Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 53
Текст из файла (страница 53)
90. Рис. 91. в положение равновесия. Опыт показывает, что момент М в довольно широких пределах пропорционален углу ф: М =- — )ф, где ) — постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения. Поэюму Тф= — )ф. Зто уравнение. математически тождественно уравнению (40.1). Значит, тело будет совершать гармонические крутнльные колебания с периодом /Г Т=2л у У ) (42.2) Сняв первое тело, подвесим на той же проволоке другое тело с моментом ивер. ции и.
Тогда-период колебаний будет Т'=2л ~/ - Гуж Исключая неизвестный модуль кручения ), найдем Если адин из моментов инерции, например ), известен, то по этой формуле может быть вычислен момент инерции 7' другого тела. Момент инерции ! можно вычислить теоретически по геометрическим размерам и массе тела. Для этого надо взять тело правильной геометрической формы, например цилиндр или шар. Формула (42.2) может быть использована также для экспериментального апре- деления модуля кручения проволоки.
условие постоянства длины только одной нити АВ. Постоянство длины другой нити СО при этом условии выполняется автоматвчески. Трифилярный поднес дает удобный метод измерения моментов инерции тел. Сначала измеряется период колебаний Т, венагруженного трифиляра, По этому периоду вычисляется его момент инерции глзяпп Т, 4пн 216 (гл.
Уг ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАДАЧИ !. Материальная точка движетсн в поле тяжести по хорде круга без на. чальной скорости (рис. 92). Показать, что время ее движения из точки А в нижнее положение В не зависит от положения точки А на окружности. (Этот факт был использован Галилеем для установления законов малых колебаний математического маятника. Для нахождения периода колебаний маятника Галилей заменил малую дугу онружности АОВ, по которой движетея материальная точка, хордой АВ). Вычислить период колебаний маятника в этом приближении и убедиться, что оно приводит к правильной зависимости периода колебаний от длины маятника 1 и ускорения силы тяжести 3. Сравнить результат с правильной формулой (41.3).
Ответ. Т = 8 ~ 113. 2. Через неподвижный блок с моментом инерции 1 (рнс. 93) и радиусом г перекинута нить, к одному концу которой подвешен груз массы ль Другой конец Рис. 93. Рнс. 92. Рис. 94. ннтн привязан к пружине с закрепленным нижним концом. Вычислить период колебаний грува, если коэффициент упругости пружины равен й, а нить не может скользить по поверхности блока.
I 11гз+ги Ответ. Т =2п 1ГГ 3. Физический маятник представляет собой однородный стержень длины 1, подвешенный за один из его концов. Определить период колебаний такого маятника. I 21 О т в е т. Т =- 2п 1г У 33. 4. Тело вращения радиуса а с моментом инерции 1 (относительно геометрической оси) и массой т катается без скольжения по внутренней поверхности цилиндра радиуса В, совершая малые колебания окало положения равновесия (рис. 94).
Найти период этих колебаний. Р е ш е н и е. Рассматривая движение тела нак вращение вокруг мгновенной оси *) с угловой сноростью ы, напишем для скорости его центра и = ыа, Ту жс скорость можно представить а виде о =- ( — а)ф. Приравнивая оба выражения, находим *) Определение мгновенной осн см. в 3 45. 217 БиФиляРный и триФилярный НОдвесы Кинетическая энергия по теореме Кенига К= — ыэ+ — ()7-а)зфв=-- т+ —, !()7 — а)ефА 2 2 2 .
2~ пзу Потенциальная же энергия (у=тп(17 — а) (1 — сов ~р) = --(Й вЂ” а) фз. лш 2 Применяя общий метод, изложенный в 9 40, находим Т=2п ~// ( 1+ — ) — . В частности, для сплошного цилиндра и сплошного шара т=2п в/ — —, Т=2п 1/ / З)7 — а -/7(7 — а 2 и ' 'г/ 5 и 5. На горизонтальной плоскости лежит цилиндр с моментом инерции (относительно продольной геометрической оси), массой т и радиусом г. К оси цилиндра прикреплены дне одинаковые горизонтально расположенные спираль- ныг пружины, другие концы которых закреплены в стене (рчс.
95, вид сверху). Рис. 96. Рис. 95. Коэффициент упругости каждой пружины равен й, пружины могут работать как на растяжепве, так и на сжатие. Найти период малых колебаний цилиндра, которые воэвикнут, если вывести его из положения равновесия и дать воэможность кататься без скольжения по горизонтальной плоскости. 2п /1+ тге О т в е т. Т= — 1Г/ —. Для сплошного цилиндра Т =и)/Зтуй.
'г/ 2й б. Однородная квадратная плита подвешена за свои углы к потолку зала на четырех параллельных веревках, длина каждой из которых равна 1. Определить период малых крутнльных колебаний плиты, которые возникнут, если повернуть ее на малый угол вокруг вертикальной оси. /! О т в е т. Т = 2п 1/ )/ Зп В более общем случае, когда плита не однородна, но центр масс ее совпадает с геоыетрическнм центром плитьц где ! — момент инерции плиты относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр, а а — длина одной из сторон плиты, 7.
Три однородных стержня длины ! каждый соединены короткими нитями, как указано на рис. 96. Нижний стержень поворачивают на малый угол вокруг 2!8 (ГЛ, Ц! ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ вертикальной асн, проходящей через центр системы, и отпускают. Найти период возникших при этом малых колебаний, если массы стержней одинаковы. . 7-Х Ответ, Т=2л 17 28' 8.
