Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Сила давления нз опору 3 скачком обрагишя в нуль, а вес бзлки вполне определенным образом и тоже скачком распределится между оставшимися опорами ! и 2, То же произойдет, если у твердого стола бесконечно мало укоротить одну из четырех ножек. Не то будет в случае реальной балки или реального столз. При бесконечно малом опускании опоры 8 балка прогнется и по-прежнему будет на нее опираться.
Сила давления на опору 3 не обратится в нуль, а уменьшится бесконечно мало. Аналогична, когда стол стоит на четырех ножках, то все ножки деформируются, укора- 3 чиваясь под действием силы веса. Если подпилить одну из ножек, укоротив ее бесконечно мало,то деформация ножки уменьшится, ножка удлинится и снова будет касаться плоскости опоры. Таким образом, и в этом случае давление на ножку изменяется бесконечно мало, т. е. непрерывно. Допустим теперь, что реальная балка лежит на двух опорах, ! и 2 (рис.
! )О). Под действием силы веса балка прогнется. Будем подводить под балку третью опору 8, непрерывно поднимая ее. Как только опора 3 коснется балки, с балкой не произойдет еще никаких изменений. Но дальнейшее поднятие опоры 3 будет связано с выпрямлением балки, а для этого опора должна действовать нв балку с некоторой силой, По мере поднятия опоры 3 эта сила будет непрерывно возрастать, принимая вполне определенное значение при каждом положении опоры 3.
Приведенное рассуждение ясно показывает, почему при решении задачи а распре. делении веса балки между тремя опорами надо учитывать ее упругие свойства. Эгз задача будет реи4ена в гл. Х (см. задачу 3 к 4 80). Аналогичное рассуждение можно провести и для стола на четырех ножках, $45. Мгновенная ось вращения 1.
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Чтобы получить представление о распределении скоростей в нем, достаточно рассмотреть движение точек тела, лежащих в какой- либо одной плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Это значит, что тело можно считать как бы плоским. Соответствующее распределение скоростей показано на схематическом рис. Н1. Точка О тела, через которую проходит ось вращения, неподвижна.
Все другие точки тела движутся по окружностям с центром в О. Нх скорости пропорциональны радиусам соответствующих окружностей. Величины скоростей могут меняться с течением времени, но ось вращения остается одной и той же. 2. Рассмотрим теперь более общее движение плоского твердого тела. Плоскость вращения совпадает с плоскостью самого тела. Никакой неподвижной оси, вокруг которой происходило бы вращение тела, не предполагается. Если А н  — две произвольные МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ.
УП точки твердого тела (рис. 112), то расстояние между ними остается неизменным, а потому (гв — гл) = сопз1, Дифференцируя это соотношение по времени, получим (гв — гл) (гв — гл) = О, или глг (т'в — эл) = Ог (45.1) где глв = АВ. Допустим, что в рассматриваемый момент времени в теле существует точка, скорость которой в этот момент времени равна нулю. (В 5 47 будет показано, что такая точка существует для глв Рис. !12. Рис. 11!. произвольного плоского движения твердого тела.) Примем ее за точку А. Тогда для рассматриваемого момента времени г лвт!в=О каково бы ни было положение точки В.
Отсюда видно, что скорость пв перпендикулярна к глв, т. е. направлена по касательной к окружности с центром в А. При движении твердого тела всякая прямая в теле остается прямой. Это справедливо и для прямой, соединяющей точки А и В. Поскольку в рассматриваемый момент точка А неподвижна,то величина скорости ев в этот момент пропорциональна расстоянию АВ от точки В до точки А. На основании всего этого можно сказать, что мгновенное распределение скоростей в теле в рассматриваемый момент времени будет в точности таким же, как и при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через точку А. Движение тела в этом случае называют мгновениым вращением. Прямая, проходящая через точки тела, скорости которых в рассматриваемый момент времени равны нулю, называется мгновенной осью враи!ения. В нашем примере мгновенная ось проходит через точку А.
Словом «мгновеннаяг хотят подчеркнуть, что зто понятие служит для описания распределения скоростей мгновенная ось вгьщвния 236 только в какой-то заданный момент времени. В отличие от неподвижной оси, сохраняющей свое положение в теле и в пространстве, мгновенная ось, вообще говоря, перемещается как в теле, так и в пространстве. Если получить моментальную фотографию распределения скоростей в теле, то по виду этой фотографии нельзя сказать, происходит ли вращение вокруг неподвижной или вокруг мгновенной оси. Чтобы отличить эти два вращения, надо получить такие фотографии по крайней мере в два различных момента времени.
3. Мгновенная ось слувкит для описания мгновенного распределения только скоростей. Той же осью нельзя пользоваться для описания мгновенного распределения ускорений или высших про- в изводных скорости по времени. Распределение ускорений при вращении вокруг мгновенной оси н может существенно отличаться от соответствующего распределе- С ния ускорений при вращении вокруг неподвижной оси, хотя бы угловые скорости вращения а Р в обоих случаях и совпадали. Дело в том, что для определения ускорений недостаточно л и знать распределение скоростей только в рассматриваемый мо- рис.
