Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 43
Текст из файла (страница 43)
58, где предполагается, что ось перпендикулярна к плоскости рисунка и проходит через полюс О. Аналогично, момент импульса материальной точки относительно оси можно определить как взятое с надлежащим знаком произведение слагающей импульса, перпендикулярной к атой оси, на соответствующее плечо. й 33. Уравнение момента импульса для вращения вокруг неподвижной оси.
Момент инерции 1. Применим уравнение моментов относительно оси к рассмотрению вращательного движения, Зз неподвижную ось моментов удобно выбрать ось вращения. Если материальная точка вращается по окружности радиуса г (рис. 59), то момент ее импу,тьса относительно оси вращения О равен А=<ног. Пусть <о — угловая скорость вращения, тогда о=<ос, и, следовательно, 1=те'<ь. Если вокруг оси О вращается система материальных точек с одной и той не угловой скоростью ы, то Л= ~те'<о, где суммирование производится по всем материальным точкам системы.
Величину <ь как одинаковую для всех материальных точек можно вынести пз-под знака суммы. Тогда получится ).= !<о, (33.1) где (33.2) 174 момент количвствк движвния [гл. ч ей — (1<ь) = М, (33.3) где М вЂ” момент внешних сил относительно оси вращения. Это— основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Оно напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки. Роль массы играет момент инерции 1, роль скорости — угловая скорость гв, роль силы — момент силы М, роль импульса — момент импульса Е. Момент импульса Е часто называют вращательным импульсом системы. Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что производная вращательного импульса системы по времени равна моменту внешних сил относительно оси вращения. Если момент внешних сил М относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс 1ы сохраняепкя, 2.
Важным частным случаем является вращение неизменяемой системы материальных точек или твердого тела вокруг неподвижной оси. В этом случае момент инерции 1 при вращении остается постоянным, и уравнение (33.3) переходит в лы 1 — =М. вг (33.4) Произведение момента инерции пгвердого тела относительно непо- В еличина 1, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси врашения, называется люментом инерции системы относительно зпюй оси.
Уравнение (33.!) показывает, что при вращении системы момент ее импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно той же оси на угловую скорость. Если на вращательное движение системы материальных точек накладывается еще ради льное движение их, а также движение параллельно оси, то наличие таких движений ие отразится на справедливости формулы (33.1). Это следует из того, что момент импульса материальной пючки зависит от ее скорости е линейно.
Когда же скорость и направлена по радиусу или параллельно оси вращения, то момент импульса относительно этой оси равен нулю. Поэтому такие движения непосредственно ие сказываются на виде связи между моментом импульса системы относительно оси вращения и ее угловой скоростью. Их влияние косвенное и состоит в том, что момент инерции 1 перестает быть постоянной величиной, а меняется во времени в соответствии с изменением мгновенной конфигурации системы. В этом случае уравнение (32.2) принимает вид 4 зч) ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ИМПУЛЬСА 175 движной оси враи(ения на угловое ускорение — равно моменту внешг(ю лг них сил относительно той же оси.
Для лучшего уяснения уравнения (33.4) приведем другой его вывод, основанный непосредственно на уравнении движения материальной точни. Последнее в случае вращения Материальной точки вокруг неподвижной оси имеет вид оо гл " =гю где гх — тангенниальная слагающая действующей силы. Так как Ш нш о=юг, то, умножая предыдущее уравнение на г, получим шг' — =ГРР На— ю пишем такие соотношения для каждой иатериальной точки, а затем сложим их. Тогда мы снова придем к уравнению (33.4). При этом все внутренние силы исключатся, так что под А( в уравнении (33.4) следует понимать момент одних только внешних сил.
Этот элементарный вывод обладает, однако, тем недостатком, что он дает уравнение вращательного движения только а частной форме (33.4), но не в общей форме (33.3). 3. Аналогия между движением материальной точки и вращением твердого тела относительно неподвижной оси может быть прослежена дальше. Если материальная точка вращается по окружности, то элементарная работа при повороте на угол г(ф равна йА =Газ=угйф=МГ(ф.
Такое же выражение получится и для твердого тела, так как его можно рассматривать как систему материальных точек, вращающихся с общей угловой скоростью ш. Внутренние силы исключаются, так как в случае твердого тела, как было показано в й 24, они работы не совершают. Итак, для твердого тела (33.5) Роль силы играет момент внешних сил, роль линейного перемещения — угловое перемещение. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляется в виде К=-,' У "-',-~,т(.) =,'~ ", или 1 К = „7шэ — —. 27 (33. б) й 34. Примеры на закон сохранения вращательного импульса 1. Поучительные демонстрационные опыты на закон сохранения момента импульса можно осуществить с помощью так называемой скамьи Жуковского (1847 — 1921).
