Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Различным значениям координаты х соответствуют и различные положения тела. Напротив, при непрерывном вршцении тела В взаимное расположение тел В и А периодически восстанавливается: значениям угла ф, отличающимся на 2пп, соответствует одно и то же относительное расположение тел А и В. Падающая кошка, вращая хвостом и лапами, придает своему телу такое положение, чтобы встать на землю лапами. И это ей удается.
Эти явления можно имитировать на скамье Жуковского. Демонстратор, совершая конические вращения одной и.тн обеими руками, всегда может повернуть скамью Жуковского на произвольный угол. Для усиления эффекта он может взять в руки массивный предмет с большим моментом инерции, например молот. $35. Теорема Гюйгенса — Штейнера Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей.
Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекают ее в точках О и А. Ради краткости будем е)в называть самые оси также осями О и А. Разобьем мысленно тело на элементарные массы [[п[. Радиусы-векторы одной из них, проведенные от осей О и А параллельно плоскости рисунка, обоз- Ю 4 начям г н г' соответственно. (На рис. 63 изображен такой Рис.
63. случай, когда элементарная мас- са с[т лежит в плоскости рисунка). Тогда г' = г — а, где а означает радиус-вектор ОА. Следовательно, г"- =- г' + а' — 2 (аг), ~ г'~ дт = ~ г' дт + а' ~ с[т — 2 (а ~ г с(т) Интеграл слева есть момент инерции !л тела относительно осн А, первый интеграл справа — момент инерции относительно оси О.
Последний интеграл можно представить в виде ~гс(т =тес, Вычисление моментов инерции 1ВЗ $661 где 1тс — радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О (точнее, гсс есть слагающая радиуса-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка). Таким образом, 1 л = 1о+ та' — 2т (а)тс) (35.1) Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. Тогда гсс = О, и предыдущая формула упрощается, принимая вид гл 1+ а (35.2) Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Гюйгенса — Штейнера (1?96 — 1863).
Момент инерции тела относительно наной-либо оси равен моменту инерции его относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной та', где а — расстояние между ося,ии. $ 36. Вычисление моментов инерции 1. Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением или измерить экспериментальное). Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла 1 =~ гайт, (36.1) в котором г — расстояние от элемента массы дтп до оси вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела.
Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Для тел неправильной формы такие интегралы могут быть найдены численно. Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения подобия и симметрии, теорему Гюйгенса — Штейнера, а также некоторые другие общие соотношения, о которых будет сказано ниже. Рассмотрим два подобных и подобно расположенных относительно оси вращения тела А и В одной и той же плотности. Полные и элементарные массы этих тел относятся как кубы нх линейных размеров 1.
Так как элементарные массы умножаются на квадраты расстояний их до оси вращения, то моменты инерции тел А и В будут относиться как пятые степени тех же размеров. Таким образом 1 16, или 1 =япйа, (36.2) Под 1 следует понимать какой-либо каранпмрный размер тела или расстояние какой-либо характерной точки его от оси вращения. ") Оо одном методе анспернментального определения моменгои инерции гоиорится в 6 42.
184 МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ «ГЛ. У Коэффициент пропорциональности й зависит только от формы тела и его расположения относительно осн арап«енкя. 2. Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки, Сам по себе момент инерции тела относительно точки ие играет никакой роли в динамике.
Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний 1«до точки О: г О = г.т)г"'. В случае непрерывного распре- деления масс эта сумма сводится к интегралу м(ккг) О = ~ )с' йт.
Само собой понятно, что момент 9 не следует смешивать с моментом инерции 1 д относительно оси. В случае момента 1 массы йт умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента Π— до неподвижной точки. Рассмотрим сначала одну материальную х точку с массой т и с координатами х, у, г Рис.
64. относительно прямоугольной системы коорди- нат (рис. 64). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, У, 2 равны соответственно у' + г', г' + х', х' + у'-, а моменты инерции относительно тех же осей 1„= т (уь+ г'), 1, = т (гь+х'), 1, = т (х'+уь). Сложив эти три равенства, получим 1 +1, +1,=2т(х'+у'+Р). Но х' + у' + г" = — Щ где й — расстояние точки т от начала координат О.
