Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Итак, свет, распространяющийся в определенном направлении, обладает импульсом в Ы1 РОЛЬ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ материальной точки. Каждое нз них есть уравнение второго порядка. (Порядок дифференциального уравнения определяется про. изводной высшего порядка, входящей в это уравнение.) По этой причине для однозначного определения движения точки к уравнениям движения надо присоединить дополнительные данные, апре.
деляющие значения двух векторных или шести числовых постоянных. В качестве таковых обычно берут значения радиуса-вектора к и скорости е или каких-либо двух функций их в момент времени / = О. Зти значения называются начальными условиями.
Выясним этот вопрос на примере свободного движения материальной точки в поле тяжести Земли. 2. Галилеем было установлено, что все тела в пустоте падают с одинаковым ускорением. Для качественного подтверждения этого положения может служить стеклянная трубка длиной около одного метра, из которой можно отначивать воздух. В трубку помещены различные тела, например, дробинка, кусочек пробки, перышко, кусочки бумаги. Пока трубка не откачана, бумажки и перышко падают во много раз медленнее остальных тел, что объясняется сопротивлением воздуха. Но если воздух из трубки откачать, то все тела начнут падать одинаково быстро.
Более точное доказательство дают наблюдения за качаниями маятника: опыт показывает, что период качаний маятника не зависит от материала, из которого он изготовлен. Ускорение а при свободном падении меняется с географической широтой; на полюсе оно максимально и составляет 9,83 м/с', на экваторе — минимально и равно 9,78 м/с'. Величина я уменьшается с высотой над земной поверхностью: при поднятии на один метр она убывает приблизительно на 3 10 'мlс'.
Для средних широт можно принять, что вблизи земной поверхности д = 9,80 м/с'. В расчетах, не требующих особой точности, ускорение свободного падения а может считаться одним и тем же для всей земной поверхности. На тело в поле тяжести Земли действует сила Р = тд, а потому уравнение движения (11.8) переходит в Л44 =й'.
(14.2) Мы пренебрегли всеми силами и учли только силу тяжести. Зависимостью д от географической широты и высоты надземной поверхностью также будем пренебрегать. Короче, ускорение д будем считать постоянным. Уравнение (14.2) эквивалентно двум уравнениям: (14.3) Простым дифференцированием нетрудно убедиться, что этим уравнениям удовлетворяют следующие решения: т4 = йт + ем к = — йи'+ еь/+ к, ! (!4.4) ЗАКОНЫ НЬЮТОНА !гл. и при произвольных значениях постоянных векторов г„и тзе. Решение (!4.4) является аби!им. Это значит, что любое решение уравнения (14.2) может быть представлено в виде (14.4).
Общее решение— это, в сущности, не одно решение, а целое семейство решений, зависЯщее от двУх пРоизвольных вектоРных постоЯнных г, и ее. Придавая этим постоянным какие-либо конкретные значения, мы выделяем из этого семейства определенное частное решение. Постоянная еа есть начальная скорость движущейся точки, г„— радиус-вектор ее в начальный момент времени. В этом легко убедиться, если с помощью формул (14.4) найти значения гт и г при ! = О, Постоянные г, и ее нельзя определить из дифференциального уравнения движения (14.2), так как при любых значениях этих постоянных выражения (14.4) являются решениями этого уравнения. Величины г и еа определяются начальными условиями. В зависимости от значений г„и е„движения могут сильно отличаться друг от друга.
Тело может подниматься вверх или вниз по прямой линии; оно может описывать параболу, достигая или не достигая ее вершины; дуга параболы может быть изогнута сильнее или слабее и т. д. Получается довольно разнообразный и запутанный класс движений. Заслуга Ньютона, между прочим, и состоит в том, что он подметил, что вся эта сложность исчезает, а все многообразие движений может быть описано единой формулой, не содержащей никаких произвольных постоянных, если от положений н скоростей материальной точки перейти к ее ускорению.
3. Полученные результаты допускают обобщение. Допустим, что имеется система Аг материальных точек, взаимодействующих между собой и с внешними телами, положение которых предполагается заданным в любой момент времени. Записав математически второй закон Ньютона для каждой материальной точки, мы получим систему А! векторных или ЗА' эквивалентных им числовых дифференциальных уравнений второго порядка. Можно показать, что для однозначного решения этих уравнений надо задать 2М векторных или 6Л' числовых величин, определяющих начальные значения координат и скоростей материальных точек системы. ЗАДАЧА Тело брошено вверх под углом и к горизонту с начальной скоростью яе. Исследовать его движение, пренебрегая сопротивлением воздуха. Найти уравнение траектории, дальность полета и максимальную высоту подъема, считая земную поверхность горизонтальной. При каком угле а дальность полета максимальна? Р е ш е н и е. Точку земной поверхности, откуда брошено тело, примем за начало координат (ге = О).
