Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 62
Текст из файла (страница 62)
= 1лы + тЮ, где й — внешний радиус бочки, 1А — момент инерции ее относительно мгновевной оси А, т — масса жидкости. Йз-за отсутствия скольжения о = ы)1, так что Центр масс бочки движется параллельно мгновенной оси, а потому с((. 1)А ) (о — — А-+спЯ ---=(М+т) )7я а!п а, ) л! где М вЂ” масса бочки. Отсюда (М+ т) )та а= 1 + а па!па. +т ' В предельном случае, когда бочка не заполнена жидкостью (т = 0), получается ранее выведенная формула (48.2). В другом предельном случае, когда толщина стенок бочки пренебрежимо мала по сравнению с радиусом )с, (А = 2М((аа М+т 2М+ МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА !ГЛ.
УН При этом мы не учитывали моменты иаерции днищ бочки, считая их пренебрежимо малыми. Читателю рекомендуется решить ту же задачу с помощью уравнения моментов относителыю центра масс, а также с помощью уравнения сохранения энергии. 9. Диск Максвелла подвешен нз очень длинных нитях (рис. !38). Части нитей длины 1= 50 см каждая были намотаны на ось диска, после чего диск стал опускаться под действием силы тяжести. Достигнув нижнего положения, диск стал подниматься вверх, сообщив чрывокэ нитям. Найти ускорение диска и натяжение нити во время его опускания и поднятия, а также оценить приближенно натяжение нити во время рывка. Масса диска М = ! кг, его радиус Я =- = )О см, радиус оси г = 0,5 см. Растяжением нити во время рывка пренебречь.
(Сравните эту С задачу с задачей 2 к 9 37.) О т в е т. Пока движение совершается без рывка, диск опускается и поднимается с одним и тем же ускорением, на- 1 С правленным вниз: 2г' А . Яз+ 2гз Натяжение нити при опускании и поднятии диска также одно и то же и равно Рис. !38. Рис. !39. Ме 1' ат Т,= — 8, ! — -"-)=4,83 Н. Во время рынка нить испытывает дополнительное натяжение АТ, определяемое приближенным выражением ЬТ вЂ” —.
Мл 3,!4 Н. 1 2а пг я Полное натяжение нити во время рывка Т = Т, + АТ = 8,0 Н. !О. На каком расстоянии 1 от оси баллистического маятника должно паха. диться места попадания горизонтальна летящего снаряда, чтобы ась мая !ника при ударе снаряда не испытывала добавочной нагрузки) Р е ш е н и е. Пусть Р— горизонтальная сила, с которой ударяющий снаряд действует на маятник (рис. !39). Уравнение моментов относительно точки подвеса 0 дает 1 — =Я. Й~ Л1 Так как при ударе ось маятника не испытывает дополнительной нагрузки, то ца основднии теоремы о движении центра масс можно написать г)о т — =Р, г)1 где о — скорость центра масс, и — масса маятника.
Массой снаряда пренебрегаем. Почленным делением из этого и предыдущего уравнений исключаем силу Р и получаем 7 йо ш по Если а — расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника, то е =- ша. В результате находим 1 1= —. пш ' «Я СКЛТЫВЛННЕ ТГЛ С 1«ЛКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 2о7 Отсюда видно что 1 есть приведенная длина физического маятника, а точка А соанадаез с центром качания его. Соответствующая ей точка подноса маятника О называется «центром удара». Кузнец точно знает, в каком месте нужно держать рукоятку своего тяжелого молота (нменно — в центре удара], чтобы при ударе не ошущать в руке неприятную отдачу.
11. !(а««им местом шашки следует наносить удар по лозе, чтобы прн рубке пе ощущалась неприятная отдача? Шашку считать однородной полосой длины 1, которую при ударе держат за конец. О т в е т. Расстояние от руки до места удара должно составлять 2!13. 12. Твердый цилиндр н.ли шар, полол«енный на твердую горизонтальную плоскость, катится по ней со скозьжением. Показать, что во время качения наступательная и вращательная скорости этого тела связаны соотношением тго+ 1ы = сапа!, (48.7) где 1 — момент инерции оп«осительно геометрической оси тела. Р е ш е н и е. Уравнения движения центра масс и моментов имеют вид да г!ю лг =«Р, 1 ? РМ4 -Кгг.
дг ' дг Верхний анак относится к случаю, когда сила трения Е направлена вперед (по«з)з«атель««ое движение ускоряется, вращение замедляется), нижннй— когда гс направлена назад (поступательное движение замедляется, вращение ускоряется). Йсключая г и ай найдем в обоих случаях тг до = — 1 дш, откуда и следует (48,7).
13. Согласно ураннению (48.7) качение твердого тела по горизонтальной плоскости не можег прекратиться, если нет никаких дополнительных сил, помимо горизонтальной силы трения, действующей в точке касания. В чем причина расхождения этого вывода с опытом? Р е ш е и и е. Реальные тела двформируе»«ы. На плоскости, по которой катится тело, возникает углубление. Силы трения, действующие иа катящеесн тело, на рнс.
