Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 52
Текст из файла (страница 52)
ложенне точек подвеса физического маятника, при которых ег> приведенная длина равна заданному значению 1о. Вообще говоря, таких точек пересечения четыре. Две из них расположены по одну, две остальные — по другую сторону от центра масс С.
Их положение легко найти нз квадратного уравнения 'С ао — 1оа+-- =О. (41.7) т о Если 1, > 2ф 1,/т, это уравнение имеет два вещественных по1р л' ложительных корня ал н аз, причем а>+аз — — 1о. (41.8) В этом случае по одну н ту же сторону от центра масс С имеются две точки подвеса А, и Аз (рис, 87), которым соответствует одна и та же приведенная длина 1о. По другую сторону от центра масс С лежит вторая пара симл>етрично расположенных точек подвеса А; и АЕ характеризукнцаяся той же приведенной длиной 1о. Если 1о = — 2)' 1г.)т, корни уравнения (41.7) совпадают, т. е.
обе точки подвеса по каждую сторону от центра масс сливаются в одну. Если 1о < 2)>Т~7т, корни уравнения (41.7) — мнимые. Не сушествует точен подвеса, для которых приведенная длина была бы меньше 2)> 1С)т. Теорема Гюйгенса теперь становится очевидной, 1(ействительно, из соотношения (4!.8) следует, что расстояние между точками А> и А.', а также между точками А; н А, равно приведенной длине маятника 1. Если одну из точек каждой пары принять за точку подвеса, то вторая будет центром качания.
Но это и есть '!г Рис. 87 переходит через точку С на другую сторону прямой АА', период колебзний, перейдя через бесконечность, начинает уменьшаться. При этом двум положениям точки подвеса, находящимся по разные стороны от С на одинаковых расстояниях, соответствуют равные периоды колебаний. Вместо периода колебаний мож- Жр но пользоваться приведенной дли- Т ной маятника 1, однозвачно определающей его период колебаний. При удалении точки подвеса в бес1р конечность или при приближении ее к центру масс С приведенная длина 1 стремится к бесконечности и достигает минимума в каком-то > аг Р промежуточном положении. ГрафиРис. 86.
чески это представлено кривой на рис. 86. На оси абсцисс отложена величина а, на оси ординат — приведенная длина 1 маятника. Кривая состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно оси ординат. Одна ветвь соответствует случаю, когда точка подвеса расположена по одну, а вторая — по другую сторону от центра масс С, Аналитически кривая изображается уравнением (41.5), которое можно переписать в виде БИФИЛЯРНЫй И ТРИФИЛЯРНЫЙ ПОДВБСЫ 2(З теорема Гюйгеьса. Наше рассмотрение показывает также, что точка подвеси ц центр качания находился ло разные стороны от н(гнтро масс и расположены асимметрично относительно него.
Исключение составляет только случай, когда 1,=2)Лс(т. Тогда глочки А, иА, сливаются в одну точку. Сливаюлкя также и точки А; и А:. В этом исключитгльнол~ случае точка лодггса и центр качания расположены симметрично отногшпгльно центра ласс. 2) 4. Теорема Гюйгенса используется в оборотном маятнике для точных измерений ускорения А свободного падения.
Существуют разнообразные конструкции оборотного маятника. На рис. 88 схематически изображена одна из них. 'Маятник С состоит из стального стержня, длина которого обычно несколько больше метра. На нем жестко за- В креплены опорные стальные призмы А и А' и сталь- л ная чечевица В, находящаяся между ними. Другая стальная чечевица О находится на одном из концов стержня (не между призмами), она может переме- (г щаться по стержню и закрепляться в нужном положении.
Перемещением этой чечевицы достигают совпадения периодов колебаний маятника, когда точками подвеса являются ребра опорных призм А и А'. Эти ребра закреплены асимметрично относительно центра масс С. Поэтому при совпадении периодов колебаний расстояние между ними дает приведенную длину физического маятника 1. Измерив период колебаний Т, можно вычислить д по формуле (41.3). й 42.
