Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Указанные колебания обладают значительно большей стабильностью, чем вращение Земли вокруг собственной оси или вокруг Солнца. Зто и является причиной, почему в настоящее время эталон времени — секунда — устанавливается именно с помощью таких колебательных процессов, а не с помощью вращения Земли вокруг своей оси или Солнца, как это делалось до недавнего времени (см. Э !). 5.
Вернемся к опыту со скал[ьей Жуковского. При уменьшении момента инерции вращающегося тела его кинетическая энергия увеличивается (при условии, что момент внешних сил равен нулю). Зто непосредственно видно из формулы (33.6), так как в рассматриваемом случае вращательный импульс системы !. = !со не изменяется. Изменение кинетической энергии системы может происходить только за счет работы каких-то сил. Такими силамн в нашем примере являются внутренние силы, действующие в системе. Они не могут изменить момент импульса системы. Однако совершаемая ими работа, вообще говоря, отлична от нуля и идет на изменение кинетической энергии вращения системы. Демонстратор на скамье Жуковского должен развить определенную мускульную силу, чтобы удержать вращающиеся гири на пх круговых траекториях.
Сила, с которой он действует на гирю, есть центростремительная сила Е = т шзг, где пт — масса гири, а г — расстояние ее от оси вращения. Когда демонстратор приближает гирю к оси вращения, сила г' совершает положительную работу. За счет этой работы и происходит увеличение кинетической энергии системы. При удалении гири работа силы г' отрицательна, и кинетическая энергия уменьшается.
Подтвердим этн рассу>кдения простым расчетом. Чтобы максимально упростить вычисления, схематизируем опыт, заменив реальную систему идеализированной моделью ее. Будем считать, что гири являются материальными точками, а массы рун демонстратора пренебрежимо малы. При такой схематизации момент инерции системы представится выражением ! == !е т 2тге, где [е — момент инерции системы без гирь, а 2тгз — момент инерции самих гирь (двойка потому, что гирь две).
Будем предполагать, что приближение и удаление гирь к осн вращения совершается бесконечно медленно. Тогда в любой момент времени можно пренебречь кинетической энергией радиального движения. Вся работа внутренних сил пойдет на изменение кинетической энергии вращения системы. Вычислим 4 34! ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ИМПУЛЬСА !79 работу А, совершаемую демонстратором, когда он тянет гири к оси впащения, перемещая их с расстояния г, до ге < г,. Как было показано в $ 24, при вычислении аботы имеет значение только относительное движение взаимодействующих тел. нашей задаче зто есть движение гирь относительно демонстратора. Каждую гирю демонстратор тянет с силой тычг. Элементарная работа, совершаемая им, положительна и равна — 2тыеес(г (в нашем случае аг < О). Полная раба~а А определится интегралом А =- — ~ 2тычг Вг =.
— 2т З! —, г с(е = — 2т ~ . „г аг. !' (7сч)а !' Ез О Так как момент импульса ь во время двнжеаия остается постоянным, а ! = 7ч+ + 2те', то с 2 Гйг Аз) ! ! А = — 2т!. (74-)-2тга)ч 2 (!и+2слее !ч+2тг;-'~' е~ или Та же формула справедлива и при удалении гирь от оси вращения. Она показывает, что кинетическая знереия вращения изменяется за счет работы мускульной силы демонстратора. 6. Приведенное объяснение, однако, не отвечает на вопрос, какие силы вызывают изменение угловой скорости вращения системы.
Если бы на гирю действовала только центростремительная сила, то она, как сила центральная, не могла бы изменить вращательный импульс гири. Должны были бы сохраняться в отдельности вращательные импульсы гирь и скамьи Жуковского вместе с демонстратором. Гири и скамья Жуковского вращались бы с различными угловыми скоростями. Иа самом деле этого нет. При движении гирь по радиусу происходит выравнивание угловых скоростей. Отсюда можно заключить, что во время такого движения помимо центростремительных сил на гири действуют силы бокового давления со стороны рук демонстратора. Эти силь! и изменяют угловую скорость вращения гирь. Гири в свою очередь оказываюп! боковое давление на руки демонстраптора, в результигпе чего меняется угловая скорость вращения скамьи вместе с демонстратором.
Демонстратор на скамье Жуковского очень хорошо ощущает действие этих сил бокового давления при всяком, в особенности быстром, радиальном перемещении гирь. Дополнительные силы бокового давления перпендикулярны к оси вращения и к относительной скорости гирь. Работы они не производят. Их наличие не может сказаться на результате вычисления работы А, которое было произведено выше. Силы бокового давления, однако, имеют моменты относительно оси вращения и производят перериштределение неизменного момента импульса системы между гирями — с одной [гл. ч МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ стороны — и скамьей Жуковского с демонстратором — с другой.
