Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Внутренние силы, как уже подчеркивалось выше, не влияют на изменение полного количества движения Тг системы, поскольку они всегда входят попарно и удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия. 3. Количество движения, приобретаемое телом, зависит, таким образом, не только от величины силы, но к от продолжительности ее действия.
Иллюстрацией этого может служить следующий простой опыт. Тяжелая гиря (рис. 32) подвешена на нити, снизу к ней прикреплена такая же нить. Если медленно тянуть за нижнюю низзь то рвется верхняя нить. Причина ясна. Так как гиря все время Т практически находится в покое, разность натяжений нити Т, — Т, г должна уравновешивать вес груза Р: Т, — Т, ==- Р. Отсюда следует Т, ) Те, Обозначим символом Т, максимальное натяжение, которое может выдержать нить, не разрываясь. Когда мы медленно Р с 3 ис.
тином за нижнюю нить, ю в некоторый момент времени натяжение Т, достигает предельной величины Те. В этот момент натяжение нижней нити Т, еше меньше Т,. Поэтому нижняя нить остается целой, а верхняя рвется. Однако, если быстро дернуть за нижнюю нить, то верхняя нить остается целой, а нижняя рвется. Дело в том, что для разрыва верхней нити ее цеобжм димо растянуть на определенную длину. А для этого надо привести в движение гирю. Чтобы сообщить гире необходимое смещение, требуется конечное время, даже когда на нее действует большая сила. Быстро дергая за нижнюю нить, мы пе успеваем сообщить гире достаточное смещение.
В нижней нити возникает натяжение, превосходящее предельное Т„, в то время как верхняя нить еще не успеет растянуться, н ее натяжение практически остается неизменным. Поэтому и рнется нижняя нить. Опишем второй опыт, иллюстрирующий влияние продолжительности действия силы. Из ватманской бумаги вырезаются два одинаковых нольца с наружным диаметром — 20 см и внутренним диаметром — 15 см. Кольца подвешиваются на двух горизонтальных металлических стержнях, зажатых в штативах. В кольца вставляется четыпехугольная сосновая планка длиной ! м с поперечным сечением — 2 — 3 см .
Расстояние между бумажными кольцами должно быть лишь немного меньше длины планки. Если плавно нажимать на середину планки, то одно из бумажных колец (или оба вместе) рвется, а планка остап)си целой. Нанесем теперь по середине планки резкий сильный удар тяжечой металлической палкой. Планка ломается, а кольца остаются целыми. Поразительным в этом опыте является не то, что ломается планка — она переломилась бы и при отсутствии колец, а то, что остаются целыми бумажные кольца. [ш оледстВия и пРименения ЗАконОВ ньютОнА [Гл. и! 9 19. Теорема о движении центра масс В нерелятивистской механике, ввиду независимости массы от скорости, количество движения системы р = т»т)! + т»п» + ...
может быть выражено через скорость ее центра масс. Центром масс или централ! инерции систел«ы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор 1«которой выражается через радиусы- векторы г„)"„... материальных точек по формуле т»г» + л!»г«+ ° ° . (19.1) )я ! где т = т, + т, + ... — общая масса всей системы. Эту точку мы обычно будем обозначать буквой С. Если продифференцировать выражение (19.1) по времени и умножить на т, то получится тгт =тТ!»Т+ т,г,+..., или т'»г= т»т)Т+т»т)»+..., где г' = л« вЂ” скорость центра масс системы.
Таким образом, р=тК (19.2) Подставив это выражение в формулу (18.1), получим )и!») Л' л! (19.3) Отсюда следует, что центр масс системы движется как материальная и;очка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действрюшая сила — геометрической сумме всех внешних сил, действ[)ю[цих на систему. Этот результат называется теоремой о движении центра масс. Примером может служить движение снаряда по параболе в безвоздушном пространстве. Если в какой-либо момент времени снаряд разорвется на мелкие осколки, то эти осколки под действием внутренних сил будут разлетаться в разные стороны.
Однако центр масс осколков и газов, образовавшихся при взрыве, будет продолжать свое движение по параболической траектории, как если бы никакого взрыва не было. Центр масс системы совпадает с ее центром тяжести, т. е. с точкой приложения параллельных сил, действующих на материальные точки системы в однородном поле тяжести. Поэтому вместо терминов «центр масс» н «центр инерции» употребляют также термин «центр тяжести». Однако в теореме о движении центра масс термином «центр тяжести» лучше не пользоваться, так как к этой теореме тяжесть не имеет прямого отношения. Термин «центр тя- теорвмл о движвнин центра масс 4 !91 жести» распространен в курсах теоретической механики, особенно старых.
