Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Так как на скатывающееся тело действует сила трения, то может возникнуть вопрос, почему в рассматриваемой задаче можно применять закон сохранения энергии в его механической фсрме. Ответ заключается в том, что при отсутствии скольжения сила трения приложена к тем точкам тела, которые лежат на мгновенной оси вращения. Мгновенная скорость таких точек равна нулю, а потому приложенная к ним сила трения сцепления работы не ггроиэводит и не влияет на величину полной кинетической энергии скатывающегося тела. Роль силы трения сцепления Р, сводится к тому, чтобы привести тело во вращение и обеспечить чистое качение. При наличии силы трепля сцепления работа силы тяжести идет на увеличение кинетической энергии не только поступательного, но и вращательного движения тела. 3. Комбинация /с/т, входящая в формулу (48.3), имеет размерность квадрата длины.
Введем для нее обозначение 1, и назовем р радиусом инерции тела. Формула (48.3) принимает вид (48.6) Величину т можно назвать радиусом качения тела. Радиус качения есть расстояние между центром масс скатывающегося тела и мгновенной осью вращения. Для цилиндра или шара радиус качения равен геометрическому радиусу этих тел. Ускорение скатывающегося тела и приобретенная им скорость поступательного движения зависят от отношения радиуса инерции к радиусу качения. Чем больше это отношение, тем медленнее скшывается тело. Особенно просто этот результат можно уяснить с помощью закона сохранения энергии. Если тело скатывается 252 МЕХАНИКА ТВВРДОРО ТЕЛА ггл.
Чп с высоты Ь, то вся его потенциальная энергия тра переходит в кинетическую. Последняя складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движений. Полная кинетическая энергия тела в нижнем положении равна гпд)г, т. е. зависит только от высоты )1. Чем большая доля кинетической энергии приходится на вращение тела, тем медленнее оно скатывается с наклонной плоскости. Отношение кинетической энергии вращательного движения к кинетической энергии поступательного движения равно Е р 21.МР 1' раях Максимальное значение для ускорения а получается в случае чистого скольжения при отсутствии сил трения.
Пользуясь выражениями для моментов инерции, полученными в 3 36, легко найти соответству1ощие радиусы инерции, а затем вычислить ускорение а. Таким путем получим следующие результаты. Полый цилиндр (без торцов): р' = г', а= - з)па. А Р Р 2' Сплошной цилиндр: р = —, а=- — и з1п 1х.
М 2 2' 3 р 2 А 3 Полый шар: р'= — г', а= — дз1па. 3 ' 5 Сплошной шар: р = — г, а = — д з(п а. з 2 А 5 5 ' 7 Полые тела скатываются медленнее, чем сплошные тела той же геометрической формы. При одинаковых массах моменты инерции полых тел больше, чем сплошных. Поэтому на долю вращательного движения у полых тел приходится относительно ббльшая кинетическая энергия, чем у сплошных. Возьмем маховичок, насаженный на ось. Г1оложим ось на наклонные рельсы, чтобы маховичок находился между ними (рис.
131). Радиус качения в этом случае совпадает с радиусом оси Рас. 131 маховичка г. Отношение р!г здесь велико, и маховичок будет скатываться очень медленно. 4. Когда угол наклона а равен нулю, ускорение а обращается в нуль. Вместе с ним обращается в нуль и сила трения сцепления Г„ как это видно из формулы (48.5). Таким образом, твердое тело, облада1ощее осевой симметрией, например цилиндр или шар, при отсутствии скольжения катится по твердой горизонтальной плоскости прямолинейно и равномерно, совсем не испытывая силы сопротивления. Этот результат относится к идеализированным моделям тел.
Тело и плоскость, по которой оно катится, должны быть идеально твердыми и гладкими. Лля реальных тел он не справедлив или справедлив только приближенно. В этом случае тело н плоскость деформируются. На плоскости возникаег углубление, скатывании тнл с ндклоннои плоскости $ 48! задачи 1.
Определить ускорение а центра шарика, скатывающегося без скольжения по наклонному желобу, образуюшему утол и с горизонтом. Форма поперечного сечения желоба изображена на рис. 132, а и б. яз йз Ответ. а) а= „я мпоь где р — радиус инерции шарика, р'+ ()7' — ае) )7а 2й — ширина желоба; б) а= 4рз+)7з я а1поп 2. С какой высоты Н должен скатиться по наклонному желобу шарик с радиусом инерции р, для того чтобы он смог без скольжения описать мертвую петлю по желобу радиуса К7 Радиусом шарипа г по сравнению с К пренебречь, Ф Рис.