Шарик массы т подвешен на двух последовательно соединенных пружинках с коэффициентами упругости (гг и ~ (рис, 97). Определить период его вертикальных колебаний .Г Ответ. Т=2н ~7 т( — + — ). У к а з а н и е. Показать, что при растяжениях и сжатиях пружины ведут себя как одна пружина с коэффициентом упругости, определяемым соотношением 1 1 1 — = — + —. А=А, Фэ аг 9. Найти период крутильных колебаний диска, плотна насаженного иа составной стержень, состоящий из двух различных последовательно соединенных стержней (рис. 98). Верхний нонец А стержня неподвижно закреплен. Если бы диск был насажен только на первый стержень, то период колебаний был бы равен Т,.
Если бы он был насажен только на второй стержень, то период колебаний оказался бы равным Т,. О т в е т. Т = ггТ-, '+ Т;;. 10. Найти период малых колебаний физического маятника массы т, к центру масс С которого прикреплена горизонтальная спиральная пружина с коэффициентом упругости А. Другой конец пружины закреплен в неподвижной стенке Рис. 98. Рис. 99. Рнс. !00. (рис. 99).
Момент инерции маятника относительно точки гюдвеса равен 7, расстоявие между точкой подвеса и центрам масс маятника равна а. В положении равновесия пружина не деформирована. ! От вет. Т=2я ~/ шла + Аа' 11. Колебательная система состоит из однородного стержня длины!и массы т, который может вращаться вокруг горизонтальной оси О, проходящей через его конец и перпендикулярной к продольной оси стержня (рис. !00). Другой конец стержня подвешен на пружине с коэффициентом упругости л. Расстояние между центром масс стержня н осью вращении СО = а. Момент инерции стержня огно. сительно асн О равен !.
Найти удлинение пружины хз (по сравнению с ее длиной в недеформнрованном состоянии) а положении равновесна, если в этом положении БИФИЛЯРНЫЙ И ТРИФИЛЯРНЫИ ПОДВЕСЫ 219 стержень гаризонтален. Определить также период малых колебаний стержня около положенвя равновесия. Ответ. ха= —, Т=2л ~ шйп Г! й( ' у' йГэ. 12. К иенцу однородного стержня длины 1 и массы т прикреплена короткая упругая пластинка. Пластинку зажимают в тисках один раз так, что стер. звень оказывается внизу, а другой раэ — вверху (рис. 101). Определить отношение периодов малых колебаний стержня в этих случаях, Момент упругих сил пластинни пропорционален углу отклонения стержня от положении равновесия, причем коэффициент пропорциональности равен й. Тд .з Г2й — тй! Ответ. Т ~г 2й+тй(' 13.
Два незакрепленных шарика с массами ш, и ш соединены друг с другом спиральной пружинкой с козффициентом упругости А. Определить период колсбаний шариков относительно центра масс системы, которые возниннут при растяжении пружинки. Ответ, Т=2л (т,+шз) й' Рис. 101. 14. Два диска с моментами инерции 1з и !з наса- жены на общую осгь проходящую через нх центры. Осью является стержень с модулем кручения г'. Определить период крутильных колебаний одного диска относительно другого в предположении, что система свободна. Массой стержня пренебречь. е Ответ. Т=2л у 15. з1ва сплошных однородных цилиндра одинанового радиуса Й с мас.
сами тг и пьз лежат на горизонтальном столе и связаны с помощью двух одина коных пружин с жесткостью А каждая, как показано на рис. 102 (внд сверху). Определить период малых колебаний, которые возникнут, если растянуть пружины и предоставить систему самой себе, не сообщая ей дополнительной скорости. Цилийдры катаются по столу без проскальзывания. Пружины могут работать как иа растяжение, так и на сжатие. Ответ.
Т=л Г Зт,т~ й(т,+ тз) 16 Колебания обычного математического маятника изохронны (точнее, Рис. 102. приблизительно нзохронны) только тогда, когда их амплитуды малы. Гюйгенс задался целью построить маятник, который совершал бы строго нзохронные колебания при любых амплитудах. Он показал, что таковым является циклоидальнай маятник. Циклоидальный математический маятник представляет собой материальную точку, совершающую колебания, двигаясь под действием силы тяжести по дуге никлоиды. Показать, что колебания цнклоидальнога маятни. ка изохронны, и вынести формулу для его периода.
Р е ш е н и е. Как известна, циклоида представляет собой кривую, описыьэемую одной из точек окружности, натящейся по неподвижной прямой. Для наших целей надо взять циклоиду, обращенную выпуклостью вниз. В соответствии с этим примем, что онружность расположено ниже горизонтальной прямой, по которой она катится (эта прямая на рис. 103 изображена пунктиром). За ось Х примем параллельную ей прямую, смещенную вниз на диаметр окружности 2а.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ (ГЛ. Ч! Пусть точна А на катящейся окружности, описывающая циклоиду, в исходном положении находится на оси г' в наивысшей точке. Если окружность при качении повернется на угол ф, то ее центр С переместится вправо на расстояние агр. Нрн этом точка А сместится относительно центра влево на расстояние а з!п ф и вниз на расстояние а (! — саз ф). Поэтому прямоугольные координаты точки А станут х = а (г? — яп гр), у = а (1+ саз гр).
Эта — уравнение циклонды в параметрической форме, Пусть теперь х и у означают координаты материальной точки, совершающей циклоидальные колебания под действием силы тнжести. Параметр гр становится функцией времени, Патент пиальнак энергия точки будет У= туу, кинетическая К=.— (ха+у). Найдя 2 производные х, у и выполнив элементарные преобразоиания, получим О = 2туа созз —, К = 2тах яп' — ф'. 2' 2 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
