Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Кроме того, моментом импульса могут обладать не только частицы, но и силовые поля, например электромагнитное поле. Наконец, понятия и законы классической механики не всегда применимы к процессам, происходящим внутри атомов, атомных ядер и элементарных частиц.
При рассмотрении таких процессов не представляется возможным пользоваться клас- 9 зг1 момаггты силы и нмпхльсь относительно точки 169 сическими понятиями, к числу которых относится момент импульса как он был определен вьппе. Здесь можно только ограничиться замечанием, что в физике понятие момента импульса расширяется, но как это делаешься фактически, пока рассматривать преждевременно.
Изучающий физику уже с самого начала должен иметь в виду, что физика обобщает механическое понятие момента импульса и постулирует закон его сохранения для всех физических процессов, Такой расширенный закон сохранения моменпга илгпульса уже не является теоремой механики, а должен россмалгривагнься как самостоятельный оби1ефизический ггринг1игг, являющийся обобщением опыпгных фактов. Можно было бы при изложении механики включить закон сохранения момента импульса для системьг двух материальных точек в число основных постулатов, как это мы сделали с законом сохранения импульса для системы двух материальных точек. Тогда третий закон Ньютона следовало бы исключить из числа основных постулатов механики. В 9 12 уже было показано, что этот закон только отчасти является следствием закона сохранения импульса.
Однако, если к закону сохранения импульса добавить еще закон сохранения его момента, то из этих двух законов можно получить третий закон Ньютона как их следствие. Действительно, рассмотрим замкнутую систему из двух материальных точек, взаимодействующих между собой с силами Г-. и г';. Из закона сохранения импульса следует е г = — Р;, а из закона сохранения момента импульса: Р' Рг1+[х зРг1 =соггзт. Дифференцируя по времени это уравнение, получим [ю.грД+ [г,рД = О, или [к. лсг1+ [е,Р;) = О.
Так как х"г= — г',, то [(~,— ~,1 ГД=О. Отсюда следует, что векторы гг — к, и ггг коллинеарны. Коллинеарны также векторы гг — ке и ~о,. Эго значиг, что силы л"г и лое направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие материальные точки. 4. Момент сил н момент импульса зависят не только от величины и направления эгих векторов, но и ст положения начала. Оба момента, вообще говоря, изменятся, если перейти к новому началу.
Пусть 0 и 0' — два неподвижных начала. Радиусы-векторы г и г" одной н той же точки относительно этих начал связаны соотношением г=г' — Я, 170 1гл. ч МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ где Ах =О'Π— радиус-вектор начала О относительно О'. Написав выражения для моментов импульсов каждой материальной точки системы и просуммировав эти выражения по всем материальным точкам, получим ~. (гп1п")= А (г'тэ) — ~й'~тд~, пли (30.6) где р — полный импульс системы, х. и х.' — моменты ее импульса относительно начал О и О' соответственно.
Если импульс р равен нулю, то С =А'. В этом случае вектор момента импульса системы не зависит от выбора начала. Аналогично, М=М вЂ” УЦ, (3О.7) где М и М' — моменты сил, действующих на систему, относительно начал О и О', а гч — геометрическая сумма этих сил. Если результирующая сила г равна нулю, то М= М'. Это имеет место, например, для пары сил, т. е. двух равных, но противоположно направленных сил, линии действия которых смещены одна относительно другой. Вот почему можно говорить о моменте пары сил, не указывая начала, относительно которого этот момент берется. $ 31.
Связь момента импульса материальной точки с секториальной скоростью. Теорема площадей 1. Если система состоит из одной материальной точки, то момент импутьса имеет простой геометрический смысл. Пусть в момент времени 1 положение материальной точки определяется радиусом- вектором г (рис. 57). За время Ш радиус-вектор получает приращение пйГ, описывая площадь бесконечно малого треугольника, заштрихованного на рис. 57. Площадь этого треугольника можно изобразить вектором 2 ( 1 л Ряс.
57 длина которого представляет величину рассматриваемой площади, а направление перпендикулярно к плоскости треугольника. Производная (ЗЕ1) определяет площадь, описываемую радиусом-вектором в единицу времени. Она называе~ся гекториальиой скоростью. Так как по теОРемА площьдеп з зц определению Е=т(гэ), то Е =2тЮ, (31. 2) При нерелятивистских движениях масса т постоянна, а потому момент импульса Е пропорционален секториальной скорости Ю. 2. Если сила, действующая на материальную точку, центральная и ее направление проходит через полюс О, то вектор Е не будет меняться во времени.
