Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

124). Затем по дуге меридиана АВ совершим первый поворот на угол «р, =- 90', переведя точку в положе- в ча) тглоалЯ скорость кяК виктор. сложигив вращения 243 ние В на экваторе. Второй поворот на угол гр, = 90' совершим по дуге экватора ВС. Очевидно, третий поворот фа надо произвести по дуге меридиана АС также на 90'. В рассматриваемом случае все три вектора, ф„фачф „взаимно перпендикулярны и имеют одну и ту же длину.

Ни один из них не может быть геометрической суммой двух других. Если ф, ф,, ф„ означают проекции вектора ф на координатные оси, то гр = ф,й + ф„р + ф,й. Здесь сложение понимается в математическом смысле (по правилу параллелограмма). Однако, как следует из изложенного, слагаемые ф,г', фв)', ф,й нельзя рассматривать как последовательно выполняемые повороты вокруг А координатных осей, приводящие к единому повороту, представляемому вектором гр. Рнс. 124. Рнс. 125. 8. Допустим, однако, что углы ф„ф„фз неограниченно стремятся к нулю. Тогда сферический треугольник АВС (см. рис. !23) становится бесконечно малым и может считаться плоским (рис. 125).

Луги больших кругов АВ, ВС и АС могут рассматриваться как прямолинейные отрезки. Векторы угловых перемещений бгр„бф„ бф, будут лежать в плоскости треугольника АВС. (Мы пишем бгр вместо ф, чтобы подчеркнуть, что речь идет о бесконечно малых углах.) Они, очевидно, перпендикулярны к сторонам АВ, ВС и АС соответственно, а их длины пропорциональны этим сторонам (см. рис. 125). Отсюда следует, что бесконечно малый вектор бгр, является геометрической суммой векторов бгр, и бгра Это значит, что бесконечно малые угловые перемещения складываготся геометрически (в указанном выше физическом смысле), т.

е, по правилу параллелограмма. Иными словами, такое физическое сложение угловых перемещений в пределе бесконечно малых углов поворота переходит в математическое. ЗАДАЧИ !. Показать, что элементарная работа, совершаемая над системой матернальнык точек прн ее повороте на бесконечно малый угол бф, выраягается скаля рным произведением 6А = (Мбф), (46.9) МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. УИ А = [ыА[. (46.10) В частности, при вращении координатной системы орты 1, у', Ф дифференцируются по формулам: лг=[ " бг=["у' бг=[""' (46.! 1) Р е ш е н и е.

Вектор А неизменной длины можно отозкдествнть с абсолютно твердым тонким стержнем той же длины. Если начало вектора А неподвижно, то производная А имеет смысл скорости движущегося конца стержня. При такой интерпретации форму- 1 ла (46.10) становится частным случаем формулы (46.4). 4. Движение точки на плоскости можно задать полярными координатами г и гр (рис. 126). Найти вы- Г ражеиия для скоростя и ускорения точки в этой системе координат. Р е ш е н и е. Введем единичные векторы г', г', й.

Р Вектор ! направим вдоль радиуса г. Вектор / перпен() дикулярен к нему и направлен в сторону возрастания угла ф. Вектор й (не изображенный на рисунке) перпендикулярен к плоскости рисунка и образует с векторами Г и Г' правовинтовую систему. При движении точки векторы 1 и у вращаются вокруг начала координат с угловой скоростью ю= ф. Вектор угловой скорости направлен вдоль Ф, так что ю = фй. Применяя формулы (46,1!), находим производные векторов ! и уй -„;-=ф[й![=ф[, ~г =ф[йЛ= — ф( (46.12) Представим радиус-вектор движущейся точки в виде г г1.

Дифференцируя его один раз, находим скорость; Ю Ф = г = М+ г - = г!+ гф/. Ж Рнс. 126 Дифференцируя вторично, находим ускорение: и = о = М + г —. + гфу'+ гфу + гф — = (à — ф'г) 1+ (2 уф+ гф) У. , пу аг б! где М вЂ” геометрическая сумма моментов сил, действующих на материальные точки системы, относительно вершины утла поворота. Решен не.

ЬА = В (Р! бг;). Здесь суммирование ведется по всем точкам системы. При повороте бг; = [бф г;), причем угол бф — один н тот же для всей системы. Подставив это выраясение в предыдущую формулу и замечая, что )ч; [бгр г![ = !ар [г!РД = (Мгбф), получим требуемый результат. 2. Используя нзотропию пространства, доказать, что геометрическая сумма моментов внутренних сил, действующих в системе материальных точек, равна нулю (си. 4 38). Р е ш е н и е. Допустим, что система замкнута.

Пусть Мм М,,...— моменты внутренних сил, действующие на материальные точки системы, относительно произвольного неподвижного начала О. Повернем всю систему вокруг точки О на произвольный бесконечно малый угол бгр и притом так, чтобы скорости всех материальных точек повернулись на тот же угол без изменения своей величины. Ввиду изотропии пространства на такой поворот не требуется затраты работы. Но эта работа представляется скалярным произведением (Мг+ Мз ф ...) бф. Значит, это скалярное произведение равно нулю, каков бы ни был поворот б~р. Отсюда следует, что для замкнутой системы М, + М, + ...