Поэтому 1„-+ 1„+ 1, = 20. (Зб.З) Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но н для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инер««ии тела относительно трех взаимно перпендикулярных всей, пересекающихся в одной п«очке О, равна удвоенному моменту инерции того эке тела относительно вагой точки. Если повернуть координатные оси Х, У', 2 относительно тела, оставляя углы между ними прямыми, то моменты инерции 1„, 1„, 1„ вообще говоря, изменятся. Однако их сумма останется той же самой, так как оиа равна 29, а величина В не зависит от ориецтацип координатных осей.
Таким образом, сумма моментов инерции 1„, 1„ 1, относительно любых трех взаимно перпендикулярных осей, 185 ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ 5 за! проходящих через одну точку, зависит только от положения эпюй точки и не' меняется с изменением ориентаг(ии осей. Более глубокая геометрическая природа этого утверждения раскрывается в тензорной алгебре. 3. Другое следствие можно получить для плоского распределения масс.
Допустим, что имеется пластинка произвольной формы с произвольным распределением вещества по ее объему. Если пластинка очень тонкая, то можно считать, что вещество распределено бесконечно тонким слоем по математической плоскости, Примем эту плоскость за координатную плоскость ХУ'. Тогда г-координаты всех материальных точек будут равны нулю, а потому момент инерции О пластинки относительно начала координат О представится выражением О = Ббт (х' + уз), т. е. будет равен моменту инерции пластинки относительно оси с.
Таким образом, в случае плоского распределения масс 1, + 1в + 1, = — 21„ т. е. 1.+1„=1,. Далее, очевидно, что величина О не меньше каждого из момеьтов инерции 1хо 1н, 1„например О '=- 1, (знак равенства имеет место только для плоского распределения масс). Вычитая неравенство 21, ( 20 из равенства (36.3), получим 1 + 1„— 1,: О, или 1,+1к=-1,. (36.4а) Отсюда следует, что из отрезков, длины которых численно равны 1„, 1к, 1„ всегда можно составить треугольник. Для плоского распределения масс (в плоскости ХУ') формула (36.4а) переходит в формулу (36.4). После этих предварительных замечаний можно перейти к вычислению моментов инерции конкретных тел.
откуда й = !!3. В результате находим !А — — т1', ! 4 3 ! — гл(з ! с 12 (36,5) (36.6) 4. Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 65). Для момента инерции можно написать !А = !ггл(х, где 1 — длина стержня. Центр стержня С является его цеатром масс, По теореме Гюйгенса — Штейнера !л — — ! +т(1!2)'. А' с Величину ! можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна 112, масса гп12, а следовательно, мою!1!з мент инерции равен й -- — ~, Таким образом, 1с = йгл(112)з. Подставляя эти 2 (21 ' выражения в предыдущую формулу, получим 1! )з 1! '~х Ьп1е = Ьп ' .. ~) + 186 (ГЛ.
У МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Существенно, что стержень тонкий, Бесконечно тонкий стержень можно рассматривать как отрезок прямой линии. Он всегда геометрически подобен любой его части. Поэтому коэффициент А будет одним и тем же для всего стержня н лля любой его части, например, половины. Для стержня конечной толщины подобие между всем стержнем и его частью уже не имеет места. В этом случае численный коэффициент й имеет разные значения для всего стержня и его половины.
По этой причине к стергкпю конечной толщины формулы (36.5) и (36.6) не примевимы. По имв как приблюкенными формулами можно пользоваться, когда поперечные размеры стержня очень малы по сравнению с его длиной. 5. Момент инерции однородных прямоугольной пластинки и прямоугольного параллелепипеда. Пусть координатные оси Х и У проходят через центр пластинки С и параллельны ее сторонам (рис. 66). Представим себе, что все вещество пластинки смещено параллельно оси Х и сконцентрировано на оси У. При таком смещении все расстояния Ь Рис. 66. Рис.
65. материальных точек до оси Х не изменятся. Вместе с ними не изменится и момент инерции! относительно оси Х. Но е результате смещения пластинка перейдет а бесконечно тонкий стержень длины 1, к которому применима формула (36.6). В результате получим (36. 7) Момент инерции 1, пластинки относительно оси 3, перпендикулярной к ее плоскости, найдется по формуле (36.4), иоторая дает (36.8) 1, = — (аа+ Ьз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