В результате их действия все эти тела вращаются с общей угловой скоростью. Количественное рассмотрение вопроса будет произведено в й 64. 7. С помощью скамьи Жуковского можно демонстрировать и векторный характер момента импульса. Для этой цели применяется велосипедное колесо с утяжеленным ободом. Если колесо вращается вокруг собственной оси, то вследствие осевой симметрии полный импульс его р равен нулю. В этом случае, как было показано в ~ 30, момент импульса г.
относительно неподвижной точки не зависит от положения этой точки. С другой стороны, проекция вектора С на ось вращения колеса равна тй, где ! — момент инерции Рис. б2. колеса, а й — его угловая скорость. Проекция вектора х. на любое направление, перпендикулярное к оси колеса„ равна нулю ввиду осевой симметрии. Отсюда следует, что вектор момента импульса .ь направлен вдоль оси колеса и по величине равен /2. Демонстратор садится или становится иа скамью Жуковского.
Ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью (рис. 62). Полный момент импульса системы направлен вертикально и равен М. Примем вертикальную ось скамьи Жуковского за ось Х. Так как момент внешних сил относительно оси Х равен нулю, то проекция )., полного момента импульса системы на эту ось должна сохраняться. В начале опыта весь вращательный импульс сосредоточен в колесе. Затем демонстратор наклоняет ось колеса иа угол а. Проекция момента импульса колеса на Ось Х становится равной Т,,"'"' =- 10 соз а, т.
е. она уменьшается на М П вЂ” соз и), Это уменьшение должно быть скомпенснровано возрастанием соответствующей проекции момента импульса скамьи Ь 341 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ИМПУЛЬСА 1В1 и демонстратора на величину Е'"" = Ю (1 — сова). В результате скамья вместе с демоистратором приходит во вращение с угловой скоростью ю, определяемой из уравнения 1,Гл = И (1 — сова), где 1ь — момент инерции скамьи. При а = — 90' проекция Е„'" обращается в нуль — она целиком передается скамье и демонстратору.
При а =- 180' изменение вращательного импульса колеса становится максимальным АЕ;"' = 2Е",', скамья и демонстратор 21 вращаются с максимальной скоростью ю„,„,= — й. Поворачивая ь ось, демонстратор придает ей исходное направление — тогда вращение скамьи прекращается. Однако скамья, вообще говоря, не возвращается в исходное положение, а оказывается повернутой вокруг вертикальной оси на некоторый угол. Наклоняя ось колеса, демонстратор во время ее движения испытывает значительные силы бокового давления. Колесо как бы стремится вырваться из рук демонстратора. Эти силы направлены горизонтально и притом перпендикулярно как к оси колеса, так и к оси скамьи Жуковского.
Их геометрическая сумма равна нулю, но онн имеют момент относительно оси Х. Последний приводит во вращение скамью Жуковского и демонстратора. Происхождение этих сил будет выяснено в гл. ЧП. 8. Закончим этот параграф следующим замечанием. Пусть имеется замкнутая система тел (назовем ее лабораторией), которая в начальный момент времени покоилась относительно какой-то неподвижной (инерциальной) системы отсчета В.
Можно ли с помощью одних только внутренних движений сместить лабораторию в пространстве и притом так, чтобы все тела в ней вернулись в свои исходные положения? Говоря о смещении лаборатории, мы имеем в виду ее поступательное перемещение без вращения. Отрицательный ответ на этот вопрос дает теорема о движении центра масс. Не так обстоит дело в отношении поворота замкнутой системы тел. С помои1ью одних только внутренних движений можно повернуть лабораторию в пространспюе на любой угол и притом так, что исходное расположение тел в лаборапирии восстановится. Допустим, например, что лаборатория состоит из замкнутой оболочки А, в которой помещено всего одно тело В.
Пусть тело В начинает вращаться вокруг некоторой оси с угловой скоростью рв (относительно неподвижной системы отсчета). Тогда оболочка А придет во вращение относительно той же осн с угловой скоростью ~рл. По закону сохранения вращательного импульса 1лфл + 1в~рв — — О, так как в начальный момент вращательный импульс был равен нулю (1л и 1в — моменты инерции оболочки А и тела В соответственно).
Если углы ~рл и ~рв условиться отсчитывать от начальных положений тел А и В, то после интегрирования получится 1л~рл + 1вГрв — — О. Угол поворота тела В относительно оболочки А определится 182 момент кОличестВА дВижения [ГЛ у разностью ф =фа — фл=- — (-"-+ 1 фл. Если ф=2лп (п — целое ~~в / число), то тело В возвратится в исходное положение относительно оболочки А. При этом угол поворота оболочки фл, вообще говоря, не будет равен нулю. Различие в поведении лаборатории при поступательном перемещении и вращении связано со следующим обстоятельством. При непрерь[оном поступап[ельном перемешении тела В оно никогда не возвраи[ается в исходное положение относительно тела А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
