Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Поэтому теория гироскопов может оказаться полезной и при изучении атомной физики. Наибольшее значение в науке и технике имеют симметричные гироскопы. Симметричным называется гироскоп, обладающий симметрией вращения относительно некоторой оси, называемой геометрической осью или осью фигуры гироскопа. Теория симметричного гироскопа более проста и более важна, чем теория несимметричного гироскопа. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только симметричных гироскопов. Обычно одна из точек оси фигуры гироскопа бывает закреплена. Закрепленную точку оси фигуры называют точкой опоры гироскопа.
В более общем смысле точкой опоры гироскопа называют такую точку О оси фигуры его, относительно которой рассматривают вращение гироскопа. В общем случае движение гироскопа слагается из движения точки опоры О и вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. Примером гироскопа с движущейся точкой опоры может служить детская игрушка — волчок. Основным в теории является случай, когда точка опоры неподвижна.
К этому частному случаю можно свести и общий случай, когда точка опоры движется (см. п. 6). 2. Чтобы ось фигуры гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, гироскоп обычно помещают в так называемом кардановом подввсг (рис. 144). Маховнчок гироскопа закрепляется ца его оси фигуры А'А, которая может вращаться по возможности с малым трением в подшипниках, укрепленных на концах диаметра МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1гл ен внутреннего кольца. Внутреннее кольцо в свою очередь может вращаться вокруг перпендикулярной оси В'В, проходящей через подшипники на концах диаметра наружного кольца.
Наконец, наружное кольцо может совершать вращение вокруг третьей оси 0'О, проходящей через неподвижные подшишшки подставки. Ось В'В перпендикулярна к оси А'А. Все три оси пересекаются в одной точке, называемой центром карданова подвеса. Гироскоп в кардановом подвесе имеет гпри степени свободы и может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Во всех вопросах мы будем пренебрегать кинетической энергией и моментами импульсоа колец, считая их пренебрежимо малыми по сравнению с кинетической энергией и мо- А ментом импульса маховичка гироскопа.
Если центр карданова подвеса или точка опоры совпадает с центром масс гироскопа, то ~1 гироскоп называется уран- НОВЕШЕН НаМ. к 3. Согласно теореме л Зйлера 8 47) движение гироскопа с неподвижной точкой опоры О можно представить как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. Обозначим Вт вектор мгновенной угловой скорости, с которой вращается гироскоп, Š— момент импульса гироскопа относительно точки О. Найдем связь между векторами Е н Вт для симметричного гироскопа. Если угловая скорость ьт направлена вдоль оси фигуры гироскопа или перпендикулярно к ней, то векторы х. и Вз параллельны между собой. Убедиться в этом проще всего можно следующим образом. Мысленно разобьем все тело гироскопа на пары одинаковых материальных точек, симметрично расположенных относительно оси фигуры гироскопа, как указано на рис.
145 и !46. Момент импульса такой пары точек относительно точки О будет Ш = йп (г,п,] + + е(ш[г;эзэ1', где Ат — масса каждой из ннх. Если гиРоскоп вРащается вокруг оси своей фигуры (рис. 145), то скорости и, к п, равны по везичине, но направлены противоположно. В этом случае Ж =- Птп (и, (г,— г;)1. Векторы пэ и (г,— г,) перпендикулярны к оси вращения. Поэтому вектор Ш, а с ним и момент импульса всего гироскопа ь будут направлены вдоль оси вращения.
По величине х. совпадает с моментом импульса относительно оси вращения, а потому т. == тзы, где тз — момент инерции гироскопа 4 49] ГИРОСКОПЫ. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ГИРОСКОПА 265 оюгосительно оси его фигуры. Если теперь гироскоп вращается вокруг оси, перпендикулярной к оси фигуры (рис. !46), то пг =пи, а потолгу г(Е = Г)лг(пг (ег 4 еи)).
Отсюда видно, что с(Е и Е опять направлены вдоль оси врагцения, причем Е = 1 «г, где !1 — мо- Рис. !45. Рис. 146. мент инерции гироскопа относительно осп, перпендикулярной к его осн фигуры. Допустим теперь, что мгновенная ось направлена под произвольным углом к оси фигуры гироскопа, Разложим вектор Вг на две составляющие: направленную вдоль оси фигуры гироскопа иг„ и перпендикулярную к ней агг (рис. 147).
Из общего определения момента импульса 4игг~ -- — — — д (см. й 30) следует, что он выражается линейно через линейные скорости материальных точек, на которые мысленно могкно разбить тело гироскопа. В свою очередь эти скорости выражаются линейно через вектор угловой скорости иг, имеющий одно и то же значение для всех точек гироскопа. Отсюда следуег, что вектор Е линейно выражается через «г. Рассматривая его как функцию Вг, можно написать Е =- == Е (Вг) — -- Е (ы 4 ы ), или, в силу укаРис. 147. занной линейности, Š— Е (ып) --' Е (аг ). Но функция Е (ига) была бы равна моменту импульса гироскопа, если бы последний вращался только вокруг его осп фигуры с угловой скоростью в, . Зпачггт, Е (егг,) = 1ггга.г.
