Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Кинетическая энергия изменится под действием одних только внутренних сил. Следовательно, приращение кинетической энергии определяется рабопюй не только внешних, но и внутренних сил. 4. Доказанная теорема для материальной точки имеет место и в релятивистской механике. Надо только изменить выражение для кинетической энергии. В релятивистской механике формула (22.7) также справедлива, однако при вычислении интеграла (22.7) надо учитывать зависимость массы от скорости. Масса определяетсяформулой Ио т= Р' 1 — ь'К' Подставив в эту формулу о = рlт и возведя в квадрат, получим р'-1- (т,с)' = (тс)'.
(22. 1О) Дифференцированием этого соотношения находим р др = с'т с(Гп А так как рбр = — р йр и р = то, то эйр=с'йгп Таким образом, Ам=)'в0р= ~ с'с(т. Отсюда А м = с' (т, — т,) = сь Лт, (22. 11) где т, и т, — массы материальной точки в начальном и конечном положениях. Таким образом, в релятивистской механике работа определяется. только приращением массы латериальной точки. Этот результат проще соответствующего результата нерелятивистской механики, Введем обозначение Е=тс' (22. 12) н назовем величину Е полной или релятивистской энергией частсщы (материальной точки). Тогда Ам-— -Е,— Ем (22.
13) 127 РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ $221 В частном случае, когда частица покоится, ее релятивистская энергия определяется выражением Ео = того (22. 14) и называется энергией покоя. Канетическая энергия есть часть релятивистской энергии, обусловленная движением частицы. Она представляется разностью,. К = Š— Ео = (т — то) со, (22. 15) или (22.16) Ясно, что работу А„можно вычислить также по формуле 112 К2 К1' (22.17) Если в формулу (22.10) ввести величины Е и Е„то получится Е' = Е„'+ (рс)' (22.! 8) Эта формула выражает в релятивистской механике связьмежду импульсом частицы и ее полной энергией.
Она справедлива не только для элементарных частиц, о структуре которых при современном уровне наших знаний ничего сказать нельзя, но н для составных частиц или систем, состоящих из нескольких частиц. Под т, и Е, следует понимать массу и полную энергию такой системы в системе отсчета, относительно которой она покоится. Формула (22.16) дает выражение для кинетической энергии в релятивистской механике. При медленных движениях она переходит в привычную формулу (22.8), Действительно, пользуясь формулой бинома Ньютона, можем написать 1 —— 22 Когда о21со (( 1, можно оборвать это разложение на втором члене.
Тогда формула (22.16) перейдет в формулу (22.8). 6. В атомной физике удобной единицей энергии является электронвольт (эВ). Это есть энергия, приобретаемая электроном в электрическом поле при прохождении разности потенциалов В ОДИН ВОЛЬТ: 1 эВ= 1,602 10" эрг. Употребляется также килоэлектронвольт (кэВ), равный 1000 эВ.
В ядерной физике, а также в ускорительной технике употребляются более крупные единицы: мегаэлектронвольт (МэВ), равный 10"ЭВ, 128 РАБОТА и энергия !Гл. 1ч н гигаэлектронвольт (ГэВ), составляющий 10' эВ. Недавно стала употребляться еще более крупная единица — тераэлектронвольт (1ТэВ = 10" эВ). Энергия покоя для электрона н протона соответственно равна: для электрона т„с' = 0,5!1 МэВ, для протона т,пса=938 МэВ. Если полная релятивистская энергия частицы Е велика по сравнению с ее энергией покоя Е, = т„с', то говорят о движении с дльтрарелятивистекими скоростями. Такие скорости получаются в ускорителях, они встречаются также в космических лучах.
Зная энергию ультрарелятивистской частицы, можно вычислить и ее скорость. Точнее, можно вычислить не самую скорость частицы (для этого недостаточна точность, с которой известна скорость света с), а равность между этой скоростью и скоростью света в вакууме. С этой целью перепишем формулу (22.12) в виде Е= ~Г Отсюда получаем Еа (с+ с) (с — о) = ш„'-са = Е1са. Так как скорость о близка к с, то во втором множителе с+ о величину о можно заменить иа с.
В результате получится с — о Е1 с 2Е'' (22.19) Для протонов с энергией Е = 10 ГэВ получаем с в о 0,938э с 2 1Оа = Для электронов с энергией Е = 1 Гэ — =1,3 10 т. с 2,10в = В космических лучах регистрировались протоны с энергией 1Ота эВ = 10'с ГэВ, В этом случае 1О ао, с т. е.
скорость частицы отличается от скорости света всего на 3 10 аа см/с. ЗАДАЧИ !. Через неподвижный блок, массой которого можно пренебречь, перекинута замкнутая тяжелая веревка массы М. В начальный момент времени за точку веревки, расположеннук между блоком и нижним заворотом ее, цепляется обезьяна массы и и начинает карабкаться вверх так, чтобы удержаться на неизменной высоте. Какую мощность Р должна для этого развивать обезьяна? Через сколько времени она перестанет справляться со своей затеей, если максимальная мошностгь которую она может развивать, равна Р„а„,) Ответ. Р= — 1; (= Р (над)а М д! (л )а вакс. ТЕОРЕМА КЕНИГА 2. Вывести формулу (2!.6), валяющуюся релятивистским обобщением формулы Циолковского для движения ракеты.
