с угловой скоростью агг (рис. 121). При сложении возникнет вращение вокруг мгновенной оси А, причем А Ьг сг' Вследствие вращения вокруг оси О, ось 0 получает скорость и = = аг, (й + й,), перпендикулярную к линии 0,0.
Будем удалять О, в бесконечность, одновременно уменьшая агг так, чтобы величина скорости о оставалась неизменной. В пределе вращение оси 0 вокруг оси О, перейдет в поступательное движение со скоростью о. Положение мгновенной оси вращения А определится ее расстоянием до оси О. Это расстояние равно л А 616гт (Аг г гг) сгг Амг Отсюда Так как атг -6 О, то в пРеделе )г = —.
(46.8) Рис. 121. При этом угловая скорость мгновенного вращения в пределе сделается равной аг. 6. Если аксиальный вектор «г продифференпировать по скалярному аргументу, например по времени А то в результате получится Й» новый аксиальный вектор т) = —, называемый угловьгм ускорением ггг ' (см. 2 7). Его проекции на координатные оси по определению даются ггсги ггеу выражениями т)„= — „', т(„= — ", т1,= — „'. Аналогично, в результате интегрирования «т по 1 получается другой аксиальный вектор ф=')агг(1 с составляющими ф„=)иг,г(1, ф, =~аг, с(1, Гр,= =--~ ы, с(г. Векторный (точнее, псевдовекторный) характер этих величин, как всегда, означает только то, что при повороте (но не инверсии) координатных систем их составляющие преобразуются так же, как разности координат концов направленного геометрического отрезка.
Если направление оси вращения не меняется с течением времени, то вектор тр направлен параллельно «г, т. е. по оси вращения. Его длина численно равна углу поворота тела за рассматриваемый промежуток времени. Поэтому ф естественно назвать угловым поаоролгом тела. По величине угловой поворот пропорционален площади сектора ОАВ, описываемого каким-либо отрезком ОА, перпендикулярным к оси вращения, при его переходе 242 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА !ГЛ. Ч«! из начального положения ОА в конечное положение ОВ (рис. 122). Направление «р совпадает с направлением перпендикуляра к плоскости сектора ОАВ, а его составляющие ф„, ф, ф, пропорциональны площадям проекций этого сектора на координатные плоскости.
Зто лишний раз подтверждает векторный характер величины «р (см. 5 7). 7. На примере угловых поворотов можно сэ наглядно показать необходимость строгого разграничения между математическим сложением векторов (аксиоматически опреде- В ляемым с помощью правила параллелограмма) и физическим сложением их, вводимым с помощью какой-либо физической операции. Введем физическое сложение А угловых перемещений в том же смысле, в каком понимается физическое сложение линейных перемещений (см.
5 7, п. 6). Пусть материальная точка последовательно совершает вращения вокруг различных осей, проходящих через неподвижную точку О (рис. 123). При таких вращениях она движется вдоль дуг больших кругов по поверхности сферы с центром в О. Пусть точка перешла из начального положения А в конечное положение В вдоль дуги большого круга АВ. Радиус-вектор точки при этом повернулся на угол ф,. Затем точка совершила поворот на угол ф„перейдя по дуге большого круга ВС из положения В в положение С.
Каким одним поворотом А можно заменить эти два поворота, чтобы перевести точку из того же начального положения А в то же конечное положение С? ггЪ,!,ф Ясно, что таким поворотом будет вращение точки по дуге большого круга, проходящей через точки А и С. Обозначим соответствующий угол поворота «р,. В соответствии со сказанным выше рассматриваемые три поворота можно изобразить векторами «р„«р„«р„перпендикулярными соответстРис. !23. венно к плоскостям секторов ОАВ, ОВС и ОАС.
Поворот ф, можно назвать суммой поворотов «р, и «р, в рассматриваемом физическом смысле. Ясно, что такое сложение не подчиняется правилу параллелограмма. Это видно уже из того, что в общем случае вектор «р, не лежит в плоскости векторов «р, и фя Особенно очевидным станет это утверждение, если рассмотреть частный случай. За начальное положение материальной точки возьмем полюс А (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
