Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 50
Текст из файла (страница 50)
8 88) зАкОны сОхРАнения и симметрия Р е ш е н и е. В силу однородности пространства и галнлеевского принципа относительности ускорение а, а с ним и сила у = ша инвариантны относительно переноса начала координат и преобразования Галилея. Возьмем две системы отсчета 5 н 5'. Рассматривая силу у'как функцию координат и скоростей в системе 5', напишем у = у (г,', г,', е'„е',).
Систему 5' можно выбрать произвольно, Выберем ее так, чтобы в рассматрйваемый момент времени материальная точка 1 находилась в начале координат (г', = О), а ее скорость равнялась нулю (в', = О). Тогда в этот момент сила у будет функцией только двух аргументов: у = =- У (г,', е,'). Но разности координат и скоростей в обеих системах отсчета одинаковы, а потому г, = г', — г', = г — г,, и, '= о,' — в', = о — вы В результате получим у=,Г" (гз — г,, в,— е,). ГЛАВА У1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 9 39.
Кинематика гармонического колебательного движения Колебательные явления играют взжную роль в самых разнообразных вопросах физики. Подробный разбор их дается в других разделах нашего курса. Здесь же мы ограничимся предварительным рассмотрением простейших механических колебаний. Начнем с колебательного движения материальной точки. В таком движении точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение и притом в одном и том же направлении, Важнейшим среди колебательных движений является так называемое простое или гармоническое колебательное движение. О нем мы уже говорили в 3 11. Характер такого движения лучше всего раскрывается л с помощью следующей кинематической модели.
Допустим, что геометрическая точка М равномерно вращается по оке л) Л ружности радиуса А с постоянной угловой скоростью в (рис. 83). Ее проекция У на диаметр, например на ось Х, будет совершать колебательное движение от р .аз. крайнего положения У, до другого край- него положения У, и обратно. Такое колебание точки У и называют простым или гармоническим колебанием, Чтобы его описать, надо найти координату х точки У как функцию времени 1. Допустим, что в начальный момент времени 1.= О радиус ОМ образовывал с осью Х угол 6. Спустя время 1 этот угол получит приращение ы| и сделается равным ыг + 6. Из рис. 83 видно, что х=А соз(Ы+6).
(39.1) Эта формула и описывает аналитически гармоническое колебательное движение точки У вдоль диаметра У,У,. Величина А дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия О. Она называется амплитудой колебания. Величина ы называется циклической частотой. Величину Ы + 6 называкп фазой колебания, а ее значение при г = О, т. е. величину 6, — на льной фазой. Если 6 = О, то к = А соз Ы; ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ юз $401 если 6 =- — Ы2, то х = А ейп Ы и т.
д. Таким образом, при гармоническом колебании абсцисса х является синусондальной или косинусоидальной функцией времени й Для графического изображения гармонического колебательного движения можно откладывать по горизонтальной оси время 1, а по вертикальной оси— смещение точки х (рис. 22). Тогда получится периодическая кривая — синусоида. Форма кривой полностью определяется амплитудой А и циклической частотой а. Однако ее положение зависит также от начальной фазы 6.
По истечении времени Т = -'- (39.2) фаза получает приращение 2п, а колеблющаяся точка возвращается в свое исходное положение с сохранением начального направления движения. Время Т называется периодом колебания. Скорость колеблющейся точки найдется дифференцированием выражения (39.1) по времени. Это дает Р=х= — ыА з1п(Ы+6). (39,3) Дифференцируя вторично, получаем ускорение а=в= — ы'А соз(в(+6), (39. 4) или, используя (39.1), а = — а'х. (39.5) Сила, действующая на материальную точку при гармоническом колебании, равна г =гпа= — та'х.
(39.6) Оиа пропорциональна отклонению х и имеет противоположное направление. Она всегда направлена к положению равновесия. Такого рода силы часто возникают при малых смещениях материальной точки из положения равновесия. $40. Гармонические колебания груза на пружине 1. Рассмотрим спиральную пружину, один конец которой закреплен, а к другому подвешено тело массы т (рис, 84). Пусть 1, — длина недеформированной пружины. Если пружину растянуть или сжать до длины 1, то возникнет сила Р, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия.
При небольших растяжениях х = 1 — 1, справедлив закон Тука (1635 †17) — сила пропорциональна растяжению пружины: г = — кх. В этих условиях уравнение движения тела имеет вид тХ = — кх. (40. 1) ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Ггл. Рю Постоянная й называется козффициенпюм упругости илв хсесгпкосгпи пружины. Знак минус означает, что сила г" направлена в сторону, противоположную смещению х, т. е, к положению равновесия.
