Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Она пересечет сферу по дуге большого круга АВ. (См. рис. 128. Мы не рисуем отдельно соответствующую сферу и дуги больших кругов, а пользуемся прежним плоским рисунком, мысленно заменяя, где это нужно, прямолинейные отрезки дугами больших кругов. Понятно, что центр сферы С на плоском рисунке изобразить нельзя.) Движение дуги АВ по поверхности сферы однозначно определяет и движение всего твер- 4 471 ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА.
ОЕЩЕЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 247 дого тела, Пусть выбранная дуга перешла из положения АВ в положение А,В,. Соединим дугами больших кругов точку А с точкой А„ а точку В с точкой В,, Через середины этих дуг Е и 0 проведем перпендикулярные к ним дуги больших кругов ЕО и 00, пересекающиеся в точке О сферы. Точку О соединим с центром сферы С прямой ОС. Докажем, что дуга АВ может быть переведена в положение А,В, путем поворота вокруг оси СО. Действительно, по построению точки А и А„а также точки В и В, равноудалены от точки О.
Ввиду этого твердое тело можно повернуть вокруг оси СО так, чтобы точка А перешла в положение А,. Докажем, что при таком повороте точка В также перейдет в положение В,. Для доказательства допустим, что точка В при повороте перешла ие в положе. ние В„а в положение В,. Проведем дуги больших кругов ОА,, А, В, и ОВ,. Так как точка В, находится на том же расстоянии от О, что и точка В, то чзОВ, = чзОВ,.
Кроме того, в сферических треугольниках ОА,В, и ОА,В,дуга ОА, — общая, а дуги А,В, и А,В, равны, так как тело твердое, и, следовательно, при его движении длина дуги АВ не изменяется. Поэтому сферические треугольники ОА„В, и ОА,В, равны. Значит, ~ОА,В, = ~ОА,В„Е потому точка В, должна совпадать с точкой В,, Тем самым теорема Эйлера доказана. Доказанная в начале этого параграфа теорема является частным случаем теоремы Эйлера, так как плоское движение плоского тела может рассматриваться как предельный случай движения по сфе.
рической поверхности бесконечно большого радиуса. Рассуждая так же, как в случае плоского движения, из теоремы Эйлера можно вывести следующее следствие. Любое движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту неподвижную почку. С течением времени мгновенная ось, вообще говоря, непрерывно перемещается как в теле, п1ак и в пространстве. 3. Рассмотрим теперь самый общий случай движения твердого тела. Выберем в теле произвольную точку О.
Всякое движение твердого тела можно разложить на поступательное со скоростью е, равной скорости точки О, и вращательное вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. Обозначая посредством ьэ вектор угловой скорости мгновенного вращения, можем написать для скорости другой произвольной точки А твердого тела и = по+(ьэг1, (47. 1) где и — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А (рис. 1291. Скорость поступательного движения Оо, конечно, зависит ог выбора точки О.
Но угловая скорость ьэ не зависит от положения точки О, к которой отнесено вращение твердого тела. Поэтому можно говорить об угловой скорости враи(ения твердого пила, не указывая зту точку. Докажем это. 248 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. НН Выберем другую произвольную точку тела О' и отнесем к ней вращение твердого тела. Соответствующую угловую скорость вращения обозначим Аз'. Тогда скорость е прежней точки А можно представить в другом виде: е=ео +[а1'Г'), где г' — радиус-вектор, проведенный из О' в А. Так как речь идет о скорости одной и той же точки, то эта величина должна совпадать с (47А). Это дает ео+[еъг1 =ео +[ы'г'3, Подставим сюда г' = г+ Л, где тг означает вектор О'О.
Кроме того, примем во внимание, что скорость точки О можно получить векторным сложением скорости точки О' и скорости вращения вокруг нее с угловой скоростью г»', т. е. Ео = По +[Аз'Ат). С учетом этого получим е +[га'й)+[гаг)=ео +[Аз'(г+Ю)], или [гаг) = [О 'г). Рис. 129. В силу произвольности г отсюда следует 4. допустим, что твердое тело вращается вокруг неподвижной точки. Примем эту точку за начало координат О.
Кинетическая энергия такого тела, очевидно, равна 7т'=-1 ~ е'1(т, где интегрирование ведется по всей массе тела. Воспользовавшись формулой е = (Гаг), можем написать е' =- (ее) = ((ыг)е), или после перестановки порядка сомножителей е' = (а1 (ге)). Так как г» одинакова для всех точек тела, то 2 или 2 ( (47.2) где 7. — момент импульса тела относительно точки О, В общем случае векторы Т, и ез направлены под углом друг к другу.