В случае нерелятивистских движений не будет меняться и секториальная скорость 8. В этом случае закон сохранения момента импульса переходит в закон площадей: 8 = сопз1. (31.3) Из этого уравнения вытекают два следствия. Во-первых, плоскость, в которой лежат векторы к и в, перпендикулярны к направлению вектора о. А так как последнее направление остается неизменным, то будет неизменной и указанная плоскость.
Это значит, что траектория материальной точки в поле центральных сил есть плоския кривая. Во-вторых, из постоянства длины вектора Ю следует, что в равные времена радиус-вектор материальной точки описывает одинаковые по величине площади. Это положение часто также называют законом площадей. Мы предпочитаем, однако, придавать закону площадей более широкий смысл, характеризуя площадь не только величиной, но и ее ориентацией в пространстве. Справедливо и обратное утверждение.
Если траектория материальной точки — плоская кривая и радиус-вектор, проведенный из неподвижного полкка О, в равные времена описывает одинаковые площади, то направление действующей силы все время проходит через полюс О. Действительно, условие теоремы эквивалентно утверждению, что секториальная скорость Ю есть постоянный вектор.
Будет постоянен и момент импульса Е. Поэтому (см. (30.4)) Е = = М = (кЕ1 = О. Отсюда следует, что вектор Р коллинеарен радиусу-вектору к, а следовательно, его направление все время проходит через точку О, Последняя является, таким образом, силовым центром, из которого должны исходить силы притяжения или отталкивания, действующие на материальную точку. 3. Теорема площадей справедлива не только в случае неподвижного силового центра. Пусть две материальные точки взаимодействуют между собой центральными силами. Применяя понятие приведенной массы, можно свести задачу об их относительном движении к задаче о движении одной точки в силовом поле неподвижного силового центра (см. 2 20).
В качестве такого силового центра можно принять любую из рассматриваемых материальных точек, относительно которой движется другая точка. Тогда радиус-вектор, проведенный от первой точки ко второй, будет в относительном движении описывать в равные времена равные площади. 172 ~гл. т МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ и 32. Момент импульса и момент сил относительно неподвижной оси 1.
Векторное уравнение (30.5) эквивалентно трем скалярным уравнениям: которые получаются из уравнения (30.5) путем проектирования на неподвижные осн декартовой системы координат. Индекс лвнеш», указывающий на то, что при вычислении момента сил внутренние силы могут не приниматься во внимание, в дальнейшем обычно будет опускаться.
Таким образом, под М в уравнении моментов всегда будет подразумеваться момент внешних сил. Величины и М„называются соответственно моментами импульса и сил относительно оси Х. Аналогично говорят о моментах импульса и сил относительно координатных осей У и 3. Вообще, моментами Ь„и М„импульса и сил относительно произвольной оси Х называют проекции векторов л.
и М на эту ось в предположении, что начало О лежит на рассматриваемой оси. Уравнение Ж., — =М„ в» (32.2) Ма = [г ЕРЕ|. Только эта составляющая и играет роль при нахождении момента М называется уравнением моментов относительно неподвижной оси Х. Когда момент внешних снл относительно какой-либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси остается постоянным. Зто — закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси. 2. Чтобы выяснить геометрический смысл момента М„представим векторы г и Р в ниде +ге, Р= Рь+ Рн Здесь гз — составляющая вектора г, перпендикулярная к оси Х, а 㻠— составляющая того же вектора, параллельная этой оси. Аналогичный смысл имеют векторы Рь и Рш Используя эти разложения, можно написать М = [гР) = [гьРД+ [[геР„~+ [г;~РЕИ+ [геРЕ1.
Последний член как векторное произведение параллельных векторов равен нулю. Сумма, заключенная в фигурные скобки, есть вектор, перпендикулярный к оси Х. При проектировании на эту ось он даст нуль. Таким образом, составляющая вектора М, параллельная оси Х, равна !73 вглщенин вокгвг нвподвижнои оси относительно оси Х. Аналогично, при нахождении проекции й„ достаточно проектировать только параллельную слагаемую вектора Т.: Е~<=- (и <р,). Изложенное тривиальным образом обобщается на случай системы нескольких сил и системы нескольких материальных точек.
Назовем плечом силы относительно некоторой оси кратчайшее расстояние между осью и линией действия силы. Тогда л<оменп силы овносип<ельно той же оси может быть определен как взятое с надлежащим знаком г" произведение перпендикулярной составляющей силы на соответствующее плечо. Таксе определение момента дается в элементарной физике. Так как точку приложения силы можно перемещать произвольно вдоль линии ее действия, то это определение согласуется с опреде- и< лением, которое было приведено выше. Это видно из рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