Бифнлярный и трифилярный подвесы К Найдем период мзлых колебаний бяфнлярного лодвгса. Так называется устройство, состоящее из двух нитей АВ и СО (рис. 89) одинаковой длины, на которых подвешено некоторое тело В0. Если тело повернуть вокруг вертикальной осн 00', то оно начнет совершать крутильные колебания вокруг этой оси. Бифилярный подвес есть С а С р А система с одной степенью свободы, В качестве координаты, определяюшей ее мгновенное положение, удобно взять угол поворота гр тела В0 вокруг оси 00', отсчитывая этот угол от положения равновесия. Кинетическая энергия системы равна Е„ч„ =- = т1з 1ЧР, где 1 — момент инерции ее относительно оси 00'. Потенциальная энергия равна Еч„= туа, где Ь вЂ” высота поднятия тела В0, отсчитываемая 1 от его нижнего положения.
Пусть 1 означает длину 00' в положении равновесия, 2а — расстоя- В д ние между точками падвеса С и А, 2Ь вЂ” расстояние ОВ. Предполагается, что система симметрична, С' В гак что точки 0 и 0' являются серединами отрезков Рис. 89. СА и 0В. Высота Ь найдется из условия нерастя. жимасти нитей АВ и СО. Введем прямоугольную систему коардияат с началом в точке О, ось Х направим вдоль прямой ОА, ось 2 — вниз вдоль прямой 00', (гл. Уг ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ось г' — перпендикулярна к ним.
Координаты точки А все время остаются по. стоянными и равны х ! — — а, у4=0, гА=О. Каординапг точки В в положении равновесна равны хвь —— Ь, ул' = О, гв' — — 1. При повороте системы на угол ф координаты той же точки становятся равными хв — — Ьссиф, у, =Ь з1п ф, гв=-1 — Л. Условие постоянства длины нити АВ можно записать в виде (хв «А)з+(Ув УА)з+(гв гл)з (хв хАА)з+(Ув УА) +(гв гл)з или (Ь соз ф — а)э+ Ь' мпз ф+ (! — Л)з = (Ь вЂ” а)т+1з.
После простых преобразований отсюда находим 2аЬ (! — соз ф) 4аЬ . ф Л= = — мп' — -. 2!+Л 21+Л 2 ' Прн малых колебаниях можно положить гйп (ф12) = ф12. Кроме того, Л 21, и величиной Л в знаменателе можно пренебречь. В этом приближении аЬ, тра Ь ф Еот= ф ° 21 ' " 21 Т=2п з/ т" 11 уаЬ' (42.1) Период налебаний пропорционален квадратному корню из момента инерции и обратно пропорционален нвадратному корню из массы системы, Возьмем в качестве тела В0 металлический стержень. Выведем его из положения равно.
весна и заставим совершать крутильиые колебания. Оии будут сравнительно медленными. Прикрепнм затем в точке 0' тяжелый груз и снова заставим систему колебаться. Колебания станут значительно более быстрыми. Дело в том, что груз прикреплен на осн вращения, а потому он, значительно увеличивая массу системы, практически невлияетна ее момент инерции. Уменьшение периода колебаний можно объяснить также следующим образам.
В положение равновесия система возвращается пад действием горизонтальных составляющих сил натяжения нитей. Подвешивая груз, мы сильно увеличиваем натяжение нитей, а момент инерции увеличивается незначительно. Зто и приводит к тому, что колебания становятся более быстрыми.
2. Формулой (42.!) определяется также период колебаний трифилярнага ладвгса (трифиляра). Он схематически изображен на рис. 90. Точки подвеса А, С и М расположены на окружности раднуса а, точки В, !), Ж вЂ” на окружности радиуса Ь. Нижний диск может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной аси 00'. Вывод формулы (42.П применим без всяких изменений и к трифилярному поднесу. Эта видно уже нз тога, что при выводе было использовано Таким образам, потенциальная и кинетическая энергии приводятся к виду (40.9), причем а = —, 0 =: !. Следовательно, колебания системы будут тйаЬ гармоническими с периодом 215 вишилярныи и трищиляпныи поцвксы з 42] Затем на нижний диск трифиляра кладется тело массы т, момент инерции 7 ноторого требуется измерить.
Пусть Т вЂ” период крутильных колебаний нагруженного трифнляра. Тогда момент инерции системы относительно оси 00' будет С Т+ у ("'+ щз) лоб Тч 4лн Вычитая отсюда предыдущее выражение, находим искомый момент инерции ). 3. Укажем другой метод измерения моментов инерции, который во многих случаях является более предпочтительным. Подвесим тело на стальной праволоке, чтобы оно могло совершать крутильныс колебания вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки (рнс. 91). Прн повороте тела на угол ф проволока закручивается, и возникает момент сил М, стремящийся вернуть тело Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