При выводе уравнения (40.1) предполагалось, что никакие другие силы на тело не действуют. Покажем, что тому же уравнению подчиняется движение тела, подвешенного на пружине в однород. ном поле тяжести. Обозначим в этом случае буквой Х удлинение пружины, т. е. разность Х = 1 — 1о. Пружина тянет груз вверх с силой йХ, сила тяжести — вниз. Уравнение движения имеет вид ГЛХ = — ЙХ+ тд'. Пусть Х, означает удлинение пружины в положении равновесия. Тогда — йХ, + тд = О.
Исключая вес тд, получим ГЛХ = — й (Х вЂ” Х,). Введем обозначение х = Х вЂ” Х„тогда уравнение движения примет прежний вид (39.1). Величина х по-прежнему означает смещение груза из положения равновесия. Однако положение равновесия смещается под действием силы тярас. З4, жести, Кроме того, при наличии тяжести меняется смысл величины — йх. Теперь она означает равнодействующую сил натяжения пружины и веса груза. Но все это не затрагивает математическую сторону колебательного процесса. Поэтому можно рассуждать так, как если бы силы тяжести совсем не было.
Так мы и поступим. 2. Результирующая сила Р = — йх имеет такой же вид, что и сила в выражении (39.6). Если положить тГоо = й, то уравнение (40.1) перейдет в х+Го'х=О (40.3) и периодом Т = — "- = 2п ~' — -. 2п /Гп У' А (40.4) Период колебаний Т не зависит от амплитуды А. Это свойство называется изохронносгпью колебаний. Изохронность, однако, имеет (40.2) Это уравнение совпадает с уравнением (39.5).
Функция (39.1) является решением такого уравнения при любых значениях постоянных А и 6. Можно доказать, что это есть оби(ее решение, т. е. всякое решение уравнения (40.2) может быть представлено в виде (39.1). Различные решения отличаются друг от друга только значениями постоянных А и 6. (Доказательство приводится в конце этого параграфа.) Из изложенного следует, что груз на пружине будет совершать гармонические колебания с круговой частотой 4 св! ГАРЯОниЧеские кОлеБАния ГРузА нА НРужине Ют место до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях закон Гука нарушается. Тогда и колебания перестают быть изохронными, т. е.
появляется зависимость периода колебаний от амплитуды. Амплитуда А и начальная фаза 6 не могут быть определены из дифференциального уравнения (40.2). Эти постоянные определяются начальными условиями, например начальными значениями смещения х и скорости х. Дифференциальное уравнение (40.2) справедливо при любых начальных условиях. Оно описывает весь комплекс колебаний, которые может совершать рассматриваемая система. Конкретное колебание выделяется из этого комплекса заданием постоянных А и 6.
3. Потенциальная и кинетическая энергии тела даются выражениями 1 1 4 1 (40.5) Каждая из них меняется во времени. Однако их сумма Е во времени должна оставаться постоянной: Е = — ях'+ — тх' = сопИ. 1 1 2 2 Если воспользоваться выражением (39.1), то из формул (40.5) найдем ЕП4т — — --йА'созе(со1+6), Е„„„= — т4о'А'з!и'(Ы+6), 1 1 или в силу соотношения (40.3) Е-. = — йА' Ип'(ю(+ 6). Эти формулы можно также записать в виде Е„„= — /гА' [1+ соз 2(4А(+ 6)), Е„„„= —, йА'11 — соз 2(4о(+ 6)). Они показывают, что кинетическая и потенции ьная энергии в отдельности не остаются постоянными, а совершают гармонические колебания вокруг общего среднего значения 4/ йА' с удвоенной круговой часпютой 24о. Когда кинетическая энергия проходит через максимум, потенциальная обращается в нуль и обратно.
Однако полная энергия Е = — Е„„„=, 'Е„„остается постоянной и связана с амплитудой А соотношением Е = 2 ЕА'. (40.7) Приведенное простое вычисление вместе с тем показывает, что выражение (39.1) является решением дифференциального уравнения (40.5) при условии, что частота 4о определяется формулой (40.3), ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ !ГЛ. У1 208 а амплитуда А — формулой (40.7). Таким образом, при заданной полной энергии Е постоянная А не произвольна. Имеется лишь одна произвольная постоянная, определяемая начальными условиями, а именно начальная фаза 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