В физике этот термин вышел из употребления. Если система замкнута, то го!9) =-- О. В этом случае уравне- Л' ние (19.3) переходит в — -=О, из которого следует 4г =- сопя(. й) = Центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно. Эта теорема верна и в релятивистской механике (см. задачу 5 к этому параграфу). ЗАДАЧ И 1. На дне маленькой ззпаянной пробирки, подвешевной над столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки, а расстояние от дна до поверхности стола равно длине пробирки 1.
Нить пережнгают, и за время падения муха перелетает со дна в самый верхний конец пробирки. Определить время, по истечении которого нижний конец пробирки стукнется о стот. /! Ответ. 1 = 1»7 Я 2. Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси центробежной машины, как указано на рис. 33, равномерно вращается с угловой скоростью ы. Нить составляет угол а с осью. Найти расстояние от центра кольца до оси вращения. Ответ.
х=д Д Я ыа 3. Однородный стержень длины ! равномерно вращается вокруг свободной оси, перпендикулярной к стержню и проходя- Р 33 щей через его центр. Какова должна быть угловая скорость ис. вращения ы, при которой стержень еще не разрывается под действием внутренних напряжений, возникающих в нем при вращении» Максимальная сила натяжения, отнесенная к единице площади поперечного сечения стержня, равна Т. Объемная плотность материала стержня равна р (см.
также й 73, задача 4). О т в е т. Р1»ыз < 3Т. 4. На прямоугольный трехгранный клин АВС массы М, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальное плоскости, положен подобный же, но меньший клин ВЕР массы гп (рис. 34). Определить, на какое расстояние х сместится влево большой клин, когда малый клин соскользнет вниз и займет такое положение, что точка Р совместится с С. Длины катетов АС и ВЕ равны соответственно а и Ь. т О т в е т. х = — (а — Ь).
й(+ т б. Если система состоит из частиц, движущихся с релятивистскими скоростями, то радиус-вектор ее центра масс определяется теми же формулами, что и в нерелятивистской механике, т. е. Рис. 34. я= ~з~ т!г!/~з~ пп. Однако под т; следует понимать релятивистские »~асом частиц, Следует учитывать также и массы полей, посредством которых осуществляется взаимодействие между частицами. Во время взаимодействия одни частицы могут исчезать, другие — появляться, Положение так определенного !!2 СЛЕДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА [ГЛ Н! центра масс меняется ири переходе от одной системы отсчета и другой, движущейся относительно нее. Если частицы точвчныв и взаимодействуют только в моменты столкновений, то вся масса будет сосредоточена только в частицах, а нс в полях.
похавать прямым дифференцированием, что в этом случае скорость центра масс изолированной системы не меняется во времени и определяется формулой 7!'=- ~ т,гт! ~тч —.- р/~~ тп где р — импульс системы, а суммирование, хах и в предыдущем выражении, производится по всем частицам, входящим в нее. Например, если равномерно движущееся радиоактивное ядро распадается на лету, то центр масс образовавшихся осколков будет продолжать в точности такое хее равномерное движение, т, е. движение с прежней постоянной скоростью и в прежнем направлении. й 20.
Приведенная масса 1. Рассиотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих материальных точек с массами 1п, и из (рис. 35). Уравнения движения этих точек г можно записать в виде т! л17 йзс! Р, йзз'з Рз — — — — (20.1) йМ тз' йм т,' причем по третьему закону Ньютона гз == — гз. Вычитая из одного уравнения другое, находим и ря р! ! ! —.,(га — 7;) = — ' — — '=воз( — -!- — 1, йгз "' х тв т, г! т, туЦ и Рис.
35 Это уравнение описывает движение одной материальной точки относительно другой, так как разность г = — г, — г, есть радиус-вектор, проведенный от первой точки ко второй. Ои однозначно определяет положение второй точки относительно первой. Введем обозна- чение ! 1 1 т,т, — = — -+ —, или и т! т,' тт+тз (20.2) Тогда предыдущее уравнение перейдет в йзг р без = в з.
(20.3) Это уравнение формально аналогично второму закону Ньютона. Роль силы и~рвет сила г,, действующая на вторую материальную точку, а роль массы — вспомогательная величина )х, называемая приведенной массой. Разумеется, одно уравнение (20.3) не может быть эквивалентно двум исходным уравнениям (20.!), Однако такая эквивалентность пз ПРИВЕДЕННАЯ МАССА 2 20] может быть достигнута, если к уравнению (20.3) присоединить уравнение, выражающее теорему' о движении центра масс системы. Последняя в рассматриваемом случае сводится к утверждению, что центр масс системы движется прямолинейно и равномерно.
Тем самым задача о движении двух материальных точек распадается на две независимые задачи: 1) определение равномерного движения центра масс; 2) определение относительного движения одной материальной точки относительно другой. Вторая задача формально сводится к задаче о движении одной материальной точки с массой р в силовом поле другой точки. Этим и оправдывается введение понятия приведенной массы. Никакого глубокого физического смысла приведенная масса не имеет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
