Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Результат не изменился бы даже тогда, когда коэффициент трения стал переменным. Решение предполагает, однако, что тренве достаточно велико, чтобы цилиндр мог вкатываться на наклонную плоскость. При недостаточном трении будет происходить лишь замедление скорости вращения цилиндра. Нетрудно подсчитать, что время замедления определяется прежней формулой. Напротив, время обратного скатывания цилиндра вниз, а также наибольшая высота поднятия его зависят от коэффициента тренин. Такое различие объясняется тем, что скатывание цилиндра все время является чистым качением.
Поднятие же 20. Как надо ударить кием по бильярдному шару, чтобы при столкновении с другим (неподвижным) шаром: а) оба шара стали двигаться вперед (удар с накатом), б) первый шар остановился, а второй двигался вперед, в) второй шар двигался вперед, а первый откатился назад (удар с овптяжкод)У Относительно направления и плоскости удара ввести те же предположения, что и в предыдущей задаче.- О т в ет. Случай а) реализуется при высоких ударах, случай б) — при нормальных, случай в) — при низких.
21. Вращающийся с угловой скоростью юз сплошной однородный цилиндр радиуса г ставится без начальной поступательной скорости у основания наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтальной плоскостью, и начинает вкатываться вверх. Определить время, в течение которого цилиндр достигает наивысшего положения на наклонной плоскости.
Р еш е н и е. Пусть Р— сила трения, действующая на цилиндр в месте соприкосновения его с наклонной плоскостью (рис. 14!). Она заставляет цилиндр поднниаться по наклонной плоскости, Сначала, пока не установилось чистое качение, Р является силой трения скольжения. После перехода движения в чистое качение Р переходит в силу трения покоя (сцепления). Однако, независимо от характера движения, оно всегда подчиняется уравнению движения центра масс 260 (гл ии мехА?1икА твердого телА его виерх сначала происходит со скольжением, а затем переходит в чистое качение. 22.
Считая в предыдущей задаче коэффициент трения скольжения А цилиндра о наклонную плоскость заданным и постоянным, определить: 1) ускорение цилиндра ас, когда качение происходит со скольжением; 2) время Ео по истечении которого наступает чистое качение; 3) высоту Н,, которой достигает цилиндр, прежде чем начинается чистое качение, 4) ускорение аз при чистом качении; 5) дополнительную высоту Нс, на которую поднимется пилнндр при тетом качении; б) полную высоту поднятия Н; 7) время обратного скатывания цилиндра вниз ~. Предполагается, что А ) 1яа.
О т в е т. а, = я (11 соз а — гбп а), направлено вверх; ! ыэг Ь?Ы (7+юга) а,+ются яп се (ЗА сова — яп а) 21 1, тг' 2 . а, Н,= аЯяпсс; с,= — „асяпи=- яппи; Нс=- Н,', 2 ' ' 1+тгв 3 ' ас Й соз я — яп сс 4я (ЗА соз а — з!п а) 2Н юсга -)/3(й сваи — япа) а,а)па 2яз)па )с Здсоза — япи -у' й 23. ВРащающийсЯ с Угловой скоРостью юа сплошной одноРодный цилиндР массы т, ставится без начальной поступательной скорости на длинную доску массы тс, лежащую на гладкой горизонтальной плоскости. Начальная скорость доски равна нулю.
Пренебрегая силой трения качения, но учитывая трение скольжения между доской и цилиндром, найти угловую скорость вращения цилиндра после того, как его движение перейдет в чистое качение. Лоска предполагается настолько длинной, что чистое качение успевает установиться до того, как цилиндр скатится с доски. т,+т, Ответ. ю= ' ' юэ.
т, +3?па 24, В сплошном однородном цилиндре радиуса )2 сделана цилиндрическая полость радиуса 012 с осью, проходящей через середину радиуса цилиндра (рис. 142, а). Определить период малых колебаний Т, которые возникнут, если положить цилиндр на горизонтальную плоскость и дать ему возмонсность кататься по ней без скольжения.
