Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 33
Текст из файла (страница 33)
По определению элементарной работы 41А = г" дз соз (г, иэ). Величина де соз (г, дэ) есть проекция элементарного перемещения йэ на направление силы, илн, что то же самое, на направление радиуса-вектора г (если за положительное направление силы принять направление от силового 1з2 ~гл. Нт РАБОТА И ЭНЕРГИЯ центра 0). Следовательно, йэ соз (Р, йз) = йт, где йг — элементарное приращение длины г, т. е. расстояние материальной точки от силового центра (рис. 40). Таким образом, йА =-- Р (Г) йг, причем по предположению величина силы Р зависит только от расстояния Г.
ПоэтомУ Работа Ать выРазитсЯ опРеделенным интегРалом А„=~ Р(Г) йг, (24.2) значение которого зависит только от расстояний Г, и Г, точек 1 и 2 до сипово~о центра О, но не зависит от формы пути, по ноторому материальная точка перешла из начального положения 1 в конечное положение 2. В формулу (24.2) путь перехода вообще не входит, в нее входят только расстояния до силового центра.
в'з 3. Допустим, что в силовом центре помещено физическое тело (материальная г+вг г г точка), взаимодействующее с рассматриваемой материальной точкой (которая с тем же основанием может быть принята за силовой центр). При взаимодействии перемещается нак материальная точка, так и гт силовой центр. Прк выводе формулы (24,2) перемещение силового центра не принималось во внимание.
Однако справедлий вость самой формулы не связана с этим ограничением. Работа А„зависит только от относительного перемещения материальных точек, но не может зависеть оьп абсолютных перемещений каждой из точек в отдельности. В этол можно убедиться простым вычислением. Пусть взаимодействуют две материальные точки 1 и 2, причем силы взаимодействия Р, и Р, подчиняются третьему закону Ньютона. Обозначим посредством гт и г, радиусы-векторы этих точек, проведенные из какого-либо неподвижного начала. Тогда для элементарной работы можно написать йА = Ртйг, + Р,йгы По третьему закону Ньютона Р, = = — Р„а потому йА = Р, (йг., — йг,) = Р,й (г,— г,).
Но г, — гт есть радиус-вектор точки 2 относительно точки 1, Обозначим его гиь Тогда йА = Р, йгпе (24.3) Значит, при вычислении элементарной, а с ней и полной работы точка 1 может считаться неподвижной, а точка 2 — перемещающейся относительно нее. Можно было бы, конечно, считать неподвижной точку 2, а точку 1 движущейся, Результат получился бы э ы] КОНСЕРВАТИВНЫЕ И НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ !33 тот же самый. Вообще, как и раньше, выражение (24.3) может быть преобразовано к виду (24.4) ИА=Р(г) дг. Сюда входят только расстояние между взаимодействующими точками г и его приращение дг. Отсюда немедленно получается формула (24.2), что и доказывает наше утверждение.
Отметим одно следствие формулы (24.2). Допустим, что материальные точки 1 и 2 соединены абсолютно жестким стержнем. При такой идеализации расстояние между взаимодействующими точками будет оставаться неизменным при любых их перемещениях: <(г = О. Поэтому всегда будет равен нулю интеграл в формуле (24.2), а с ним и работа сил взаимодействия материальных точек 1 и 2 на любом перемещении. Так называемые абсолютно твердые тела могут рассматриваться как системы материальных точек, расстояния между которыми не меняются при любых движениях. Такая неизменяемость обеспечивается внутренними силами или силами связей„действующими между материальными точками системы.
Всю систему можно мысленно разбить на пары взаимодействующих точек и применить к ним доказанное выше следствие. Отсюда следует, что работа внутренних сил, действующих в абсолютно твердых телах, равна нулю при любых движениях. Реальные тела не являются абсолютно твердыми. Действующие в иих силы обусловлены связями, которые могут быть очень жесткими, но не бесконечно жесткими. Работа таких сил, вообще говоря, отлична от нуля. Однако по мере увеличения жесткости работа становится все меньше и меньше и в пределе для бесконечно жестких связей обращается в нуль. Результаты, полученные для двух материальных точек, обобщаются на случай произвольной системы материальных точек, между которыми действуют центральные силы, Если задать положение каждой материальной точки, то этим определится и положение всей системы или ее конфигурация. Работа центральных сил не зависит от способа (или «<пути») перехода системы из начальной конфигурации в конечную — она определяется исключительно самими конфигурациями, 4.
