Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Направление осн фигуры такого гироскопического маятника очень мало подвержено влняншо кратковременных сил и толчков. Гироскопические маятники применяются на самолетах и судах для создания искусственного горизонта (см. 3 52) и искусственной вертикали. П р и м е р. Гироскоп одного нз авнагорнзонтов характеризуется следующими параметрами: гп = 5 1О' г, (и =-- 8 1Оа г см', а =- 0,25 см. Гироскоп делает 20 000 об(мнн и, следовательно, его угловая скорость ш = 2094 рад(с. Подставляя этн данные в формулы (50.6) и (50.7), получим ( =- 160 км, Т = 860 с = = 14 мнн 20 с. Угловая скорость вынужденной прецессии меньше угловой скорости вращения вокруг осн фигуры гироскопа примерно в 1,7 10н раз, 5.
Поведение гироскопа прк вынужденной прецессии па первый взгляд противоречит закону сохранения энергии. Вез грузика Р ось фигуры гироскопа оставалась неподвижной (см. рнс. !50). Как только был повешен грузик, сразу же возникало прецессионное движение. С этим движением связана дополнительная кинетическая энергия гироскопа. Откуда взялась эта энергия? Единственная сила, которая могла сообщать гироскопу эту кинетическую энергию, есть нес грузика Р.
Но 4 эта сила направлена внвз, она перпенднкулярнн к направлению прецесснонного движення и поэтому работы не производит. Деталь- д/ ный ответ на этот и аналогичные вопросы дает / тагная теория гироскопа, излагаемая в $ 52. Злесь мы ограничимся предаарнтельпымн, в ос- / новном качественными, соображеннями. С вЂ” — м/пз,) 6. Исследуем сначала, как возбувсдается регулярная прецессии.
Допустим, что гироскоп Рис. 153. приведен во вращение вокруг его оси фигуры с угловой скоростью шп. Пусть ось фигуры совершает дополнительное равномерное вращение с шловой скоростью 0 вокруг неподвижной осн, составляющей произвольный угол с осью фигуры (рис. 153). Выясним, при каких условиях возможно 1акое движение. К собственному вращеншо вокруг осн фигуры гироскопа с угловой скоростью ш при рассматриваемом движении добавляется еще вращенае вокруг той же осн с угловой скоростью рй Кроме того, гироскоп совсршаегдополннтсльпое вращение Г вокруг перпендикулярной оси с угловой скоростью оз ~ — — () 1. Поэтому его момент количества движения будет 5=! (ш + и ) + 1, 0, . найдем производную этого вектора по времени.
Так как все трн вектора ш1, 91 н П, равномерно вращаются с угловой скоростью (З, то с той же утловой снаростью будет арагцаться н вектор Ц Поэтому его производная по времени будет 5 = (()Ц. С другой стороны, уравнение моментов требует, чтобы 5 =- (п,нЦ, где 0„еч — угловая скорость регу. 274 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ.
Уг! лярной прецессии под действием момента внешних снл М = [агч). Она определяется уравнением (50.2). Отсюда следует, что рассматриваемое движение гироскопа возможно, т. е. совместимо с уравнениями механики, если (1 = !)ор«п. Приведенное рассуждение является вполне точным. Оно показывает, что вйнужденная регуяярная пре«(ессия под действием постоянной силы Р явяягтся одним из возможных точных видов движения, которые может совершать гироскоп. Однако такое движение может возникнуть только при вполне определенных начальных условиях. В начальный момент надо, оченидцо, сообщить вершине гироскопа начальную скорость оь = (Йз), т.
е. привести ось фигуры гироскопа в равномеряое вращение с угловой скоростью ь). Энергия, потребная для этого, сообщается внешним толчком, н никакого противоречия с законом сохранения не возникает. После прекращения действия толчка прецессионное движение гироскопа будет поддерживаться внешней силой г. Внешнял сила таким образом, не вызывает, а лишь поддерживает регулярную прецессию. Поведение гироскопа при вынужденной регулярной прецессии в известном смысле аналогично поведению шарика, привязанного на нити, при равномерном вращении по окружности.
Сила натяжения нити тянет шарик к центру окружности, но шарик все время движется перпендикулярно к ней, непрерывно «уходит вбок». Сила натяжения нити не создает, а лишь поддерживает равномерное вращение по окружности. Для соадавия такого вращения шарику необходимо сообщить дополнительнын толчок в боковом направлении. Сила натяжения меняет только направление, но ве величину скорости. Если иметь в виду эту аналогию, то явление «ухода вбок» оси фигуры гироскопа при вынужденной регулярной прецессии представится, быль может, не таким уж странным, каким кажется оно на первый взгляд. 7.
Приведенное исследование, однако, не отвечает на поставленный выше вопрос, касающийся сохранения энергии. Когда, например, мы вешаем грузик (см. рис, 150), то никакого начального толчка гироскопу при этом не сообщается. А между тем гироскоп начинает прецессировать. Ответ заключаетсн в том, что в этом случае возникающая прсцессия вовсе не является регулярной. На прецессионное движение вершины гироскопа накладываются мелкие вращения и дрожания се. Они называются нутациями. В результате наложения нутаций на прецессионнос движение вершина гироскопа описывает траектории петяеобраэного, цияевидальнвгв или синусообразнвго типа, схематически изображенные на рис.
169, а — в. Вопрос этот будет разобран в $ 52. Вид траектории зависит от начальной скорости, сообщенной оси фигуры гироскопа. Крупномасштабные нутации легко демонстрируются на опыте. Повесим на один из концов оси не очень быстро вращающегося гироскопа грузик (см. рис, 150), Если грузик отпустить без на »ального толчка, то траектория вершины будет циклоидального типа (см. рис. 169, б).