Нз. мент времени, Надо знать это распределение также в бесконечно близкий момент времени. А в этот момент может оказаться, что движение тела уже перестанет быть вращением вокруг прежней мгновенной оси. Следующий простой пример хорошо разъясняет суть дела. Рассмотрим качение обруча или диска по плоскости без сиольжения (рис. 113). Отсутствие скольжения означает, что точка обруча А, которой он касается плоскости, в рассматриваемый момент неподвижна. Следовательно, движение обруча можно рассматривать как мгновенное вращение его вокруг мгновенной оси, проходящей через точку касания А. Распределение скоростей при таком движении показано на рис.
113. С течением времени в соприкосновение с плоскостью будут приходить другие точки обруча. При этом точка касания будет перемещаться по плоскости в ту же сторону, куда движется обруч. Это означает, что мгновенная ось перемещается как относительно катящегося обруча, так и относительно плбскости, по которой происходит качение. В этом и состоит смысл утверждения, что мгновенная ось перемещается как в теле, так и в пространстве. Допустим теперь, что качение происходит с постоянной скоростью, Было бы грубой ошибкой вычислять ускорение по формуле а = — ь1'1ч, понимая под 1ч радиус-вектор, проведенный 1гл. Ем МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА й 46. Угловая скорость как вектор. Сложение вращений 1.
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной или мгновенной оси ОА с угловой скоростью ьз (рис. 114). Возьмем какую либо произвольную точку этого тела М, отстоящую от оси вра- щения на расстоянии гц. Линеиная и угловая скорости точки М связаны соотношением о = ГАГА. (46.!) Введем аксиальный вектор св, определяемый векторным произведением [г о] ГВ= Г (46.2) где кл — радиус-вектор, проведенный от оси вращения к точке М перпендикулярно к этой оси. Длина вентора тв, в силу соотношения (46.1), численно равна угловой скорости вра- Рис.
114 щения, а направление совпадаег с направлением оси вращения. Взаимное расположение векторовьз, л~ ио мы уясним лучше, если отложим их нз общего начала (рис. 115). Эти три вектора взаимно перпендикулярны. Из рисунка видно, что о=[ы А1. (46.3) Эта формула является обобщением формулы (46.1), поскольку она определяет не только величину скорости о, но и ее направление. Вектор ьз называется векпюром угловой скорости, или просто угловой скоростью вращения.
Таким образом, угловую скорость можно рассматривать как вектор. Если расположить буравчик с правой нарезкой параллельно оси вращения и вращать его в ту же сторону, от мгновенной оси к рассматриваемой точке обруча. Действительно, полная скорость е любой точки обруча векторно складывается из скорости ос поступательного движения центра обруча С и скорости о,р вращения ее относительно того же центра: о ==- ос + в, . асс Если обруч катится равномерно, то — = О,и ускорение будет равно щ = вовр а = . Поступательное движение не влияет на ускорение а. Оно щ такое же, как и при вращении вокруг неподвижного центра, т. е.
а — ГВ'г, где радиус-вектор к проведен из центра обруча О. Таким образом, при равномерном качении ускорение а направлено к центру обруча, а не к мгновенной оси. 5 461 УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОР. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ 237 в какую вращается само тело, то направление ввинчивания буравчика укажет направление вектора ьт. Формуле (46.3) можно придать более общий и удобный вид. Возьмем на осн вращения произвольную точку О в качестве начала координат (см. рис. 114). Тогда радиус-вектор к, проведенный из этого начала к точке М, можно представить в виде векторной суммы г =- к! + кз, со где кз — слагающая вектора г вдоль оси вращения.
Так как (Гвгз) = О, то вместо формулы (46.3) можно написать более общую формулу ее и = 1Гьк1. (46.4) Из нее получаем о = ыг з!и б, что совпадает с формулой (46.!), так как гз!и 6 = гь. с 2, Что величина ьт есть вектор — вто А не требует специального докаэательспиа, поскольку она определена как векторное произведение двух векторов. Векторный хар ктер ьт означает, разумеется, только то, чаю при повороте координатных систем проекции ьт на их оси преобразуются так все, как разности координат концов направленного геометрического отрезка. Над векторами угловых скоростей можно выполнять все математические операции, как над всякими векторами.
В частности, можно ввести математическое сложение векторов ГВ, н ьт, по правилу па- С раллелограмма. Но как будут складываться угловые скорости, если сложение определить с помощью той или иной 1ризической опера- Ф ции, — это требует особого исследования. I Введем понятие сложения вращений, вложив А в него следующий смысл. Пусть тело вра- л щается вокруг некоторой оси ОА с угловой скоростью ьт„(рис. 116). Пусть сама ось ОА ,Ь в свою очередь вращается с угловой скоро- ~~-~ Ъ стью ьт, вокруг другой оси ОВ.
Подчеркнем, Г еаг что в общем случае речь идет о мгновенных вращениях и притом с нерелятивистскими а скоростями. Первое вращение рассматривается Рнс. 11б, в системе отсчета, в которой (в рассматриваемый момент) ось ОА неподвижна. Второе вращение рассматривается в другой системе отсчета — в той, в которой (в тот же момент) неподвижна ось ОВ. Сложить вращательные движения— значит ответить на вопрос, к какому движению приводит наложение этих двух вращенийг При рассмотрении этого вопроса ограничимся случаем, когда оси ОА н ОВ пересекаются между собой. ЕЗЕ (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