!32 Рис. !33 Згз+ рг 27 Ответ. Н = — И. Лля сплошного шара Н =-- )7 2гз 10 для полого Н= - )1. 17 6 3. Цилиндр нлн шар радиуса г катится по плоскости, наклоненной под углом сс к горизонту. Определить, при каком значении угла и начнется ка ~енше со сколь- жением, если коэффициент трения скольжения ме,кду катяшнмся телом и пло- скостью равен й. гг)р О т в е т. 1я а > й, где р — радиус инерции катящегося тела. рз Лля сплошного шара )йа > '/з й, для полого 1йсх > ь/зй. Лля сплошного пилиндра 1и а > Зд для полого 1и сс > 2л, 4. Шарик радиуса г скатывается без начальной скорости и без скольжения по поверхности сферы из самого верхнего положения А (рнс. !ЗЗ). Определить точку, в которой он оторвется от сферы и начнет свободно двигаться под дейст- вием силы тяжссти.
О т в е т. Положение точки Н, в которой шзрик отрывается от сферы и на. чинзег свободно дннгаться под действием силы тяжести, определяешя углом а, косинус которого равен 2гз созк = — —, Згз+рз тело соприкасается с ней не в одной геометрической точке, а на некотором участке конечной площади. В результате при качении по горизонтальной плоскости возникает сила, замедляющая движение. Это есть сила трения качения. Она обычно мала по сравнению с силой трения скольжения, и во многих случаях ею можно пренебречь (см. 3 17).
[ГЛ, Ч1! МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА где р — радиус инерции шарика. Результат не зависит от радиуса сферы. Для сплошного шарика соз м = эл!м, для полого соз я = '!ы, 5. Цилиндр массы М и радиуса г катится по горизонтальной поверхности стала (рис. !34). Обвитая вокруг цилиндра нить горизонтально проходит через неподвижный блок, а к другому канну ее подвешен груз массы т. Пренебрегая массами блока и нити, найти ускорение центра масс цилиндра. 2тгэ О т в е т, а=, а 4, д, где р — радиус инерции цилиндра.
М (рз+ га)+4гпгз 4т т Для сплошного цилиндра а= д, для полого а= д. 6. По наклонной плосностн, образующей угол сс с горизайтом, скатывается массивный полый пилиндр массы М и радиуса г. По поверхности цилиндра бежит Рис. И5. Рис. 134. собака таким образом, что оиа все время занимает наивысшее положение на поверхности цилиндра. Определить, с каким ускорением а скатывается цилиндр, если масса собаки т.
Р е ш е н и е. Метод решения этой задачи поучителен. Для решения проще всего воспользовать ся уравнением моментов относительно мгновенной оси вращения А (рис. 135). При этом все движения должны рассматриваться относительно системы отсчета, в которой наклонная плоскость неподвижна.
В этой системе собака, все время находящаяся в наивысшей точке цилиндра Я, движется параллельно наклонной плоскости н притом с той же скоростью о, с какой движется центр цилиндра. Момент количества движения системы Е слагается из момента количества движения цилиндра !ы н момента иаличества движения собаки тпй, где й = г (1+'соха) — длина перпендикуляра, опущенного на наклонную плоскость из точки 5. Итак, 5= !и+тго (1+сова), причем под ! следует понимагь момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси, т.
е. величину 2Мгз. Из-за отсутствия снольжения о = ыг, а потому ! = [2М -1- т 11+ сев а)) го. Так кзк центр масс системы н мгновенная ось А движутся параллельно, то производная 5 по времени должна равняться моменту внешних сил относительно мгновенной оси А, т. е. (М+ т) Егэ)па. Приравнивая оба выражения, получим М+т и= 2М+т(1+ ) Еэщсл. Т. По поверююсти большого полого пиливдра, лежащего яа горизонтальной плоскости, начинает бежать собака массы т в направлении к наивысшей точне А н притом тэк, что она все время находится на одном и том же расстоянии СКАТЫНАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОГ'КОСТИ 1 гз1 от этой точки (рис.
136). В результате цилиндр начинает катиться по горизонтальной плоскссти без скольжения. Масса цилиндра М, а угол АОт равен а. Определить: 1) ускорение оси цилиндра а; 2) силу тренин между цилиндром и плоскостью во время качения Рт; 3) время 1, в течение которого собака способна оставаться на указанном расстоянии от точки А, если максимальная полезная мощность, которую она способна развить, равна Р„,„с. Какая при этом будет достигнута максимальная скорскть о„,„, поступательйого движения цилнидрар (Полезной мощностью здесь называется мощность, которая затрачивается саба.
кой на увеличение кинетической энергии системы.) Ответ.а=, г"тр — — (М+т) а, т(1 Вп сс 2М + т (!+ сок а) ' Рмакс 1 Рмакс 2М+гн аа ' макс (2М+т)а 6. Определить ускорение а, с которым цилиндрическая бочка, целиком заполненная жидкостью, скатывается без скольжения с наклонной плоскости, Рис. 136. Рис. 137.
образующей угол а с горизонтом (рис, !37). Трение между жидкостью и стенками бочки считать пренебрежимо малым. Р е ш е п н е. При отсутствии трения между жидкостью и стенками бочки вращение бочки не передается жидкости. Жидкость движе!ся поступательно как целое со скоростью о, равной скорости движения центра масс. Момент количества движения системы относительно мгновенной осн А равен 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
