Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 31
Текст из файла (страница 31)
5. Определить коэффициент полезного действия ракеты, т. е. отношение кинетической энергии К, приобретенной ракетой, к количеству тепла (), выделившемуся при сгорании топлива.' Скоростзч достигнутая ракетой, о = 9 км/с. Теплота сгорания топлива 4 = 4000 ккал/кг, скорость выбрасываемых продук. тов сгорания относительно ракеты и = 3 км/с. К оз Ответ. — =, =!39ю Я 2, (ео/и !) о 0. В ракете продукты сгорания (газы] выбрасываются со скоростью и = = 3 км/с (относительно ракеты). Найти отношение ее кинетической энергии Крз« к кинетической энергии продуктов сгорания Ксю в момент достижения ранетэй скорости о«оо = 12 км/с.
Р е ш е н и е. Приращение скорости ракеты и связано с изменением ее массы т соотношением из(п =- вотч з(т. Переходя к скалярной форме и новым обозначениям, запишем его в виде т з(о =- — и //т, причем з/т = — з(пзгзз, где т„„— масса выброшенных газов. Приращение кинетической энергии газов 1 „лзогаз з(К = — — г/тоз = — г(о. гзз 2 гзз Подставив сюда о„„= о — и и воспользовавшись формулой Циолковского (21,5), получим "Кгзз = — (и — о)з е /" ТЬ, или после интегрирования тоиз Кгаз (1 — е з — хзе з), газ где для краткости введено обозначение х —. о, „/и. Кинетическая энергия ра. кеты К = '/ то' = '/ т изхее-", рз« з «он з О В результате находим Крз« Ктзз е' — (1+к«) ' При к = 4 т! = 45%. 7. С поверхности Луны стартует двухступенчатая ракета. При каком отношении масс пеРвой (т,) и втоРой (тз) стУпеней скоРость контейнеРа с полезным грузом (массы т) получится максимальнойз Скорость истечения газов и в двигателях обеих ступеней постоянна и одинакова.
Отношения массы топлива к массе ступени равны соответственно из и аз для первой и второй ступеней. Отделение ступеней и контейнера производится без сообщения добавочных импульсов. Р е ш е н и е. От действия силы тяжести 3!уны можно отвлечься. Сила тяжести уменьшает кинетическую энергию системы, но не влияет на условие максимума. Примем за единицу массы полную массу ракеты в момент старта. Тогда (21.8) т, + тз+ т = 1. После выгорання топлива в первой ступени масса системы уменьшится на изтз. 122 СЛЕДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЪСОТОНА (ГЛ.
И! ееып = (1 — ас) и!+те+и' Масса (1 — сс,) и, отделяется, и включаетси двигатель второй ступени. После выгорания топлива ио второй ступени скорость ракеты возрастает еще на величину оз, причем еын из+и (1 — з) +т ' В этом можно убедиться, если перейтн в систему отсчета, в которой ракета в момент отделения первой ступени покоится. Полная достигнутая скорость найдется перемножением двух предыдущих соотношений и последующим логарифмированием, Исключая еще при этом массу т с помощью соотношения (21.8), получим — =1п (1 — т,) — 1п (1 — а,т,) — 1п [(1-сс,) (1 — т,) + йзт[. н Здесь т и и играют роль постоянных параметров, а тс — аргумента, от которого зависит скорость о.
Дифференцируя по т, и приравнивая производную нулю, получим условие максимума 1 1 1 — + — + =О, т,— 1 8 — т, у — т (21.9) где введены обозначения Условие (21.9) приводит к квадратному уравнению относительно т,, решая которое, найдем и!=(-)'1+([)у — й-у) Перед корнем взят минус, так как по смыслу задачи О е т, < 1. С помощью (21.8) находим массу т,, а затем искомое отношение тз/т!. Возвращаясь при этом к прежним параметрам йс и й, пачучнм 1хс й,1 — й, "сз т йс ! — йт )с т. ас ! сс! ! — ~/. т й,! — аз (21.10) Решение имеет смысл при выполнении условия аз! — а, — т < 1.
й,1 — йа В реальных условиях, когда т(к 1, а параметры а и а отличаются не очень сильно, это условие соблюдается. Прн й, — — ас получается простая формула пт (21,11) Если при этом будет достигнута скорость о,, то по соотношению Циолковского ГЛАВА ГЧ РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 5 22. Работа и кинетическая энергия 1. Работой силы Р на перемещении сЬ называется проекция Р, этой силы на направление перемещения, умноженная на величину самого перемещения: йА = Р, йз = Р йв соз и, (22.
1) йА = (Р аэ). (22.2) В общем случае, когда материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, можно мысленно разбить этот путь на бесконечно малые элементы, иа каждом из которых сила Р может считаться постоянной, а элементарная работа может быть вычислена по формуле (22.1) или (22.2). Если сложить все эти элементарные работы и перейти к пределу, устремив к нулю длины всех элементарных перемещений, а число их — к бесконечности, то такой предел обозначается символом А = ~ (Р йв) (22.3) и называется криволинейным интегралом вектора Р вдоль траектории Е. Этот интеграл, по определению, и дает работу силы Р вдоль кривой ).. Если Р = Р, + Р„то проектируя это векторное уравнение на направление элементарного перемещения йа, получим Р, = = Еы + Р„, а после умножения на йв: Р,йз = Р„йв + Ре,дв, или йА =йА,+дАе.
