Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 54
Текст из файла (страница 54)
103. ? 4а Т 2п1у Ю 17. Маятник подвешен на резинке, растянутой настолько сильно, что ее первоначальной длиной можно пренебречь. Возможны ли горизонтальные гармонические изохронные колебания маятника сколь угодно большой амплитуды? Если возможны, то определить период этих колебаний. Возможны лн круговые движения маятника в вертикальной плоскости? Каково будет движение при любых начальных условиях? Ответ. И те и другие движения возможны. Их период Т=2п ~/ - —, где т — масса маятника, а й — коэффициент упругости резинки. При произвольных начальных условиях движение маятника будет происходить по эллипсу с периолом обращения Т, 18. По штанге, вращающейся в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью ш, может скользить без трения груз массы т, удерживаемый на некотором расстоянии от оси вращения пружиной с коэффициентом упругости й Введем обозначение у=с<к -- Тогда у= —— ф .
1 2 2 чаем, чта прн любых амплитудах колебания нчохронными и гармоническими с периодом яп — ф. Величина д может быть 2 принята за координату, определяющую положение колеблющейся точки, а ее производная у — за соответствующую обобщенную скорость. В этих обозначениях У = 2туадз, К = 8таЯэ. Потенциальная энергия является квадратичной функцией координаты у, а кинетическая— производной у с постоянными коэффициентами. Отсюда заклюциклоидального маятника будут БИФИЛЯРНЫЙ И ТРИФИЛЯРНЫИ ПОДВБСЫ 221 Э 42! и начальной длиной гз. Найти движение груза, которое возникнет, если штангу мгновенно остановить. ыа О та е т.
г=гч(!+ ., созыв!~, гДе Фв=) й!ль ПРи этом Должно ы'-„' — ыз быть ы е ыв. В противном случае груз на вращающейся штанге неограниченно удалялся бы от оси вращения, и равновесие, вопреки условию задачи, было бы невозможно. ы 19. На горизонтальной пру- 24( Щпг жнне укреплено тело массы М = =!О кг, лежащее на гладком столе, по которому оно мон4ет сколь- Рис.
104. вить без трения (рис. 104). В это тело попадает и застревает в нем пуля массы т = 1О г, летящая с горизонтальной скоростью о = 500 м/с, направленной вдоль оси пружины. Тело вместе с застрявшей в нем пулей отклоняется от положения равновесия и начинает колебаться относительно него с амплитудой а .††1О см. Найти период колебаний тела. Ответ. Т=2п а гз 1,26 с.
М+ш то 20. На тонкую стальную спицу надет шарик. Противоположный конец спицы неподвижно закреплен. Показать, что если лчасса спицы пренебрежимо мала по сравнению с массой шарика, то период малых колебаний, возникающих при отклонении шарика в сторону, пропорционален расстоянию 1 между шариком и точкой закрепления спицы. Г У к а з а н и е. Рассмотрим вспомогательную В однородную спицу, согнутую н кольцо. Если ее разрезать в одном месте и к концам прикрепить шарики А и В, то появятся упругие радиальные силы Е, приложенные к шарикам, стремяшиеся распрямить спицу (рнс.
105). Величина этих сил не зависит от места, гле произведен разрез. Заметив это, вернемся теперь к нашей задаче. Если шарик сместить в сторону, то спица деформируется. При Рис. 105. малых деформациях участок ее между шариком и точкой занрепления спицы можно в первом приближении считать дугой окружности. На основании предыдущего замечания можно утверждать, что при смещении шарика по этому деформированному участку величина действующей на него силы не будет меняться. Пользуясь этим, нетрудно показать, что коэффициент упругости й спицы будет обратно пропорционален нвадрату длины 1.
21. Найти период колебаний физического маятника в зависимости от их угловой амплитуды. Р е ш е н и е. Закон сохранения энергии дает '2— — фз = тйа (соз 4р — соз 4р ), 2 гДе 4Р— Угол отклонениЯ маЯтника из положению Равновесна, а 4Рз — макси. мальное его значение (угловая амплитуда колебаний). Введя приведенную длину маятника (41.4) и выполнив несложные преобразования, получим -" 1Г -Р=2 ~У ~ 1 мпафз — з4па — ". — — У 1'~ 2 Разрешив зто уравнение относительна 4(1 и интегрируя по ф, найдем период колебаний маятника Т как учетверенное время прохождения интервала углов |ГЛ, Ч! ГАРмоничвскив КОлеБАния от»р = О до»р = ф», При интегрировании удобно ввести новую переменную интегрирования и = а|п («р12)1з!п (р»/2).
В результате получим и/э Т=4 1 1( би й ) р'! — й'яп»и' е где введено обозначение й =з|п (~р»12). Входящий сюда интеграл не беретсн в элементарных функциях. Ои называется полным эллилтичегким иятегро«ои первого рода. Его можно представить в виде бесконечного ряда. Так как ) й Мп и ! ( ~ 1, та подынтегральиое выражение можно разложить н ряд по формуле бинома Ньютона: 1 ., | 3 | 3 5 (! — йз яп» и) 1» =1+ — йз в|пап+ — й' яп' и+ й' яп'и+ ..