140 изображены маленькими стрелками, их результирующая Г =- АВ. г Ясно, по моь«епт сил трения М больше мо. мента результирующей, т. е. М л гг (Р и М вЂ” величины положителы«ыс). 1(з уравнений т до —.— 7'«11, 1 дш —: — м М «11 почленным делением и умножением на г получаем л«»да+ 1«(м(гг?М) = О. С учетом неравенства ггч ( М отсюда следует тг да+ 1 ды < О, или д Рнс. !40.
(тго+ 1м) ( О. (48.8) Таким образом, в случае реального качения величина тт+ 1ы убывает со временем н в конце концов обращается в нуль. 14. Сплошному однородному шару радиуса г, лежащему на горизонтальной плоскости„в момент 1 = 0 сообщена скорость э, без вращения. Учитывая трение скольжения, но пренебрегая трением качения, найти угловую скорость шара, когда его движение персйдег в чистое качение. Определить потерю кинетической энергии на трение. Р е ш е н и е. Па основании (48.7) тгиа=тга+1ы=(тгз+1) оз, где о — поступательная, а ы — вращательная скорости шара после установлении чистого качения. Отсюда и найдется искомая угловая скорость ы. По»тря 258 [ГЛ.
У[1 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА кинетической энергии равна ! 1 АК = —- о 2 1+тгз о — 7 15. Сплошной однородный шар радиуса г, вращающийся вокруг горизонтального диаметра с угловой скоростью ыо, ставится на горизонтальную плоскость без сообщения ему поступательного движения. Учитывая трение скольжения, но пренебрегая трением качения, найти лнаейную скорость а центра шара, когда его движение перейдет в чистое качение. Определить потерю кнне.
тической энергии на трение. 2 ! тго ! Ответ. а= — ыо= — гыо АК=— ° /ы'= -тг'ы„'. 1+юга 7 ' 2 1+тго о 7 16. Бильярдный шар катится без скольжеаяя по горизонтальной плоскости со скоростью а и ударяется в покоящийся такой же бильярдный шар, причем линия центров параллельна скорости движения. Определить скорости обоих шаров после того, как их движения перейдут в чистые качения. Какая доля первоначальной кинетической энергии перейдет в тепло? Считать, что при столкновении шаров передачи вращательного движения ие происходит. Потерей энергии на трение при чистом качении пренебречь.
О т в е т. Скорость первого шара а, = '/,а, второго аз = о/,а, Потеря кинетической энергии на трение составляет зо/ел начального значенйя кинетической энергии. !7. Два одинаковых бильярдных шара катятся без скольжения навстречу друг другу с одной н той же скоростью а, и претерпевают упругий удар. Предполагая, что удар центральный и за время саударения шаров утловые скорости не изменяются, вычислить скорость каждого шара после столкновения, когда установится чистое качение.
Р еш е и и е. При столкновении шары обмениваются поступательными скоростями, тогда как вращательные скорости их сохраняются неизменными. Очевидно, достаточно найти движение одного из шаров. Непосредственно после стологновения начальные скорости рассматриваемого шара будут а„, !оооо = ыо = ао/г. ПоэтомУ на основании (48.7) ДлЯ ДвижениЯ шаРа после столкновения можно написать тот+ /м = — тазг+ /ыо. После установления чистого качения а = ыг, и следовательно, 1 — тго 3 . ао= — — ао 1+тяго 7 18.
Бильярдный шар, катящийся без скольжения со скоростью ао, отражается упруго при нормальном столкновении с неподвижной стенкой. Предполагая, что за время соударения угловая скорость шара не меняется, определить его скорость а после отражения, когда движение перейдет в чистое качение. 1 — тго 3 Ответ. а= ао=--ао. 1+тго 7 16. Как надо ударить кием по бильярдному шару, чтобы сила трения шара о сукно бильярдного стола заставляла его двигаться: а) ускоренно, б) замедленно, в) равномерно? Предполагается, что удар наносится горизонтальна в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара и точку касания его с плоскостью бильярдного стола.
Ответ. Шар будет двигаться равномерна, если точка удара лежит выше его центра на расстоянии о/о радиуса. Такие удары называются нариальныли. Если она лежит еще выше, то движение шара будет ускоренным. Если же точка удара лежит ниже, то шар будет двигаться замедленно. Соответствующие удары называют высокими и низкили. Решение получено в предположении, что сила трения шара о плоскость стола пренебрежимо мала по сравнению с силой, с которой на шар действует кий во время удара, 4 зв! сдлтывлнид тпл с наклонном плоскости 259 и уравнению моментов (относительно геометрической оси цилиндра) дю 1 — = — Рг, лт Исключая г', получим г(о ЙО глг — = — г' — — тлг в!п а.
г)г ог Рис. 141. Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия (ы = ыэ при ! = О) дает гаго = ! (ыз — ы) — гллг! з)п а. Это соотношение справедливо в течение всего времени движения, независимо от того, происходит ли оно со скольжением или является чистым качением. В наивысшей точке должно быть о = О.
Отсюда следует, что в той же точке ы = О. В противном случае цилиндр продолжал бы вкатываться и рассматриваемая точка не была бы наивысшей. Поэтому время подъема Г найдется, если в предыдущем уравнении положить о = ы = О. Это дает гыа ггао тлгшпа 22 вша Любопытно, что время поднятия (не зависит от коэффициентов трения между цилиндром и наклонной плоскостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