тогда, как видно из (!4л), движение будет пронсхоЛить в веРтикальной плоскости, в котоРой лежат вектоРы Аг и ое. ПРимем ее за координатную плоскость ХУ, направив ось Х горизонтально в сторону движения, ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ $ !в! а ось У вЂ” вертикально вверх. Запишем уравнение (!4.4) в проекциях иа ксюрдннатные оси, учтя при этом, что са, = па сова, оая — — ока!па: о„= о, соа а, о, = оа яп са — яд ! «=па!сова, у=па!ила — - л!а.
2 Исключая иэ последних двух уравнений время т, найдем уравнение траектории йха у=х !да†2о', сока а ' Эю уравнение параболы. Отсюда находим дальность полета оа х а э!п 2сг 0 и мансимальную высоту поднятия оа кп! имама = Максимальная дальность достигается при а = 45' н равна а оа «макс — — . Ю й 15. Принцип относительности Галилея 1. Уравнение, выражающее второй закон Ньютона !па=«', (15.1) отчетливо показывает, что этот закон не может быть справедлив в любой системе отсчета. Действительно, ускорение а, вообще говоря, имеет разные значения в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга с ускорением. Сила же д. не может зависеть от выбора системы отсчета, так как она определяется только взаимными расположениями и относительными скоростями материальных точек системы, а эти величины согласно нерелятивистской кинематике от выбора системы отсчета не зависят.
Отсюда следует, что если второй закон Ньютона справедлив в какой-либо системе отсчета, то он не может оставаться справедливым в другой системе отсчета, движущейся относительно первой с ускорением. 2. Допустим, что система отсчета 5 инерциальна. Рассмотрим вторую систему отсчета 5', движущуюся относительно первой поступательно с постоянной скоростью 1«. Пусть известно движение материалыюй точки в одной из этих систем, наппимер в системе 5.
Как найти движение той же точки в системе 5? Задача в дорелятивистской ее постановке сводится к нахождению формул, выражающих координаты х', у', г' движущейся точки в системе 5' через ее координаты х, у, г в системе 5 в один и тот же ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ. 11 (15.2) где 1" = ОМ, г' =- 0'М вЂ” радиусы-векторы в системах 5 и 3' соответственно, Запишем в проекциях на координатные оси: х=х'+И', д=-р', з=-з', движущейся точки соотношение (15.2) (!5.3) Формулы обратного преобразования имеют вид г" =à — (11, (!5.4) или в координатной форме х'=-х — 'г'1, у'=у, г'=г, 1'=1.
(155) Эги формулы и дают решение поставленной задачи. Они называются преобразованием Галплея. Мы присоединили к формулам момент времени. Начало координат и направления координатных осей можно выбрать произвольно как в системе Я, так и в системе 5'. Если координатные системы неподвижны друг относительно друга и отличаются одна от другой только положениями начал и направлениями координатных осей, то преобразование координат есть чисто геометрическая задача. Ее решение известно из аналитической геометрии. Остается только выяснить, что нового вносит в вопрос о преобразовании ко- 1Ч ординат движение одной системы отсчета относительно другой? Для простоты можно принять, что координатные оси Х', У', 21 соответственно параллельны координатным осям Х, У, Л и что в начальный момент времени 12 ст' 1 = 0 начало 0' совмещается — э- ХХ' с началом О.
Кроме того, можно считать, что скорость (~ параллельна оси Х. При этих условиях ось Х' все время будет совпадать с осью Х. Такие упроРис. 26, щения в постановке задачи не лишают ее общности, поскольку переход к общим формулам может быть совершен дополнительным переносом начал координат и поворотом координатных осей. Пусть в момент времени 1 движущаяся точка находится в положении М (рис. 26). Тогда ОМ = — 00' + 0'М. За время 1 начало координат системы 5' переходит из положения 0 в положение 0', причем 00' = И. Ввиду этого предыдущее соотношение принимает вид ПРИНПИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ » 161 преобразования координат дополнительную формулу У = 1, чтобы явно отметить„ что в нерелятивистской кинематике время считается абсолютным, а потому не преобразуется.
С точки зрения «здравого смысла» преобразование Галилея кажется самоочевидным. Однако в основе его вывода лежит предположение дорелятивистской кинематики об абсолютности длин и промежутков времени. Абсолютность времени явно Отмечена в уравнении 1 =- У. При выводе остальных формул использовано предположение об абсолютности длин. Действительно, формулы (15.2), (15.3) и (15,4) были бы самоочевидными, если бы радиусы- векторы г и г", а сними и все координаты х, у, г, х', у', г измерялись в одной и той же системе отсчета, например 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