(22.4) где а — угол между векторами Р и сЬ (рис. 36). Поскольку перемещение ав предполагается бесконечно малым, величина йА называется также элементарной работой в отличие от работы на конечном перемещении. Если воспользоваться понятием скалярного произведения, то можно сказать, что элементарная работа дА есть скалярное произведение силы Р на перемещение йа: 124 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [Гл. [ч Таким образом, элементарнал работа резульпгирующей двух или нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Оче- видно, то же утверждение справедливо и для работ на конечных перемещениях: А = А,+А,. (22.5) Единицей работы в системе СИ является джоуль (Дж).
Джоуль есть работа силы в один ньютон на перемещении в один метр при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения. В системе СГС единицей работы является эрг. Зре есть ь". работа силы в одну дину на перемещении в один и сантиметр при том же условии, т.
е. в предполо( женин, что направления силы и перемещения совпадают. Очевидно, 1 Дж=10' эрг. Работа, отнесенная к единице времени, т. е. величина (22.6) называется мощностью. Ее единицами являются эрг на секунду и джоуль на секунду, или ватт (Вт). Очевидно, 1 Вт= 10' эргг'с. а Р ис. 37. Подставив в формулу (22.3) Р= — „, дэ- е д[, придадим этой вр формуле вид А = ~ (е др). (22.7) 2. Чтобы вычислить интеграл, надо знать связь между скоростью материальной точки е и ее импульсом р. По определению импульса р = те, причем в нерелятивистской механике масса т не зависит от скорости, так что едр =- теде. Здесь вектор деозначает элементарное приращение вектора е, причем это приращение может и не совпадать по направлению с вектором е (рис, 37). Если мы условимся понимать под о длину вектора е, то очевидно о' = е'.
Действительно, справа стоит скалярное произведение вектора е на самого себя, а оно равно квадрату длины вектора, как зто непосредственно следует из определения скалярного произведения. Дифференцируя теперь обе части соотношения о' =- е', получим ода= =- = ег[е. Здесь доесть элементарное приращение длины вектора е. Его нельзя смешивать с длиной элементарного приращения вектора, т. е. с величиной ~ де1. Последняя величина по самому ее смыслу существенно положительна, в то время как приращение до может РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ быть как положительным, так и отрицательным. На рис.
37 бег =-- АВ, йо = АС. По определению скалярного произведения и йп =- = о АВ соз а = о АС = обо. Это дает другое доказательство соотношения и йтг = ьдо. Разумеется, такое соотношение справедливо не только для вектора п, но и для любого другого вектора. Используя его в нашей задаче и вынося постоянный множитель т из-под знака интеграла, получим т тЛ ть' Агг=гп ~ Обо=в 2 2 где о, — начальная, а аь — конечная скорости чгзчки. Букву А мы снабдили индексами 1, 2, чтобы подчеркнуть, что речь идет о работе при перемещении материальной точки из начального положения 1 в конечное положение 2 (см.
рис. 36). Величина пю' рг К= —, (22.8) 2 2т называется кинетической энергией материальной точки. С помощью этого понятия полученный результат запишется в виде А„=-К,— К,. (22.9) Таким образом, работа силы при перемещении материальной пючки равна приращению кинетической энергии этой точки. Связь между работой и кинетической энергией, выражаемая этой теоремой, и оправдывает введение обоих этих понятий. 3. Полученный результат без труда обобщается на случай произвольной системы материальных точек. Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые ее можно мысленно разделить.
Напишем соотношение (22.9) для каждой материальной точки системы, а затем все такие соотношения сложим. В результате снова получится формула (22.9), но уже не для одной материальной точки, а для системы материальных точек. Под А,, надо понимать сумму работ всех сил, как внутренних, так и внешних, действующих на материальные точки системы. Таким образом, работа всех сил, действующих на систему мапгериальных точек, равна приращению кинетической энергии эпгой система. Имеется существенное отличие этой теоремы от аналогичной, в которой говорится о связи между импульсом силы и изменением количества движения системы (2 18). Внутренние силы вследствие равенства действия и противодействия не меняют количества движения всей системы.
Приращение количества движения снстемьг определяешься только внешними силами. Не так обстоит дело в случае кинетической энергии. Работа внутренних сил, вообще говоря, не обращается в нуль. Представим себе, например, замкнутую 126 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ ЬГЛ. ГЧ систему, состоящую из двух материальных точек, взаимодействующих между собой силами притяжения )Р, и Г,. Если точки придут в движение навстречу друг другу, то каждая из сил р, и р, совершит положительную работу. Будет положительной и работа обеих свл. Она пойдет на приращение кинетической энергии системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
