Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если  — сила, действующая на нее, то работа этой силы прн таком перемещении будет равна убыли потенциальной энергии: е. де= — Ж/. (29.!) Зто равенство справедливо, каково бы нн было перемещение йг. Поэтому, если функция (г' (г) известна, то оно полностью определяет силу Р по величине и направлению.
В самом деле, чтобы найти вектор Р, достаточно определить его проекции В, Р,, г. на координатные оси прямоугольной системы координат. В этих проекциях уравнение (29.!) запишется так: Г„дх+Ре ду+Р, де= — д(У. (29.2) Допустим, что смещение происходит вдоль какой-либо одной координатной оси, например оси Х. Тогда с„дх = — [д(l~„, „ РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ, [тг и, следовательно, Индексь[ у, г означают, что при смещении, а следовательно, и при дифференцировании координаты у и г должны оставаться постоян- ными.
Иными словами, (/(х, у, г) при дифференцировании должна рассматриваться как функция одного аргумента х; остальные два аргумента, у и г, являются параметрами, которые при дифферен- цировании по х должны оставаться постоянными. Величины, по- лучающиеся в результате такого дифференцирования, называются настныл[и производныл[и функции (/.
Они обозначаются символом д, в отличие от символа г[, применяемого при дифференцировании функций одного независимого переменного. Аналогичные сообра- жения справедливы и для проекций силы вдоль остальных двух осей )г и б. Таким образом, Я д ' Я д д[/ дУ дУ «29.3) Если функция (/(х, у, г) известна, то нахождение составляю- щих Р„, Р„, Р, сводится к вычислению ее частных производных по коордийатам. Разумеется, формулы (29.3) относятся только к случаю консервативных сил.
Приведем пример. Измеряя потенциальную знергню растянутой спиральной пружины, нашли, что она определяется выраженнем У='/, йх', где х — удлн- венне пружины, а й — постоянная. Направим ссь Х вдоль сон пружины, закре- пнв один конец ее, а другой будем удерживать рукой. Тогда У будет функцнен только одной координаты х. Растянутая пружина действует на руку с силой дУ дУ й/1 Р= — — — = — — = — — ~ — Фхз) = — Ах. дх дх йх(,2 Знак минус указывает, что сила Р направлена в сторону, противоположную сммценню, т.
е. является силой нршпяжениж 3. Три формулы (29.3) можно объединить в одну векторную формулу. С этой целью умножим эти формулы на единичные векторы координатных осей а,,/, й и сложим. В результате получим е = — ягаб(/, (29.4) где символом ягаб (/ обозначена сумма (29.5) Она, согласно соотношению (29.4), является вектором. Вектор, определяемый соотношением (29.5), называется градиенгпом скаляра (/. Для него, наряду с обозначением ягаг[(/, применяется также обозначение 7(/.
Здесь тг («набла») означает символический вектор или оператор (29.6) силы и потвнцилльнля знвггия )е) ) 29) дгас1 (/=- - п. дУ дп (29. 7) Отсюда видно, что градиент функции (/ есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня 1/ = сопз( в сторону возрастания (/; его длина численно равна производной по нормали функции (/ к той зсе поверхности. Преимущество такого определения по сравнению с определением (29.5) состоит в том, что оно инвариантно, т. е. содержит только величины и понятия, имеющие непосредственный геометрический смысл, и не содержит ничего такого, что вносится случайным выбором координатной системы. называемый оператором Гамильтона (1805 — 1865) илн набла-оператором. Таким образом, 7(/ формально может рассматриваться как произведение символического вектора р на скаляр (/. Понятно, что можно говорить о градиенте не только функции (/, но и любой скалярной функции координат.
Понятие градиента широко применяется в самых разнообразных вопросах физики и математики. Для уяснения геометрического смысла градиента полезно ввести поверхности уровня, т. е. такие поверхности, на которых скаляр (/ остается постоянным.
Пусть 5 — одна из таких поверхностей и пусть она проходит через точку пространства 1, в которой ищется огай У (рис. 55). Поместим в этой точке начало координат, Ось Х направим по нормали к поверхности уровня (/ = сопз(, проведя единичный вектор 2 в сторону возрастания (/. Координатные оси У' и Л расположатся в плоскости, йгаа а касательной к поверхности уровня (/ =- сопз1. Ясно, что прн таком выборе координатных осей частные и дУ дУ в производные — и - — в рассматридд дг 2 и+й(/ ваемой точке пространства обра- )/в и лв тятся в нуль, так что в формуле (29.5) останется одно только первое слагаемое: ягай (/ = — 2.
дУ. Рнс. 55, дх Изменим теперь обозначения. Единичный вектор нормали к поверхности уровня У = сопз1 обозначим символом н, а расстояние между двумя бесконечно близкими поверхностями уровня У и (/+ Л/, измеренное вдоль нормали, т. е. расстояние между точками 1 и 2, — символом йп. Тогда оче- дУ дУ дУ видно — = „-- .
Эту величину чаше обозначают посредством дх Л дп и называют производной скаляра (/ в направлении нормали к поверхности уровня. В этом направлении величина (/, очевидно, изменяется наиболее быстро. Таким образом, в новых обозначениях формула (29.5) примет вид 162 РАБСИА И ЭНСРГИЯ 1гл. 5У ЛУ дУ вЂ” = — соз а, д5 да или в иных обозначениях дУ дУ д1г д5 дп дй — = — соз а = — (пз), дС1 где з — единичный вектор в направлении отрезка И. Величина— д5 называется производной функции (7 в том же направлении.
Учтя определение градиента (29.7), получим —., = (з агасси (5'). (29.8) Формула эта справедлива независимо от конкретного смысла функции (у, Если (5' является потенциальной энергией материальной точки, то с учетом (29.4) формула принимает вид до' — = — (Гз) д5 или ди Р,=— д5 (29.9) что, конечно, легко получить и прямо из (29.1). 4. Формулы (29.3) тривиальным образом обобщаются на случай произвольной системы материальных точек с одними только консервативными силами.
В этом случае потенциальная энергия (7 является функцией координат всех взаимодействующих точек. Вместо (29.3) следует писать д11 д11 (29.10) дУ5 ' д. ЗДесь хь Уо г5 — кооРДинаты 1-й матеРиальной точки системы, а Р,„, Е55, Ем — компоненты действующей на нее силы. Номер 1 может пробегать все возможные значения, так что формулы (29.10) справедливы для каждой точки системы. 5. Закон сохранения энергии в механике является следствием уравнения движения Ньютона. Можно ли наоборот вывести урав- Отметим еще одну простую, но важную формулу. Проведем через точку 7 (см. рис. 55) отрезок прямой 13 под углом а к нормали и. Точку 3 возьмем на поверхности уроння (7+5((7.
Длину этого отрезка обозначим 5(5. Так как точкадлежитнатойже поверхности уровня, что и точка 2, то приращения функции (7 на отрезках 72 и 13 будут одни и те же. Так как сами отрезки бесконечно малы, то участки поверхностей уровня, через которые они проходят, могут считаться дп плоскими, а потому 5)5= —. На этом основании С05 Я СИЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ $99) пение движения Ньютона из механического закона сохранения энергии? На этот вопрос следует ответить отрицательно.
Уравнение, выражающее сохранение энергии, является скалярным, в то время как уравнение движения есть векторное и эквивалентно трем независимым числовым уравнениям. Ясно, что одного скалярного уравнения недостаточно для вывода из него трех независимых числовых уравнений. Но если движение одномерное, то при некоторых дополнительных предположениях из закона сохранения энергии можно вывести уравнение движения Ньютона. Допустим, что материальная точка движется вдоль какой-то фиксированной линии под действием одних только консервативных сил. По закону сохранения энергии '/,то'+ (/ = сопз1. Потенциальная энергия (/ при таком движении может рассматриваться как функция только расстояния э, измеренного вдоль траектории.
Дифференцируя последнее соотношение по времени, получим вг/ . тоо+-- 9=0 й ву или, учитывая соотношения о= э н г", = — —, Вэ (29.11) о (гпо — Р,) = О. Отсюда после сокращения на о получается уравнение движения Ньютона. Необходимо, однако, отметить, что уравнение Ньютона в механике обладает большей общностью, чем закон сохранения энергии. Во-первых, приведенный вывод справедлив только для консервативных сил. Во-вторых, при выводе в уравнении (29.!1) производилось сокращение на о. Поэтому необходимо ввести дополнительное предположение, не содержащееся в самом законе сохранения энергии, что о ныл. Уравнение (29.11) имеет два решения, которые оба удовлетворяют условию сохранения энергии.
Одно из них, а именно о = О, было отброшено. Закон сохранения энергии для этого не дает оснований. Однако решение о = 0 не согласуется с уравнением Ньютона, если только сила Р не обращается в нуль. 6. Используя понятие потенциальной энергии, можно выразить условие равновесия механической системы и его устойчивости. Рассмотрим сначала систему взаимодействующих материальных точек, на которую не наложены никакие связи.
Пусть все действующие силы консервативны. Тогда их составляющие можно представить формулами (29.10). В состоянии равновесия все силы, а с ними и все первые производные потенциальной энергии (/ по координатам должны обращаться в нуль. Отсюда следует, что для равновесия необходимо, чтобы потенциальная энергия была стационарна. Стационарность означает, что при всяком выводе системы 164 1гл. ~Р РАБОТА И ЭНЕРГИЯ из состояния равновесия, когда координаты материальных точек получают бесконечно малые приращения бх„ бу„ ..., бг„, функция (/ остается почти постоянной.
Точнее, приращения функции (/ при таких бесконечно малых изменениях координат являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем приращения самих координат. В частности, система будет находиться в равновесии, если потенциальная энергия (/ экстремально, т. е. минимальна или максимальна. Если потенциальная энергия минимальна, то равновесие будет устойчивым. Действительно, пусть (/, — значение потенциальной энергии в состоянии равновесия. По условию теоремы можно найти малую окрестность вблизи состояния равновесия, в которой разность (/ — (/« положительна. Выберем эту окрестность так, чтобы бь:ло О ( (/ — (/» ( е, где Б — некоторое положительное число, которое может быть взято сколь угодно малым.
Выведем теперь систему из состояния равновесия, сообщив ей кинетическую энергию К, ( Б. Затем предоставим систему самой себе. Свободное движение системы будет подчиняться закону сохранения энергии К + (/ = К» + (/, или (/ — (/» =- К„ — К. Отсюда видно, что (/ — (/, ( е, так как кинетическая энергия К ие может быть отрицательной. Следовательно, система без внешних воздействий не может выйти за пределы области О ( (/ — (/ь ( е и будет совершать в ней финитное движение. Зто означает, что равновесие системы при минимуме потенциальной энергии усп»ойчиво, точнее, успюйчиво по отнои»гнию к бесконечно малым возмущениям. Изложенное остается справедливым и при наличии диссипативных сил типа жидкого трения, а также гироскопических сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