2 2 4 246 Этот ряд равномерно сходится, а потому его можно интегрировать почленио. Сделав это, получим Т=2п у — ~1+-.яп» вЂ” +( — ~ а|п«+ ~ — ') яп' -+...1 ГТГ | . р П ° 3!э, йз П ° 3 6!» Р' я( 4 2 (»24) 2 (2461 2 При малых амплитудах «р«эта формула переходит в (4!.3) В 43. Адиабатические инварианты !. Энергия, импульс или момент импульса механической системы являются функциями ее координат и скоростей.
Если система замкнута, то эти величины сохраняются, т. е. не меняются с течением времени. Если же система не замкнута, а параметры, определяющие ее состояние, изменяются во времени, то указанные величины, вообще говоря, также изменяются. Возьмем, например, математический маятник, нить которого перекинута через гвоздь. Параметрами здесь являются длина нити ! и ускорение свободного падения Аг. Можно тянуть за свободный конец нити„ уменьшая или увеличивая 1. При этом над маятником совершается внешняя работа, а потому энергия его изменяется.
Можно также менять ускорение свободного падения, поднимая или опуская маятник над земной поверхностью. Среди различных изменений внешних параметров играют особую роль бесконечно медленные изменения, называемъ|е адиабатическими "). При этом параметры, сколь бы медленно они ни менялись, могут принимать любые значения, лежащие в допустимых пределах. Для изменения их на конечные величины требуется лишь достаточно длительное время. Изменения параметров системы, даже медленные, влекут за собой и изменения других физических величии. Так, энергия системы, как уже отмечалось, не остается постоянной, поскольку во время изменения параметров над системой произво- ') В термодинамике термин «адиабатичесниа» применяется в другом смысле.
Адиабатическвм называют процесс, происходящий без подвода н отвода тепла. Аднлвктическна ипвАРИАнты < 4м дится работа. Но могут встречаться и такие величины, которые остаются постоянными или приблизительно постоянными из-за медленности изменения параметров. Функции координат, скоростей и параметров системы, остаю«циеся посо!оянными при бесконе«но медленных изменениях параметров, называются адиабати«ескими инвариа тами. Это определение в дальнейшем будет уточнено, поскольку само понятие <медленности» нуждается в уточнении.
Адиабатические инварианты играли болыпую роль в старой полуклассической теории атома Бора. Но они имеют важное значение и в других разделах физики. 2. Выясним понятие адиабатического инварианта сначала на простейшем, но важном примере гармонического осциллятора, собственная частота которого очень медленно изменяется во времени. Примером может служить математический маятник, медленно изменяющимися параметрами которого являются длина нити и ускорение свободного падении д (точнее, их комбинация ы» = дЛ).
Другим примером может служить колебание шарика на пружине, коэффициент упругости которой й является медленно меняющимся параметром. Все эти системы, называемые гармони«ескими осцилляпюрами, математически эквивалентны. Для конкретности будем иметь в виду шарик на пружине. Задача о математическом маятнике сводится к этому случаю, если ввести обозначение й =- тяЛ. Каким образом производится изменение коэффициента упругости или величин, ему эквивалентных, — это не имеет значения, пока задача трактуется как чисто математическая.
Полная энергия гармонического осциллятора равна то» ях» Е= — + —. 2 Для ее производной по времени можно написать Е = ( б+ Ахи) + — й. х« Выражение в скобках обращается в нуль, так как х = о, действующая сила Р = — йх и по закону Ньютона тв = г'.
Введя еще потенциальную энергию У = '!»ях», получим (43.1) Е=У(х) —. До сих пор наши вычисления были точными. Используем теперь медленность изменения параметра я и его производной я. Медленность означает, что и при изменяющемся я движение по-прежнему будет носить характер колебаний. Только «период» этих колебаний т, а также положение крайних точек, достигаемых осциллятором, будут слегка меняться от колебания к колебанию. Иными словами, за каждое колебание параметр я должен изменяться очень мало. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ.
Р! где фей), — значение этого отношения в какой-либо точке рассматриваемого периода, например, в его середине, а я — поправка, стремящаяся к нулю при е -+. О. Имея это в виду, проинтегрируем выражение (43.1) в пределах от 1 до [+ Т (й) для произвольного момента времени й Получим «!+ т ье=еГ!-и — е(ф=( —, [ «у! Одй'4-!1. (433) А!о~ с Здесь (1 — поправка, обращающаяся в нуль при я — !- О. (Переменная интегрирования обозначена [', чтобы не смешивать ее с нижним пределом Д) Входящий сюда интеграл достаточно вычислить в нулевом приближении, т. е. считать при вычислении, что за время Т параметр й не меняется. Возникающая вследствие этого ошибка в выражении для ЛЕ будет второго или высшего порядка малости по я. По той же причине можно отбросить поправку р.
Наконец, можно опустить индекс нуль в множителе перед интегралом (я[я),. Иными словами, можно написать !+т ЬЕ = — ~ с! «х (!')«!(!', (43,4) где интеграл (но не множитель перед интегралом) вычисляется в предположении постоянства й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
