Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 34
Текст из файла (страница 34)
От консервативных гироскопические силы отличаются тем, что они определяются не только положением, но и скоростью движущейся материальной точки. Единственным примером гироскопических сил, известных в физике, является сила Лоренца, т. е. сила, действующая на заряженную частицу в магнитном поле. Она пропорциональна векторному произведению !ПВ), т. е. перпендикулярна как к направлению скорости в, так и к вентору напряженности магнитного поля В. Правда, в механике встречаются гироскопические силы и иного рода. Это так называемые силы Кориолиса. Однако эти силы не являются «настоящими силами» в смысле механики Ньютона.
При рассмотрении движений относительно инерциальных систем отсчета (а только такие движения мы сейчас и рассматриваем) такие <силы» вообще не существуют. Они вводятся искусственно при рассмотрении движений в системах отсчета, вращающихся относительно инерциальных, чтобы придать уравнениям движения в таких системах формально такой же вид, что и в инерциальных системах отсчета (см.
гл. 1Х). $25. Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике 1. Если на систему действуют одни только консервативные и гироснопические силы, то можно для нее ввести понятие потенииальной энергии. Какое-либо произвольное положение системы, характеризующееся заданием координат ее материальных точек, условно примем за нулевое. Работа, совершаемая консервативными 136 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 1ГЛ.
1У силами при переходе системы из рассматриваел1ого положения в нулевое, называется потенциальной энергией системы в первом положении. Работа консервативных сил не зависит от пути перехода, а потому потенциальная энергия системы при фиксированном нулевом положении зависит только от координат материальных точек системы в рассматриваемом положении. Иными словами, потенциальная энергия системы У является функцией только ее координат.
Значение потенциальной энергии зависит от того, какое положение системы условно принято за нулевое. Если за нулевое принять положение 0 (рис. 43, а), то в положении 1 система будет обладать потенциальной энергией У = А,о, равной работе консервативных сил при переходе системы из положения 1 в положение О. 2 рУ Рас. 43. Если же за нулевое принять положение 0', то потенциальная энергия будет равна Г =- А1о.
Вследствие консервативности сил, действующих в системе, работа вдоль пути 10' равна работе вдоль пути 100': А1о =- А1о+ Аоо, или Г =- У+ Аоо. Работа Аоо постоянна, т. е. Не зависит от координат системы в рассматриваемом состоянии 1. Она полностью определяется выбором нулевых положений 0 и 0'. Мы видим, что при замене одного нулевого положения другим потенциальная энергия системы меняется на постоянную величину.
Неопределенность можно усилить еще больше, если условиться считать потенциальную энергию в нулевом положении равной не нулю, а какому-либо постоянному произвольному значению. Тогда в приведенном выше определении вместо потенциальной энергии следует говорить о ее разности в двух положениях.
Разностью потенциальных энергий в рассматриваемом и нулевом положениях называется работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого в нулевое положение. Таким образом, потенциальная эн ргия системы определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной. Этот произвол не может отразиться на физических выводах, так как ход физических явлений может зависеть не от абсолютных значений самой потенциальной энергии, а лишь от ее разностей в различных состояниях. Эти же разности от выбора произвольной постоянной не зависят.
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 137 Пусть система перешла из положения 1 в положение 2 по какому- либо пути 12 (рис. 43, б). Работу Аиь совершенную консервативными силами при таком переходе, можно выразить через потенциальные энергии (11 и (12 в состояниях 1 и 2. С этой целью вообразим, что переход осуществлен через нулевое положение О, т. е. по пути 102. Так как силы консервативны, то А,2 = А,о, = А,о + + Ао, — — А,о — А,о. По определению потенциальной энергии (11 = А,О + С, (1, = А,о + С, где С вЂ” одна и та же аддитивная постоянная. Таким образом, А 12 = (11 — (1„ (25.1) т.
е. работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы. 2. Та же работа Апи как было показано, может быть выражена через приращение кинетической энергии по формуле (22.9). Приравнивая выражения (22.9) и (25.1), получим К, — К, = = (11 — (1„откуда К1+ ( 1 К2+ (~2 Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной энергией Е. Таким образом, Е, =- Е„или Е = К+ (1 = сопз(.