Если силы взаимодействия зависят только от конфигурации материальных точек системы (т. е, от их координат) и работа этих свл при перемещении системы из произвольного начального положения в произвольное конечное положение не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы, то такие силы называются консервативными. Рассмотренные нами примеры показывают, что сила тяжести и все центральные силы являются силами консервативными. Можно дать другое определение консервативных сил, эквивалентное приведенному. Пусть система из положения 1 (рис.
41) 134 ~ГЛ. 4Ч РАБОТА И ЭНЕРГИЯ перешла в положение 2 по пути 132. (Мы символически изображаем положение системы точкой на плоскости, а путь перехода — линией, хотя буквально такой способ применим лишь для системы, состоящей всего из одной материальной точки.) При этом будет совершена работа А,,„. Если бы система перешла в положение 2 по пути 142, то совершенная работа была бы равна А„,. По определению консервативных сил А,, = А„,.
Так как силы зависят только от конфигурации системы, то А„, = — А 44 где А»44 — работа, которая была бы совершена при переходе системы из положения 2 в положение 1 по тому же пути, но 2 в обратном порядке, т. е. по пути 241. Таким образом, А,», + А«м -- — — О. Но сумма А,„+ А»м есть работа, совершенная силами, когда система вернуРис. 4К лась в исходное положение 1. В этом случае говорят о работе по «з мкнутому путит Итак, работа консервативных сил по любому замкнутому пугни равна нулю, Проведя это рассуждение в обратном порядке, без труда докажем, что из обращения в нуль работы по любому замкнутому пути следует независимость величины работы от пути перехода.
Поэтому можно дать еще такое определение консервативных сил. Консервативными называются силы, зависящие только от конфигурации системы, и работа которых по л4обому замкнутому пути равна нулю. 5. Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными силами. К ним относятся, прежде всего, так называемые диссипативные силы, например силы трения, возникающие Пр при скольжении какого-либо тела по Г» поверхности другого. Сюда же отно- В сятся силы сопротивления, испыты- ваемые телом при движении в жидРис.
42. кой или газообразной среде. Их также иногда называют силами трения (см. 5 17). Все эти силы зависят не только от конфигурации тел, но и от их относительных скоростей. Они направлены всегда против скорости тела (относительно поверхности, по которой оно скользит, или относительно сопротивляющейся среды, в которой оио движется). Поэтому, если тело скользит по неподвижной поверхности или движется в «неподвижной» сопротивляющейся среде, то при любом движении тела работа сил трения, действующих на него, отрицательна.
Но работа сил трения может быть и положительной, когда поверхность или среда сами движутся. Рассмотрим, например, тело В, по поверхности ното- рого скользит тело С (рис. 42) с относительной скоростью «4„„. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ Сила трения г,р, действующая на тело С, направлена против вектора в„,„. Допустим, что само тело В движется в противоположном направлении со скоростью в.
Если о ) о„,„, то в «неподвижной» системе отсчета тело С движется со скоростью «» — е„„в том же направлении, куда действует сила трения. Сила трения ежесе-, кундно совершает над телом С положительную работу А, = = Г,р (о — о„»). Однако, если система замкнута, то полная работа сил трения, действующих на все тела системы, всегда отрицательна. Так, в приведенном примере сила трения, действующая на тело В, совершает отрицательную работу А, = — с,ро. Полная работа сил трения равна А =- А, + А, = — Е,р.о „, т. е. отрицательна. Поэтому мы даем следующее определение диссипативных сил.
Диссипативными называются такие силы, полная работа которых при любых движениях в замкнутой системе всегда отрицательнаа. 6. Отметим, наконец, еще один вид неконсервативных сил, называемых гироскопическими силами. Эти силы зависят от скорости материальной точки и действуют всегда перпендикулярно к втой скорости. Работа таких сил равна нулю при любом перемещении материальной точки, в частности при ее движении по замкнутому пути.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
