Главная » Просмотр файлов » Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика

Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 50

Файл №1111909 Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика) 50 страницаД.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909) страница 502019-05-06СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

8 88) зАкОны сОхРАнения и симметрия Р е ш е н и е. В силу однородности пространства и галнлеевского принципа относительности ускорение а, а с ним и сила у = ша инвариантны относительно переноса начала координат и преобразования Галилея. Возьмем две системы отсчета 5 н 5'. Рассматривая силу у'как функцию координат и скоростей в системе 5', напишем у = у (г,', г,', е'„е',).

Систему 5' можно выбрать произвольно, Выберем ее так, чтобы в рассматрйваемый момент времени материальная точка 1 находилась в начале координат (г', = О), а ее скорость равнялась нулю (в', = О). Тогда в этот момент сила у будет функцией только двух аргументов: у = =- У (г,', е,'). Но разности координат и скоростей в обеих системах отсчета одинаковы, а потому г, = г', — г', = г — г,, и, '= о,' — в', = о — вы В результате получим у=,Г" (гз — г,, в,— е,). ГЛАВА У1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 9 39.

Кинематика гармонического колебательного движения Колебательные явления играют взжную роль в самых разнообразных вопросах физики. Подробный разбор их дается в других разделах нашего курса. Здесь же мы ограничимся предварительным рассмотрением простейших механических колебаний. Начнем с колебательного движения материальной точки. В таком движении точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение и притом в одном и том же направлении, Важнейшим среди колебательных движений является так называемое простое или гармоническое колебательное движение. О нем мы уже говорили в 3 11. Характер такого движения лучше всего раскрывается л с помощью следующей кинематической модели.

Допустим, что геометрическая точка М равномерно вращается по оке л) Л ружности радиуса А с постоянной угловой скоростью в (рис. 83). Ее проекция У на диаметр, например на ось Х, будет совершать колебательное движение от р .аз. крайнего положения У, до другого край- него положения У, и обратно. Такое колебание точки У и называют простым или гармоническим колебанием, Чтобы его описать, надо найти координату х точки У как функцию времени 1. Допустим, что в начальный момент времени 1.= О радиус ОМ образовывал с осью Х угол 6. Спустя время 1 этот угол получит приращение ы| и сделается равным ыг + 6. Из рис. 83 видно, что х=А соз(Ы+6).

(39.1) Эта формула и описывает аналитически гармоническое колебательное движение точки У вдоль диаметра У,У,. Величина А дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия О. Она называется амплитудой колебания. Величина ы называется циклической частотой. Величину Ы + 6 называкп фазой колебания, а ее значение при г = О, т. е. величину 6, — на льной фазой. Если 6 = О, то к = А соз Ы; ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ юз $401 если 6 =- — Ы2, то х = А ейп Ы и т.

д. Таким образом, при гармоническом колебании абсцисса х является синусондальной или косинусоидальной функцией времени й Для графического изображения гармонического колебательного движения можно откладывать по горизонтальной оси время 1, а по вертикальной оси— смещение точки х (рис. 22). Тогда получится периодическая кривая — синусоида. Форма кривой полностью определяется амплитудой А и циклической частотой а. Однако ее положение зависит также от начальной фазы 6.

По истечении времени Т = -'- (39.2) фаза получает приращение 2п, а колеблющаяся точка возвращается в свое исходное положение с сохранением начального направления движения. Время Т называется периодом колебания. Скорость колеблющейся точки найдется дифференцированием выражения (39.1) по времени. Это дает Р=х= — ыА з1п(Ы+6). (39,3) Дифференцируя вторично, получаем ускорение а=в= — ы'А соз(в(+6), (39. 4) или, используя (39.1), а = — а'х. (39.5) Сила, действующая на материальную точку при гармоническом колебании, равна г =гпа= — та'х.

(39.6) Оиа пропорциональна отклонению х и имеет противоположное направление. Она всегда направлена к положению равновесия. Такого рода силы часто возникают при малых смещениях материальной точки из положения равновесия. $40. Гармонические колебания груза на пружине 1. Рассмотрим спиральную пружину, один конец которой закреплен, а к другому подвешено тело массы т (рис, 84). Пусть 1, — длина недеформированной пружины. Если пружину растянуть или сжать до длины 1, то возникнет сила Р, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия.

При небольших растяжениях х = 1 — 1, справедлив закон Тука (1635 †17) — сила пропорциональна растяжению пружины: г = — кх. В этих условиях уравнение движения тела имеет вид тХ = — кх. (40. 1) ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Ггл. Рю Постоянная й называется козффициенпюм упругости илв хсесгпкосгпи пружины. Знак минус означает, что сила г" направлена в сторону, противоположную смещению х, т. е, к положению равновесия.