В этом проще всего убедиться на примере одной материальной точки М, вращающейся вокруг неподвижной или мгновенной оси. Возьмем начало О на этой оси. Тогда 1, = т [ге) = и [г [ГагД = тге1' — и (гга) г. 249 СКАТЫВАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 4 441 Последнее слагаемое в нуль, вообще говоря, ие обращается, а потому в общем случае векторы 7. и са не коллинеарны. Они коллинеарны только тогда, когда в качестве начала О взято основание перпендикуляра, опущенного из М на ось вращения. В этом случае мол4еит Е относительно точки О сводится к моменту относительно оси вращения. Обозначая последний посредством 7 „, можем написать Ь = Ь„ = !н, где 7 — момент инерции точки относительно оси вращения.
Таким образом, формула (47.2) переходит в К = == ',', 7 4» = ",, 7а4'. Последняя формула справедлива не только для одной материальной точки, но и для всего тела, покольку последнее можно рассматривать как систему лсатериальных точек, вращающихся вокруг общей оси. Таким образом, формула (47.2) эквивалентна формуле (33.6), полученной ранее иным путем. й 48. Скатывание тел с наклонной плоскости 1. Пусть скатывающееся тело обладает симметрией вращения относительно геометрической оси С (рис. 130).
Будем предполагать, что при движении не возникает скольжения. Зто означает, что скорость тела в точке касания А равна нулю. Отсутствие скольжения обеспечивается действием сил со стороны наклонной плоскости на скатывающееся тело. Зти силы СВОДЯТСЯ К СИЛЕ НОРМаЛЬНОГО ДаВЛЕНИЯ Ас; и к касательной силе трения Ас,. При от- й сутствии скольжения сила Е, есть сила трения покоя или сила трения сцепления.
А Величина силы т44 может принимать любое значение от 0 до нг„, где й — коэф- 4Т фициент трения (см. 9 17). При качении она устанавливается как раз такой, чтобы Рис. 130. не было скольжения. Если касательная сила, требующаяся для этого, превышает йг"„, то чистое качение невозможно — оно будет сопровождаться скольжением. Решим задачу о скатывании тела тремя различными способами. С и о с о б 1. Применим уравнение моментов относительно мгновенной оси вращения. При отсутствии скольжения мгновенная ось проходит через точку касания А. Так как мгновенная ось и ось, проходящая через центр масс С, движутся параллельно друг другу, то уравнение моментов имеет обычную простую форму 7А,и = МА~ (48.
1) где 7А — момент инерции скатывающегося тела относительно мгновенной оси, а МА — момент внешних сил относительно той же оси. Внешними силами является сила тяжести тл' и реакция опоры, действующая со стороны наклонной плоскости на скатывающееся МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. нн тело. Сила реакции опоры выпадает из уравнения моментов, так как она проходит через ось А, и ее момент относительно этой оси равен нулю.
Таким образом, ЙО )А = тхг з(п а. Ж Обозначим о линейную скорость точки С. Она связана со скоростью ЕА точки А тела соотношением о = ЕА + вг. При отсутствии скольжения оА = О, а потому о = аг. Для линейного ускорения РР !А точки С получаем а= -- г -. Поэтому предыдущее уравнение = и) дает Маг~ а= Йпа. ТА (48.2) По теореме Гюйгенса — Штейнера !А = 1с + тг', где )с — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С. Следовательно, РИ!Па (48.3) 1+' тг~ Преимущество рассмотренного способа состоит в том, что в исходное уравнение (48.1) совсем не входит неизвестная реакция опоры. С п о с о б 2.
Применим уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс С. Оно также имеет простой вид дм Тс у1 =Мс = Л1К З ~П СŠ— ~ Т. ~Ь Ж (48.4) А'Р Йй Присоединив сюда прежнее соотношение а= „- е г -„- и разрешив полученные уравнения относительно а, найдем прежний где Мс — момент внешних сил относительно оси С. В это уравнение не войдет сила тяжести, так как она проходит через ось С. Момент создается силой реакции опоры.
При этом играет роль только слагаемая Р, этой силы, параллельная наклонной плоскости, т. е. сила трения сцепления. Ее момент Мс = гг"„ а потому йо Т'с д,- = ~+'~. йо Это уравнение содержит два неизвестных: угловое ускорение АТ и силу Е,. Недостающее уравнение дает теорема о движении центра масс: 1 481 скхтывхннв твл с нхклонноя плоскости 251 результат (48.3). Кроме того, получаем следующее выражение для силы трения сцепления: /с (48,5) С и о с о б 3.
Применим закон сохранения энергии. Кинети- ческая энергия тела равна К =- '/, /лыг. Поэтому '/, Тлы' = ту/г, где й — высота, с которой опустилось тело при скатывании из состояния покоя. Если оно прошло вдоль наклонной плоскости путь х, то /г = х з!п гх, и, следовательно, 1 2 2гг — /лы'= — о'= тух згп сг. Дифференцируя это соотношение по времени и замечая, что —, = о, вх снова получим формулу (48.2). 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