Аналогично Е(игл ) = 1л Гиг. В результате получим Е =1; В911+1,щ, . (49.1) игл Гл игл МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 1Гл. Еп Пользуясь этой формулой, легко найти построением вектор е., если известен вектор ы (рис. 147). Из построения видно, что векторы Е, Вэ и ось фигуры гироскопа лежат в одной плоскости.
Однако в общем случае направления векторов 7. и ы не совпадают. Если воспользоваться формулой (47.2), то из (49.1) можно получить следующие два выражения для кинетической энергии вращающегося гироскопа: г;, К = — (7;!м!'~ + Ух ы"„) = — (- '- -1- ="), (49,2) Эти выражения показывают, что кинетическая энергия симметричного гироскопа равна сумме кинетических энергий двух вращений, из которо!х одно совершается вокруг оси фигуры, а другое — вокруг оси, к ней !!ер!!ендикулярнои. На практике гироскоп всегда приводится в быстрое вращение вокруг оси фигуры. По сравнению с этим быстрым вращением вращение, возникающее по тем или иным причинам вокруг перпендикулярной оси, всегда происходит мед мино.
Тогда различие в направлениях векторов е. и ы становится очень малым. Оба этп направления практически совпадают с направлением оси фигуры гпроскопа. За положительное направление оси фигуры гироскопа принимают направление ее, совпадающее с направлением вектора угловой скорости ы (точнее, образукнцее с иим острый угол). Если от точки опоры 0 отложить отрезок ОО единичной длины в положительном направлении оси фигуры гироскопа, то конец этого Отрезка Я называется вершиной гироскопа. Если известно движение вершины гироскопа и угловая скорость вращения его вокруг оси фигуры, то движение гироскопа определено полностью. Поэтому основная задача теории гироскопа сводится к нахождению движения вершины гироскопа и угловой скорости вращения его вокруг оси фигуры.
4. Вся теория гироскопа построена на уравнении моментов А=я, (49.3) причем моменты,С и М берутся относительно неподвижной точки Опоры гироскопа О. Если момент внешних сил М равен нулю, то гироскоп называется свободным. Для свободного гироскопа А = О, и следовательно, х — = 7!!ы!!+ ! хвэх = сопИ.
(49.4) Зто уравнение выражает сохранение момента импульса гироскопа. К нему следует присоединить уравнение сохранения энергии ! ! К =— . — (Аы) =- — (7!!оэ!+ 1 хих) = сопз1, (49.5) 4 491 ГИРОСКОПЫ ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ПЬРОСКОПА 267 которое также является следствием уравнения (49.3). Если уравнение (49,4) возвести в квадрат, то получится У,,гв'-,г + Ухгв'х = сопзЕ Из этого и предыдущего уравнений следует, что при движении свободного гироскопа длины векторов «ь~г и 49 г оспгаются постоянными, Вместе с пимьь остаюпгся постоянными сс обе составляющие момента импульса: 1, =/гггьгг и У., =Ухгв„.
Следовательно, осшаелгся постоянньси угол между векторами Е и вь, как это видно из уравнения (49.5). Из постоянства Ьгг и Вг следует также постоянство угла между вектором Е и осью фигуры гироскопа. В каждый момент времени ось фигуры гироскопа совершает вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью «ь. Векторы Вь и Е, как мы видели, лежат в одной плоскости с осью фигуры гироскопа.
А так как вектор л. сохраняет неизменным свое направление в пространстве, то мгновенная ось и ось фигуры должны вращаться вокруг этого неизменного направления с одной и той же угловой скоростью. Все это приводит к следующей картине движения свободного гироскопа. В каждый момент времени движение свободного гироскопа есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через неподвижную пгочку опоры. С течением времени мгновенная ось и вектор е. меняют свое положение в теле, описывая конусы вокруг оси фигуры гироскопа с одной и той же постоянной угловой скоростью ыь вообще говоря, не равной Вь. Направление вектора л.
неизменно в пространстве. Ось фигуры гироскопа и мгновенная ось равномерно вращаются в пространстве вокруг много направления с той же угловой скоростью ьь„но в противоположном направлении. Такое движение называется свободной регулярной прегЬессией гироскопа, Слово «регулярная> надо понимать в том смысле, что на конические вращения оси фигуры гироскопа и мгновенной оси не накладываются никакие дрожания. б. Если гироскоп с достаточно большим моментом инерции привести в быстрое вращение, то Он будет обладать большим моментом импульса.
Приращение момента импульса, как это следует из уравнения (49.3), определяется интегралом ль=~мйт. (49.б) Если внешняя сила действует в течение короткого промежутка времени, то интеграл (49.6), а с ннм и приращение момента импульса будут малы. Значит, при кратковременных воздействиях даже очень больших сил движение свободного гироскопа изменяется мало. Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление его момента импульса. С этим связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гироскопа после приведения его в быстрое вращение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