При выводе уравнения (40.1) предполагалось, что никакие другие силы на тело не действуют. Покажем, что тому же уравнению подчиняется движение тела, подвешенного на пружине в однород. ном поле тяжести. Обозначим в этом случае буквой Х удлинение пружины, т. е. разность Х = 1 — 1о. Пружина тянет груз вверх с силой йХ, сила тяжести — вниз. Уравнение движения имеет вид ГЛХ = — ЙХ+ тд'. Пусть Х, означает удлинение пружины в положении равновесия. Тогда — йХ, + тд = О.

Исключая вес тд, получим ГЛХ = — й (Х вЂ” Х,). Введем обозначение х = Х вЂ” Х„тогда уравнение движения примет прежний вид (39.1). Величина х по-прежнему означает смещение груза из положения равновесия. Однако положение равновесия смещается под действием силы тярас. З4, жести, Кроме того, при наличии тяжести меняется смысл величины — йх. Теперь она означает равнодействующую сил натяжения пружины и веса груза. Но все это не затрагивает математическую сторону колебательного процесса. Поэтому можно рассуждать так, как если бы силы тяжести совсем не было.

Так мы и поступим. 2. Результирующая сила Р = — йх имеет такой же вид, что и сила в выражении (39.6). Если положить тГоо = й, то уравнение (40.1) перейдет в х+Го'х=О (40.3) и периодом Т = — "- = 2п ~' — -. 2п /Гп У' А (40.4) Период колебаний Т не зависит от амплитуды А. Это свойство называется изохронносгпью колебаний. Изохронность, однако, имеет (40.2) Это уравнение совпадает с уравнением (39.5).

Функция (39.1) является решением такого уравнения при любых значениях постоянных А и 6. Можно доказать, что это есть оби(ее решение, т. е. всякое решение уравнения (40.2) может быть представлено в виде (39.1). Различные решения отличаются друг от друга только значениями постоянных А и 6. (Доказательство приводится в конце этого параграфа.) Из изложенного следует, что груз на пружине будет совершать гармонические колебания с круговой частотой 4 св! ГАРЯОниЧеские кОлеБАния ГРузА нА НРужине Ют место до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях закон Гука нарушается. Тогда и колебания перестают быть изохронными, т. е.

появляется зависимость периода колебаний от амплитуды. Амплитуда А и начальная фаза 6 не могут быть определены из дифференциального уравнения (40.2). Эти постоянные определяются начальными условиями, например начальными значениями смещения х и скорости х. Дифференциальное уравнение (40.2) справедливо при любых начальных условиях. Оно описывает весь комплекс колебаний, которые может совершать рассматриваемая система. Конкретное колебание выделяется из этого комплекса заданием постоянных А и 6.

3. Потенциальная и кинетическая энергии тела даются выражениями 1 1 4 1 (40.5) Каждая из них меняется во времени. Однако их сумма Е во времени должна оставаться постоянной: Е = — ях'+ — тх' = сопИ. 1 1 2 2 Если воспользоваться выражением (39.1), то из формул (40.5) найдем ЕП4т — — --йА'созе(со1+6), Е„„„= — т4о'А'з!и'(Ы+6), 1 1 или в силу соотношения (40.3) Е-. = — йА' Ип'(ю(+ 6). Эти формулы можно также записать в виде Е„„= — /гА' [1+ соз 2(4А(+ 6)), Е„„„= —, йА'11 — соз 2(4о(+ 6)). Они показывают, что кинетическая и потенции ьная энергии в отдельности не остаются постоянными, а совершают гармонические колебания вокруг общего среднего значения 4/ йА' с удвоенной круговой часпютой 24о. Когда кинетическая энергия проходит через максимум, потенциальная обращается в нуль и обратно.

Однако полная энергия Е = — Е„„„=, 'Е„„остается постоянной и связана с амплитудой А соотношением Е = 2 ЕА'. (40.7) Приведенное простое вычисление вместе с тем показывает, что выражение (39.1) является решением дифференциального уравнения (40.5) при условии, что частота 4о определяется формулой (40.3), ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ !ГЛ. У1 208 а амплитуда А — формулой (40.7). Таким образом, при заданной полной энергии Е постоянная А не произвольна. Имеется лишь одна произвольная постоянная, определяемая начальными условиями, а именно начальная фаза 6.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,29 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6432
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее