Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Згим соотношением определяется область изменения всех координат системы, в которой она может находиться при заданной полной энергии Е. В область, где и ) Е, система попасть не может, так как потенциальная энергия не может превышать полную. Рассмотрим в качестве примера одномерное движение частицы, когда она движется вдоль определенной прямой линии. Примем эту линию за координатную ось Х. На оси Х величина и будет функцией только х: и =- и (х).
Если Š— полная энергия частицы, то частица может находиться только в тех местах оси Х, где и (х) ~ Е. Допустим, что график функции и (х) имеет вид, изображенный на рис. 44. Проведем на этом рисунке горизонталь- 140 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 1ГЛ. ГУ Ряс. 4В пую прямую У = Е„где ń— какая-то постоянная. Пусть эта прямая пересекает «потенциальную кривую» (<' = У (х) в трех точках А, В, С с координатами хл, хв, хс. Сразу видно, что частица с полной энергией Е, не может находиться в областях 1 и Ш. Она может двигаться либо в области П, либо в области Ю. Переходить из области П в область Л~ или обратно частица не может. Этому препятствуег «потенциальный барьер» В)<)С на потенциальной кривой, Е У=с«В области П частица с полной энергией Е„будет совершать так называемое А, д Г У=с< финитное движение, т.
е. движенйе, происходящее в ограниченной части Йространства. Она окажется 1 7 <»Г запертой в «потенциальной ХЛ ХА, ГВ Х« яме» АМВ и будет совершать колебания между крайними точками хл и хв, называемыми точками поворота. Если же частица находится в области )'«' и движется налево, то она, достигнув точки хс, повернет обратно и далее будет «уходить на бесконечность». Такое движение называется инфинитнгям. Пусть теперь частица обладает большей энергией Е, ) Е„и горизонтальная прямая (<' = Е, пересекает потенциальную кривую в единственной точке Р с абсциссой хо. Тогда для частицы окажется у доступной вся область про- странства правее точки хо, и 2» «'« '«движение в этой области бу- дет инфинитным.
— — -У=Е допустим что потенциаль- А д у ная яма имеет характер кривой, изображенной на рис. 45. По обе стороны от точки М обе ветви потенциальной кривой монотонно поднимаются вверх. Пусть при х =-1- «о функция У (х) обращается в нуль, т. е. ось абсцисс является для потенциальной кривой асимптотой. Тогда можно утверждать, что движение частицы будет финшпным, если ее полная энергия отрицательна, и инфинитны.к, если она положительна.
Для уяснения качественного характера движения частицы в силовом поле с потенциальной энергией У (х) полезна следующая иллюстрация. Изготовим идеально твердую и идеально гладкую дорожку, форма которой точно совпадает с профилем потенциаль- 141 потенциальная энергия 4 251 — -~~) рг= ~> гг"+~~) ра, так как р —. г", г = системы). Последнее энергия системы: 2К писать в виде и (суммированне ведется по всем материальным точкам слагаемое в правой части есть удвоенная кинетическая =Ври = Еглоз, и предыдущее соотношение можно пере- К= — — лт гг+ — лт --(рг).
2 л~ч Г11 л'З 2 (25.9) 1 Ъч Величина — . ~~гг называется вириалом сил, действующих в системе. 2 л'з Назовем средним ло времени значением функции )(1) на временнбм интервале (й 1+ Т) величину, определяемую выражением гэт Т (25.10) Если функция 1(1) периодична, то в качестве времени Т обычно берут ее период. Если же 1(Г) не периодична, но ограничена, то время Т берут достаточно большим и переходят к пределу г,— т — ) П')д', Т и (25, 11) предполагая, нонечно, что предел существует. Если 1(1) есть 'производная оградф ниченной функции по времени: 1=-- ., то 1=- О.
Действительно Ш' г+т 1' дф, . гр(1+Т) — ~р(1) )= Пгп — ~ —, Ш'= 11щ т'„Т,') д( ', „т ной кривой (л' = У (х) (например, кривой, изображенной на рис. 44). Поместим такую дорожку в однородное поле тяжести и положим на нее на некоторой высоте маленький шарик. Тогда движение шарика под действием силы тяжести будет почти точно воспроизводить движение материальной точки в рассматриваемом силовом поле У вЂ” У (х), если только надлежащим образом подобрать ее полную энергию. Некоторая неточность иллюстрации связана с тем, что при движении шарика по дорожке возникает вращение, на что расходуется часть энергии. Иллюстрация совершенно точно передавала бы все черты искомого движения, если бы шарик не катался по дорожке, а скользил по ней без трения.
Если такой шарик поместить без начальной скорости в точку А (рис. 44), то он будет совершать колебания по дуге АМВ между крайними точками А и В. Если его поместить в точку Р, то он сможет преодолеть потенциальный барьер ВЛгС и «уйти на бесконечность». 6.
Для финитных движений справедлива так называемая гнеорема вириала, имеющая многочисленные применения в различных отделах физики. Она была сформулирована н доказана Клаузнусом (1822 — 1888). Для произвольной системы материальных точек можно написать 142 (ГЛ. 1Ч РАБОТА И ЭНЕРГИЯ Имея это в виду, усредним соотношение (25,9) по времени, устремляя Т к беско- нечности. Тогда для фнннтного движения последнее слагаемое в (25.9) даст нуль, н мы получим — 1 ъч К= — — ГЕ. 2 (25, 12) ЗАДАЧИ 1. Определить отношение потенциальных энергий деформации (?г и Уз двух пружин с коэффициентами упругости й, и йз в двух случаях:а) пружины соединены последовательно и растягиваются грузом Р (рнс.
46, а); б) пружины висят параллельно, причем груз Р подвешен в такой точне, что обе пружины растягиваются на одну и ту же величину (рис. 46, 6). Деформацией пружин под действием собственного веса пренебречь. лг Ответ. а) ---= — —; б) .— =- —. (?А й? и, й, О.,=й, и, Когда одна из пружин — очень жесткая по сравнению с другой, практически вся потенцяальиая энергия будет запасена в случае э) в более мягкой, а в случае б) — в более жесткой пружине, 2. Два протона с энергией Е = а) б) =0,5 МэВ каждый летят навстречу друг другу и испытывают лобовое стол кРис. 46. ноаенне. Как близко могут сойтись они, если учитывать только электростатическое взаимодействие между ними? е' О та е т. г= . —, где е — заряд протона. Для вычислений формулу целе- 2Е' сообразно преобразовать, положив Е = еК.
Тогда г= — — = 1,4. 1О ы см е 27 (2)г =!0' В), Опыты по рассеянию ядерных частиц показали, что радиус действия ядерных сил по порядку величины равен 10 'з см. Поэтому при расчете столкнове- ния протонов, энергии которых превосходят примерно 0,5МэВ, помимо электро- статических сил надо учитывать также ядерные силы. 3. Трн электрона в состоянии покоя находятся в вершинах правильнопз треугольника со стороной а = 1 см. После этого они начинают двигаться под действием взаимного отталкивания.
Определить предельное значение их ско- ростей. / 2ез О т не т. о= ' — =2,2 !О' смгс. /пп 4. Решить задачу 3 длн релятивистских скоростей. Прн каких расстояниях а можно пользоваться нерелятнвистским приближением? ез еа 2шесз -+- Ответ. о=с а аз етзсз -'-— В случае фияитных движений среднее по времени значение кинетической энергии системы равно средвему по времени значению вирнала сил, действующих в си- стеме.
Это и есть теорема вириала Клаузиуса. 4гш АБСОЛЮТНО НБУПРУГИЙ УДАР Нерелятивнстское приближение спраидливо при еа а)) —,=2,8 10 "см. т„са 5. При каких расстояниях а в залаче 3 кзантовыс поправки не играют роли? Ьз Ответ. При а)) — = 10 т гм. 2те' 6. Четыре электрона в состоянии покоя находятся в вершинах квадрата со стороной а =- 1 см. После этого они начинают двигаться под деиствисм взаимного отталкивания. Определить предельное значение их скоростей. 'т' 2) еа О т в е т. о = )/ ) 2+ — ) — = 2,6 1от см,'с.
2)та 7. Материальная точка совершзет одномерное финитное движение в потенциальном силовом поле между точками поворота хл н х !см. рнс, 45). Показать, что время движения ее от точки хл к точке х равно времени обратного движения от точки х, к точке х . 8. Материальная точка (например, шарик на пружине) под действием квазиупругой силы г =- — Ах шгвершает колебания вдоль оси Х вокруг положения равновесия. Пользуясь теоремой вириала, показать, чэз средние по времени значения кинетической и потенциальной энергий при таком колебании одинаковы, 9.
Идеально упругий шарик движется вверх и нннз в однородном поле тяжести, отражаясь от пола по законам упругого удара. Найти связь между средними по времени значениями его кинетической К и потенциальной и энергий. Р е ш е н и е, Поместим начало координат в одной из точек пола, направив ось Х вертикально нверх. Тогда сила давления пола на шарик не будет влиять на неличину вириала, так нак она действует только в таких положениях шарика, когда х = О. Надо учитывать только силу тянгести г =- — тд )минус потому, что сила г действует вниз, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