.'Ас с Р е ш е н и е. Задача сводится к нахождению выражений для потенциальной н кинетической энергий системы. С этол целью мысленно заполним полость тем же ау Эу' веществом, из которого сделан цилиндр. Образовавпсийся таким образом сплошРис. 142. ной однородный цилиндр назовем цилиндром 1, а цилиндр вдвое меньшего радиуса, заполняюсций полость, — цилиндром 2. Массы цилиндров обозначим соответственно т, и тс. Энергия системы, как потенциальная, так и кинетическая, будет равна разности энергий цилиндров 1 и 2. При повороте системы из положения равновесия на угол ср (рис.
142, б) центр масс пилиндра 1 остается на прежней высоте, его потенциальная энергия (7? не изменяется. Потенциаль- 17 на я же энергия цилиндра 2 становится равной (сс =- ?пляйс, где Ас =)7+ — соа ср— 2 ны ота центра масс этого цилиндра над горизонта,сыюй плоскостью, на которой 261 СКАТЫВАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ $481 находится система. Полная потенциальная энергия всей системы 1 (7 = (1, — (Га = сапа( — тздЯ (1+ саз гр ) .
2 Гдинственное переменное слагаемое, которое она содержит, есть — 41зтм7)7 соз гр. 1!оэтому при надлежащем выборе адди~нвной постоянной величину (1 всегда можно представить в виде Г/.= сапз1+, тзй)7 (1 — соз г!] =- сапа!+ тгп)7 мпх з Ф 2 2 ' или для малых углов гр 1 и = .!+ ~Кйа. 4 Кинетическая энергия системы К =- ~14 (1, — 1з)уз, где 1, и 1, — моменты инерции цилиндров относительно мгвовенной оси. Прн изменении угла ~р величины 1, и 1я изменяются. Но для малых колебаний этими изменениями можно пренебречь и отнести 1, и 1х к тому моменту, когда система находится в положении равновесия.
В этом положении с помощью теоремы Гюйгенса — Штейнера негрудно получить 3 тЯ-', 2 19 1, =- гп,)74. 8 Приняв еще во внимание, что ш, =- 4тх, найдем 29 К=- шхйз~РС !6 Из полученных выражений для (г и К заключаем, что малые колебания системы будут гармоническими с периодом Т=п ~71 —, 25. Большой однородный свинцовый шар массы М лежит на плоской гори. зонтальной поверхности. Небольшая пуля массы т выпущена из ружья горизон. тально со скоростью У' в направлении к центру шара.
Пасхе выстрела пуля застревает внутри шара. Определить линейную скорость шара и после того, как его движение перейдет в чистое наченне. При рассмотрении движения шара после удара считать его однородным, пренебрегая массой застрявшей пули. Трением качения пренебречь. Ответ, ь=- 5 т ~ь ф 7 М ,г. 26. Шар массы А! = 1000 г, лежащий на горизон. тальнои плоскосги, пробивается по диаметру пулей, летящей горизонтально с начальной скоростью Уэ = =-. 500 м1с. После удара шар начинаег скользить по плоскости.
Спустя некоторое время его движение переходит в чистое качение с постоянной скоростью с = 3 м1с. Определить скорость пули У после вылета 47 ее из шара, егли масса пули т:.—. 1О г. Трением качения пренебречь. Рис. 143. 7 М О т в е т. У.=.У, — —. — о=80 м1с. о ш 27. На гладком горизонтальном столе лежит однородный стержень длины 1, который может двигазься по столу без трения (рис. 143). В начальный момент, когда скорость стержня равна нулю, в него ударяется шарик, движущийся перпендикулярно к стержню, На каком расстоянии х от центра стержня С МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ. Ч!! ударился шарик, если непосредственно после удара концы стержня А и В начали двигаться со скоростями о„и он соответственно? (Скорости о„и олсчи- таются полозгительными, когда они направлены в ту же сторону, что и скорость шарика до удара, и отрицательными в противоположном случае.) А В О та е т, х= -- —.