Считать, что скорости ракеты и газовой струи направлены вдоль одной прямой. Р е ш е н н е. Решение основано на релятивистских законах импульса и энергии (релятивистской массы). Они нами были сформулированы. Кроме того, требуется знать релятивистский закон сложения скоростей, который нами не фор. мулировался. Читатель, желающий разобрать решение, приводимое ниже, должен обратиться к руководствам по теории относительности или принять на веру формулу (22.22), приводимую ниже. Пусть ш и о — масса покоя и скорость ракеты в произвольный момент времени 1, а тт„и о„„, — те же величины для газов, образовавшихся из топлива ракеты к этому моменту времеяи.
Так как газы, уже покинувшие ранету, не оказывают влияния на ее движеяие, то можно принять т„з, = О. Однако газы непрерывно образуются, так что йттзз ~ О. На основании закона сохранения импульса и энергии (релятивистской массы) (22.20) (22.21) Дифференцируя уравнение (22.20) с учетом (22.21) и полагая в окончательном результате глтзз = О, получим гл пз т)о + (о — о„,з) о = О. Г оз )/1 ~/ 1- —, сз сз По релятивистскому закону сложения скоростей "отн Отзз= " 'ота 1 —— сз (22.22) где о„„ — скорость газовой струи относительно ракеты.
Исключая о 3 после несложных преобразований находим' Оотн от — сз с' ш Предполагая скорость о „постоянной и интегрируя, получим с ~% ~ 1+!) ~ отн (22.23) $23. Связь между кинетическими энергиями в различных системах отсчета. Теорема Кенига Как ясно из формулы (22.8), кинетическая энергия тела зависит от выбора системы отсчета, относительно которой рассматривается его движение. Можно поставить вопрос, как преобразуется кинетическая энергия при переходе от одной системы отсчета к другой.
ьхьотк и энььгия 1гл. и Приведем решение этого вопроса в нерелятивистской механике. Сначала рассмотрим частный случай, когда тело состоит всего из одной материальной точки. Обозначим посредством К кинетическую энергию материальной точки в какой-либо системе отсчета 5, а через К' — в другой системе 5', движущейся относительно 5 поступательно со скоростью У. (Скорость У может быть постоянной, но и может меняться во времени.) В нерелятивистской механике скорости о, е' и У связаны соотношением в = и' + У.
Поэтому 2 2 +2 + или (23. 1) +2 +(Р где р' = те' — импульс материальной точки в системе 5'. Формула (23.1) справедлива и для произвольной системы материальных точек. Чтобы убедиться в этом, достаточно написать соотношение (23.1) для каждой материальной точки системы, а затем просуммировать по всем точкам. Тогда получится снова формула (23.1), в которой под р' надо понимать импульс всей системы материальных точек в системе отсчета 5', т. е. р' = т,п( + тенг + ... Его можно представить в виде р' = тп,', где о,' — скорость центра масс системы материальных точек относительно 5', а т — ее суммарная масса.
Таким образом, К = К'+ — тУь+ т (Уп') (23.2) Если центр массы покоится в системе 5', т. е. и,' = О, то К = К'+ — тУ'. (23.3) Это равенство выражает так называемую теорему Кенага: кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в ее относипмльном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс. $24. Консервативные и неконсервативные силы 1.
Все силы, встречающиеся в макроскопической механике, принято разделять на консервативные и неконсервативные. Прежде чем вводить эти понятии, рассмотрим некоторые примеры. Вычислим сначала работу силы тяжести, которую она совершает при переходе материальной точки из положения 1 в положение 2 4 гм КОНСЕРВАТИВНЫЕ И НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ 431 вдоль прямолинейного отрезка 42 (рис.
38). Примеролг может служить скольжение без трения материальной точки по гладкой наклонной плоскости. Очевидно, эта работа равна А.г = тдз соз а, или Агг = пЧ (ггг пг) = тйггг ткпг (24. 1) где йг и Ьг — высоты, на которых находилась материальная точка в начале и конце пути, отсчитанные от какого-либо произвольного уровня, например от земной поверхности илп от уровня моря.
Формула (24.1) остается справедливой и при перемещении вдоль л Рис. 38. Рис. 39. произвольной кривой, например по пути И2 (рис. 39). Это станет очевидным, если разбить весь путь И2 горизонтальными плоскостями на малые участки, каждый из которых может быть принят за прямолинейный. Применив к каждому участку формулу (24.1) и сложив полученные работы, мы придем к прежнему результату (24.1). Если вместо пути И2 взять любой другой путь 142 между теми же начальным и конечным положениями 1 и 2, то работа силы тяжести не изменится, так как она определяется только разностью высот йг — й„которая от формы пути не зависит.
Таким образом, работа силы тяжести не зависит от 4ормы пути, а определяется только начальным и конечным положениями перемещающейся точки. 2. В качестве второго примера рассмотрим работу прн перемещении материальной точки в поле центральных сил. Сила называется центральной, если она направлена к одной и той же точке (или От одной и той же точки) и зависит только от расстояния до этой точки, называемой центром сил или силовым центром. Примером может служить сила гравитационного притяжения, с которой Солнце действует на планету, или сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