Скамья Жуковского представляет собой стул, сиденье которого имеет форму диска. Диск может Эти выражения напоминакл соответствующие выражения для кине- тической энергии материальной точки. Они получаются из послед- них формальной заменой т — 7, о — ш, р - (.. 176 ~гл. ч момент количества движения свободно вращаться вокру~ вертикальной оси на шариковых подшипниках. Во время опыта демонстратор садится или становится на скамью Жуковского и, отталкиваясь от пола, может приводить ее во вращение.
После прекращения толчка единственными внешними силами, которые могут создать момент относительно оси вращения, являются силы трения и сопротивления воздуха. Силы трения благодаря применению шариковых подшипников очень малы, а сопротивление воздуха может не приниматься во внимание, Рис, бо. пока число оборотов скамьи невелико. Поэтому момент импульса системы, состоящей из скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система предоставлена самой себе.
Демонстратор на скамье Жуковского, оттолкнувшись ногою от пола, приводит ее во вращение. Вместе со скамьей вращается и он сам. Во время вращения вращательный импульс системы будет оставаться постоянным. Какие бы внутренние движения ни совершались в системе — внутренние силы не могут изменить вращательный импульс. Если демонстратор разведет руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы 1, а потому угловая скорость вращения ы должна уменьшиться, чтобы остался неизменным вращательный импульс 1ы.
Если демонстратор сводит руки к осн вращения, то момен~ инерции 1 уменьшается, а угловая скорость увеличивается, Для усиления эффекта демонстратор держит в руках тяжелые гири. При максимальном удалении гирь от оси вращения з 341 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ИМПУЛЬСА 1?7 момент инерции увеличивается в несколько раз. В такое же число раз уменьшается угловая скорость вращения (рпс.
60) *). 2. Когда балерина делает пируэт, она вращается на носке, вокруг вертикальной оси. Ноги и руки при этом максимально приближены к оси вращения, и угловая скорость максимальна. Для замедления вращения и остановки балерина разводит руки и отводит ногу в сторону, Наоборот, для сообщения 'своему телу быстрого вращения балерина отталкивается от пола, получая вращательный импульс, когда момент инерции ее тела максимален. Затем она соответствующим движением уменыпает момент инерции в несколько раз и тем самым увеличивает угловую скорость вращения.
Таким образом, она управляет скоростью вращения п)тем изменения момента М-., инерции своего тела. В сущности, она делает то же самое, что и демонстратор на скамье Жуковского. Тем же самым приемом пользуется гимнаст, выполняющий упражнение на перекладине. 3. Прыгун, чтобы сделать сальто, отталкивается Рис, б!. от трамплина и тем самым сообщает своему телу вращательный импульс.
Зтот импульс сохраняется при дальнейшем движении прыгуна в воздухе. Вначале тело прыгуна вытянуто и момент инерции велик. В некоторый момент прыгун свертывается клубком (рис. 61), уменьшая момент инерции в три и большее число раз. Угловая скорость возрастает во столько же раз. С этой угловой скоростью прыгун выполняет один, два и даже три полных оборота. В нужный момент прыгун снова выпрямляет тсло и с малой угловой скоростью становится на землю или погружается в воду. Приведя этот пример, мы несколько забежали вперед, так как здесь ось, вокруг которой вращается тело прыгуна, не неподви>кна, а движется в пространстве.
Однако, если движущаяся ось вращения проходит через центр масс прыгуна, то вращение совершается по тем же законам, что и вращение вокруг неподвижной оси (см. Э 37). 4. Земля при вращении вокруг собственной оси ведет себя подобно скамье Жуковского, Всякое перемещение масс внутри Земли (выпадание осадков, вулканическая деятельность, горообразование и пр.) меняет момент инерции, а с ним и угловую скорость вращения Земли. Это является причиной нерегулярных колебаний продолжительности суток. Экспернментально обнаружены перио- ') Рис. 60 взят нз книги С. П. Стрелкова «Меканина». [уа МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ [Гл.
ч дические колебания продолжительности суток с основным периодом в один год и с амплитудой около 0,001 с. Земля подвержена также регулярным внешним воздействиям, прежде всего силам приливного трения, связанным с гравитационным притяжением Луны и Солнца. Благодаря этому средине солнечные сутки увеличиваются примерно на 1,640 10 ' с в столетие. Как уже говорилось в Э 1, неравномерность вращения Земли можно наблюдать с помощью кварцевых, атомных или молекулярных часов. Ход таких часов управляется колебаниями кристаллической решетки кварца, а также внутриатомными и внутримолекулярными колебаниями при излучении спектральных линий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