Результат не зависит от характера удара. О ох+он 28. На идеально гладкой горизонтальной поверхности лежит стержень длины 1 и массы М, который может скользить по этой поверхности без трения (см. рис. 143). В одну из точек стержня ударяет шарик массы т, движущийся перпендикулярно к стержню. На каком расстоянии х от середины стержня должен произойти удар, чтобы шарик передал стержню всю сваю кинетическую энергию? Удар считать абсолютно упругим. При каком соотношении масс М и гл это возможно? .ГМ О т в е т.
х= — згг — — 1. 1(ля возможности описанного процесса ' =2УЯУ ш необходимо М вЂ” т. Условие х ( 112 дает еще М ( 4ш. 28. На гладком горазонтальном столе лежит однородный упругий стержень длины 1 и массы М. В конец стержня ударяет упругий (парик массы т, движу- щийся со скоростью и перпендикулярно к стержню.
Йайти значение энергии деформации системы в.момент, когда она максимальна. Трением между стержнем и столом пренебречь. М агог Ответ. (1 = А!+4т 2 —, В предельных случаях 1) М = О и 2) М го получаем !) (? = О, 2) (? = гугтог. ЗО На гладком горизонтальном столе лежит однородный твердый стержень длины 1 и массы М, в край которого ударяет твердый шарик массы и, движу- щийся со скоростью г,, перпендикулярной к оси стержня.
Считая удар идеально упругим и предполагая, что силы трения между поверхностью стола и лежащими на ней теламн пренебрежимо малы, вычислить у~ловую скорость вращення стержня после удара. ' Р и и е Е . и л — сила, действующая на шзрик во время уд~р~ — М вЂ” =Р 1 — -=г г(о о'У сны 1 г)Г ' Ф ' п)1 2 ' Почленным делением исключаем Р и получаем т г!о 2 Мбу 2 1оьз 1' 1 йо 1' Интегрируя в пределах от вачальиога значения угловой скорости м = О до конечного, найдем 21 21 о — оз=- — - - — аь 1'= — — - сз, 1га ' 1М причем в этих уравнениях о, У и ю означают величины соответствующих ско- ростей после удара. Угловая скорость м наздется из уравнения сохранения энергии.
Если в него подставить значения и и У, то для ы получится квадрат- ное уравнение Один из корней этого уравнения (м == О) дает угловую скорость стержня до удара, вгорой — после удара. По условиго задачи надо взять второй корень. С учетом 1 соотношения 1=, МР для него получаем 12 12шг, ы= — — —. (4ш-)-М) 1' 5 493 ГИРОСКОПЫ. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ГИРОСКОПА газ 9 49. Гироскопы.
Движение свободного гироскопа 1. В буквальном переводе слово «гироскоп» означает прибор для обнаружения вращения. В широком смысле гироскопом называется быстро вращающееся твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Гироскоп, в особенности когда на него действуют внешние силы, может совершать удивительные движения, кажущиеся на первын взгляд неожиданными и непонятными. Они всегда воспринимаются с захватывающим интересом. Быстро вращающийся волчок может служить не только забавной нгруцй«ой, но и прекрасным демонстрационным прибором при изучении законов механики. Все явления, обусловленные быстрым вращением гироскопа, называются гироскопическими.
Они нашли широкие научно-технические применения (см. $ 51). Гироскопические эффекты проявляются также у атомов благодаря наличию у них моментов количества движения, связанных с внутренними орбитальными движениями илн собственными вращениями (спинами) электронов и атомных ядер. Конечно, эти, как и всякие другие атомные явления, должны рассматриваться на основе квантовой механики. Однако есть много общего в гироскопических свойствах атомных и макроскопических систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