= О. 3. Пусть вектор А неизменной длины вращается вокруг своего начала с угловой скоростью ю. Показать, что его производная по времени определяется формулой Зги формулы дают разложение скорости и ускорения нз радиальные (направленные вдоль радиуса) и азимутальные (направленные поу', т. е. в сторону возрастания угла гр) составляющие: о, =- г', (46.13) а,=г' — фзг, (46.14) о, .=-га; а, = 2рф+ гф з. с помонгью соотногнения (46.!О) получить формулы для дафференцирования синуса и косинуса.

Р е ш е н и е. Рассмотрим единичный вектор А, равномерно вращающийся вокруг начала координат 0 (рис. !27). Если координатные оси неподвижны, то l А = 1 соз го!+У яп в1. Производная этого вектора по 1 равна А А =1 (соз а1) +1 — - (яп в1). 5[В а1 ! С другой стороны, ту же производную можно выпзг числить по формуле (46.10). Так как в =- ай, то (7 555 ОЗГ эта формула дает А = в [)г А) = в соз в1 [а![+ в яп в1 ! Ц[ = = Уа соз вг — 1в яп в1. Сравнивая оба результата, получим гу л' Рис.

!27. ги ' Е1 (яп а1) =асов а!, -.- (сов в1) = — а яп а(. Л1ожно сказать, что векторная формула (46.10) эквивалентна правилам дифференцирования синуса и косинуса. й 47. Теорема Эйлера. Общее движение твердого тела !. Рассмотрим плоское деижение твердого тела, т. е. такое движение, когда все точки тела движутся параллельно одной плоскости.

Не теряя общности, можно считать само тело плоским, а движение происходящим в плоскости тела. Положение плоского А Е А тела однозначно определяется заданием положений каких-либо двух точек его. Поэтому достаточно ограр ничиться рассмотрением движения у" в какой-либо одной прямой плоского г ~ л тела.

Пусть выбранная прямая твер- Вг дого тела перешла из положения АВ в положение А,В, (рис. 128). Соедиг ним точку А с точкой А„а точку В с точкой В„. Из середин отрезков АА, и ВВ„восстановим перпендикуляры ЕО и ОО, пересекающиеся в точке О. Докажем, что прямую АВ можно перевести в положение А,В, путем одного поворота вокруг точки О. Действительно, из построения следует, что точка О равно- удалена от точек А и А„а также от точек В и Взн В силу этого пря- () Рис.

126 з 471 теОРемА эйлеРА. ОБщее дВижение тВГРДОГО телА 246 МГХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. чн мую АВ можно повернуть вокруг точки О так, чтобы точка А совместилась с точкой А,. Докажем, что при этом точка В также совместится с точкой В,. Для доказательства допустим, что точка В не совместилась с В„а заняла положение В,.

Разумеется, точка В, будет находиться на таком же расстоянии от О, что и точка В, а потому ОВ, =- ОВ,. Кроме того, в треугольниках ОА,В, и ОА,В., сторона ОА, — общая, а стороны А,В„и А,В, равны, так иак тело твердое, а потому расстояние между концами отрезка АВ не меняется при его движении. Следовательно, треугольники ОА,В, и ОА,В, равны. Отсюда заключаем, что ~ОА,В,= ~ОА,В„так что точка В, должна совпадать с точкой В,. Таким образом, при плоском движении твердое тело может быть переведено из любого положения в другое произвольное положение с помощью одного поворота вокруг некоторой оси. Это положение является частным случаем теоремы Эйлера (1707 — 1?83), доказываемой ниже. Произвольное плоское движение тела можно разбить на ряд следующих друг за другом бесконечно малых перемещений.

В результате получится ряд бесконечно близких положений 1, 2, 3, 4, ..., последовательно проходимых телом. Согласно доказанной теореме переход тела из положения 1 в положение 2 может быть осуществлен поворотом вокруг некоторой оси О,; переход из положения 2 в положение 3 — поворотом вокруг другой бесконечно близкой оси О, и т. д. Если число промежуточных положений 1, 2, 3, ... стремить й бесконечности„а смещение тела из каждого положения в соседнее — к нулю, то произвольное плоское движение твердого тгла может рассматриваться как вращение вокруг мгновенной оси, движущейся как в теле, так и в пространстве.

2. Совершенно аналогично формулируется теорема Эйлера. Согласно теореме Эйлера пюердое тело, имеющее одну неподвижную точку, может быть переведено из произвольного положения в другое произвольное положение путем поворота вокруг некоторой оси, проходящей через зту неподвижную точку. Доказательство теоремы Эйлера проводится совершенно так же, как и соответствующей теоремы для плоского движения.

Если одна из точек твердого тела С неподвижна, то его положение однозначно определяется заданием положений каких-либо двух точек, А и В, не лежащих на одной прямой с точкой С. В качестве точек А и В можно взять две точки на поверхности сферы с центром в точке С. Проведем через центр сферы С и точки А и В плоскость.

Характеристики

Список файлов книги