Если же сообщить гироскопу боковой толчок против направления прецессии, вызываемой грузиком, то на траектории появятся петли (см. рис. 169, а). Прн сообщении бокового толчка в направлении прецессии траектория вершины становится сннусообразной (см, рис. 169, в). В последнем случае при надлежащей силе толчка траектория может стать круговой, а сама прецессия— регулярной Когда мы вешаем грузик, то в первый момент он начинает опускаться под действием силы тяжести. Конец же вектора момента количества движения Е приобретает скорость в боковом направлении в соответствии с уравнением Е = М.
В результате вектор ь перестает быть направленным вдоль оси фигуры гироскопа. Траектория вершины прн опускании начинает загибаться вбок. Это и ведет к появлению иутаций. Работа силы тяжести при опускании грузика идет на приращсние кияетической энергии прсцессионно-нутационного движения. Достигнув нижнего положения, грузик начинает подниматься вверх, кинетическая энергия прсцессионно-нутационного движения переходит в потенциальную энергию поднятого грузика. Таким образом, идет непрерывное превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
Никакого нарушения закона сохранения энергии нс получается. У ао) пгвоскоп под дьнствивм сил. ггривлижнннля тгария 278 Если нутации малы, то прецессии называется псевдорегрлярнои". Для быстро вращающихся технических гироскопов псевлорегулярная прецессия практически не отличается от регулярной. Здесь нутации представляют собой чрезвычайно мелкое и частое дрожание оси фигуры гироскопа, пе имеющее никакого значения при изучении основного прецессиопного движения (см. пример в й 52, п. 8). Кроме того, мелкомасштабные нутации быстро зету'хают под действием сил трения, и псевдорегулярная прецессия переходит в регулярную.
8. Существованием нутаций объясняется и другое поведение гироскопа, кажущееся парадоксальным. Согласно уравнению (49.3) момент импульса гироскопа ь изменяется только тогда, когда на него действуют вясшние силы, Если действие внешних сил прекращается, то мгнонснно прекращается изменение вектора ь, а с ним и прецессия гироскопа. Ось фигуры гироскопа становится неподвижной. Не противоречит ли закону инерции такая безмнерчнонногшь осн фигуры гироскопа? Действительно, такое про1иворечие существовало бы, если бы указанная безынерцвонность относилась к движению самой оси фигуры гироскопа.
На самом деле зта безынерционность относится не коси фигуры, а к вектору А. К выводу о безынерционности движения оси фигуры приводит приближенная теория гироскопа, пренебрегающая нутациямн. Мы видим, таким образом, что учет нутаций устраняет противоречия с законом инерции. 9. Согласно изложенному в п. 6 вынужденная регулярная прецессия должна продолжаться неограниченно долго, если гполько момент внешних сил М, поддерживающих ее, остается постояннагм. Например, под действием груза Р гироскоп на рис.
150 должен был бы как угодно долго совершать прецессионное вращение вокруг вертикальной оси У. При этом груз Р все время должен был бы находиться на одной и той же высоте. На самом деле груз Р медленно и непрерывно опускается. Это объясняется действием сил трения и других тормозящих сил. Они создают тормозящий враи)аюи(ий момент М„направленный вниз — в отрицательную сторону оси У (см, рис.
150). Теперь полный момент внешних сил, действующих на гироскоп, будет М + М,. Согласно основному уравнению (49,3) производная А, т. е. линейная скорость вращения конца вектора А, направлена вдоль результирующего момента М + М,. Она имеет вертикальную составляющую, направленную по М,. В результате этого конец вектора Е, а с ним и груз Р будут опускаться. Можно сказать, что тормозящий момент М„вызывает дополнительную прецессию вокруг горизонтальной оси Х, приводящую к опусканию груза Р.
Правильность такого объяснения легко подтвердить экспериментально. Будем подталкивать прецессирующий гироскоп, действуя против направления прецессионного вращения, вызванного грузом Р. Груз начнет опускаться. Если, наоборот, подталкивать гироскоп в направлении прецессионного вращения, то груз поднимается. В первом случае мы создаем вращательный момент М„, направленный вниз, во втором — вверх. Он вызывает прецессионное вращение вокруг горизонтальной оси Х, опуская или поднимая груз. Таким образом, если пытаться ускорить прецессию, то гироскоп отвечает на зту попытку поднятием груза. Если же тормозить прецессионное движение, то зто ведет к опусканию груза.
276 ЬЕГХАЕ!ИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1ГЛ. '4Е| 1О. Интересно переформулпровать полученное правило в свете общефизического принципа Де Иателье (1850 — 1936). Согласно этому принципу, установленному его автором в результате рассмотрения отдельных примеров, на всякое внешнее воздействие система отвечает такими изменениями, которые стремятся ослабить зепо воздействие. Когда мы подвешиваем грузик к оси фигуры вращающегося гироскопа, последний отвечает на это воздействие прецессней.
Такая прецессия с точки зрения принципа,Ле Шателье и должна рассматриваться как реакция гироскопа, ослабляюецая внешнее воздействие, т. е. не позволяющая грузику опускаться. Ясно, что если такую реакцию усилить, т. с. вынудить гироскоп прецессировать быстрее, то этот эффект только усилится. Иными словами, грузик должен подниматься. Наоборот, искусственное замедление прецессионного вращения гироскопа эквивалентно ослаблениео реакции его на воздействие грузика. В результате такого замедления грузик должен опускаться. Изложенная точка зрения оказывается полезной, например, при рассмотрении различного рода стабилизирующих гироскопических приборов, когда надо быстро получить ответ на вопрос, как надо воздействовать на гироскоп, чтобы усилить его стабилизирующее действие. 11. В свете изложенного становится ясным и поведение гироскопа с двумя степенями свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