(25.2) В системе с одними только консервативными (и гироскопическими) силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.
3. Вычислим потенциальную энергию в некоторых простеяших случаях. а) Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести. Если материальная точка, находящаяся на высоте Ь, упадет на нулевой уровень (т. е. уровень, для которого Ь =- 0), то сила тяжести совершит работу А = тдй. Поэтому на высоте Ь материальная точка обладает потенциальной энергией (1 = туп+ С. За нулевой люжно принять произвольный уровень, например, уровень пола (если опыт производится в лаборатории), уровень моря и т. д. Постоянная С равна потенциальной энергии на нулевом уровне. Полагая ее равной нулю, получим (1 = тд)2. (25.3) б) Потенциальная энергия растянутой пружины.
Упругие силы, возникающие при растяжении или сжатии пружины, являются центральными силами. Поэтому они консервативны, и имеет смысл говорить о потенциальной энергии деформированной пружины. Ее называют упругой энергией. Обозначим через х растяжение РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 1гл.
ш пружины, т. е. разность х = 1 — 1, длин пружины в деформированном и иедеформированном состояниях. Упругая сила г" зависит только от растяжения. Если растяжение х не очень велико, то она пропорциональна ему: г' = ях (закон Гука, см. $ 11). При возвращении пружины из деформированного в недеформированпое состояние сила г совершает работу А =- ~ г Г(Х=Е ~ ХГ(Х= — ЕХ'.
! 2 Если упругую энергию пружины в недеформированном состоянии условиться считать равной нулю, то (у=--йх'. ! в) Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек. По закону всемирного тяготения Ньютона гравитационная сила притяжения двух точечных тел пропорциональна произведению.их масс МлГ и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: Р=б —.. (25.5) где 6 — гравитационная постоянная.
Силы гравитационного притяжения, как силы центральные, являются консервативными. Лля пих имеет смысл говорить о потенциальной энергии. При вычислении этой энергии одну из масс, например М, можно считать неподвижной, а другую — перемещающейся в ее гравитационном поле. При перемещении массы и из бесконечности гравитационные силы совершают работу А= ~ б — „, Г(~=6 —, Мгл Мж г где г — расстояние между массами М и и в конечном состоянии.
Эта работа равна убыли потенциальной энергии: А = 11 — (У (г). Обычно потенциальную энергию в бесконечности У принимают равной нулю. При таком соглашении и = — а ~ . (25.6) Величина (25.6) отрицательна. Это имеет простое объяснение. й(аксимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними.
В этом положении потенциаль- потвнцихльнля энаогия $251 иая энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна. 4. Допустим теперь, что в системе наряду с консервативными и гироскопическими силами действуют также диссипативные силы. Работа всех сил А„ при переходе системы из положения 1 в положение 2 по-прежнему равна приращению ее кинетической энергии К, — К,.
Но в рассматриваемом случае эту работу можно представить в виде суммы работы консервативных сил А;.„'" и работы диссипативных сил Ах,',". Первая работа может быть выражена через убыль потенциальной энергии системы: А",.;" = и, — и,. Поэтому А — и и +Алис Приравнивая это выражение приращению кинетической энергии, получим К,-К,=и,-и.+Ах;, или Е,— Е,=А~„"', (25.7) где Е = К + и — полная энергия системы. Таким образом, в рассматриваемом случае механическая энергия Е системы не остается постоянной, а уменьшается, так как работа диссипативных сил Ах,"' отрицательна.
Уравнение (25.7) можно обобщить. Разделим все действующие силы на две группы. К первой группе отнесем силы, учитываемые посредством потенциальной энергии и, ко второй — все остальные силы, как внутренние, так и внешние, действующие в системе. Обозначим А„работу сил второй группы. Тогда, рассуждая так же, как и при выводе формулы (25.7), получим Е,— Е,=Аць 5. Допустим снова, что диссипативные силы в системе не действуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (25.2). Поскольку кинетическая энергия К по своему смыслу не может быть отрицательной, из формулы (25.2) следует, что Е =» и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
