Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 18
Текст из файла (страница 18)
2. Чтобы от отношения масс перейти к самим массам, надо условиться массу какого-либо определенного тела считать равной единице. Такое тело называется эталоном массы. Тогда массы всех остальных тел определятся однозначно. В частности, все они окажутся положительными, так как знаки всех масс одинаковы, а масса эталонного тела положительна. В физике в качестве основной единицы массы принят килограмм. Килограмм есть масса эталонной гири из сплава иридия с платиной, хранящейся в Севре (Франция) в Международном бюро мер и весов.
Приближенно килограмм равен массе кубического дециметра чистой воды при температуре 4 'С. Тысячная доля килограмма называется граммом. В отличие от длины и времени, для которых установлены естественные единицы, единица массы определена, таким образом, как масса некоторого случайно выбранного тела. И для массы было бы лучше установить естественную единицу. Можно было бы основным эталоном массы считать массу какой-либо элементарной частицы, например, протона. Отметим еще одно существенное обстоятельство, являющееся также результатом Опыта.
Отношение т,]гп1 можно найти не только путем непосредственного сравнения масс рассматриваемых тел, но и следующим косвенным способом. Сначала измеряются отношения масс обоих тел к массе третьего тела, а затем эти отношения делятся одно на другое. Результат не зависит от массы третьего тела и совпадает с отношением т,lтн полученным непосредственным сравнением масс т, и т,. Если соотношение (10.1) поделить на время взаимодействия И, то получится (10.2) т„ам я = — т,а„„ а после перехода к пределу (10.3) т,а, = — т,а,. Этими соотношениями нахождение отношения масс двух тел сводится к сравнению средних или истинных ускорений, развивающихся во время их взаимодействия.
3. Придадим соотношению (10.1) другую форму. Пусть О, и О,— скорости тел до взаимодействия, в! и е1 — после взаимодействия. Тогда Ле, =:= е! — е„йе, = в; — е,. Подставляя эти выражения в (10.1), получим (10.4) т1Ог + тзюз = тго1 + п]еаза. 70 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА «ГЛ. Н Назовем импульсом или количестваи движения материальной точки вектор, равный произведению массы точки на ее скорость: Р =то. (10.5) Импульсом или количеством движения системы материальных точек назовем векторную сумму импульсов отдельных материальных точек, из которых эта система состоит.
Для системы из двух материальных точек Р =- р, + р« = т1«11 + т,о,. Равенству (10.4) можно придать вид Р=Р (10,6) где Р = Р! + Р,, Р' = Р! +Рз — импульсы системы до и после взаимодействия. Таким образом, импульс изолированной системы двух материальных точек сохраняется, т. е. остается постоянным во времени, каково бы ни было взаимодействие между ними. Это положение называется законом сохранения импульса. Оно является результатом опыта и введенного выше определения массы. То обстоятельство, что для величины то имеет место «закон сохраненияь, и делает целесообразным дать этой величине специальное название и ввести для нее особое обозначение.
Таким свойством не обладает, например, величина т'о, а потому она не играет никакой роли в механике. В дальнейшем закон сохранения импульса будет распространен на изолированные системы, состоящие из какого угодно числа материальных точек. 4. Закон сохранения импульса в приведенной выше форме есть закон нерелятивистской механики. Он справедлив только для медленных движений. В релятивистской механике этот закон обобщаегся на случай быстрых движений. Это обобщение будет подробно рассмотрено при изложении теории относительности.
Сейчас же ограничимся предварительным сообщением основного результата. В релятивистской механике импульс частицы также определяется выражением (10.5), однако масса т зависит от скорости согласно формуле "'« т= 'г' 1 — с«гс« Здесь т, — постоянная для данной частицы величина, называемая ее массой покоя. Она совпадает с массой, рассматриваемой в нерелятивистской механике. Величина т, определяемая выражением (10.7), называется массой движения или релятивистской массой. Таким образом, в релятивистской механике закон сохранения импульса изолированной системы, состоящей из двух взаимодействующих частиц с массамп покоя тм и т«м математически формулируется следующим образом: 7) ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА.
СИЛА Для медленных движений, когда оз/сз (~ 1, зависимостью массы от скорости можно пренебречь, полагая т == >пе. Тогда релятивистская механика переходит в нерелятивистскую как в свой предельный приближенный случай. Чтобы составить представление о величине ошибки, которая делается при таком пренебрежении, рассмотрим космический корабль, движущийся со скоростью о = =- 8 км!с. В этом случае ) =,'- — ) -7.10-". Если масса ') с ) = ' 300000 ) космического корабля т = 5 т =- 5 1О' г, то релятивистская »васса >и будет превышать массу покоя всего на т — т, = 3,5 10' г. Прн всех расчетах движений космического корабля такой поправкой не только можно, но и нужно пренебречь, хотя бы потому, что входные данные, необходимые для расчетов, не могут быть измерены с такой высокой точностью.
$11. Второй закон Ньютона. Сила 1. Описание движения в конце концов сводится к нахождению координат материальных точек механической системы как функций времени. Однако таким путем трудно подметить общие закономерности движения. Для этой цели надо обратиться к дифференциальным уравнениям, в которые наряду с координатами и скоростями входят производные импульсов по времени (или, в нерелятивистской механике, ускорения). Если материальная точка не изолирована, то из-за взаимодействия с окружающими телами ее импульс пе сохраняется.
Поэтому естественно за меру интенсивности взаимодействия принять произйр водную импульса по времени -Р =- р. Одним из фундамента ьнь>х й) обобщений классической механики является установление того факта, что производная р определяется положением рассматриваемой материальной точки 'относительно окружающих ее тел, а иногда также и ее скоростью. Она является функцией радиуса- вектора» и скорости я> материальной точки и может зависеть также от координат н скоростей окружающих материальных точек как от параметров.
Обозначим эту функцию» (», я>). Тогда >(> = ». (11.1) Функция координат и скорости материальной точки» (», я>), определяющая производную ее импульса по времени, называется силой е). *) Используя принцип относительности и однородность пространства, можно показать, что сила» зависит не от самих координат и скоростей, а только от раз«остей «оординот и разностей скоростей рассматриваемой материальной точки и точек, с которыми она взаимодействует (см. задачу 3 к 1 33). Однако для ближайших целей вто уточнение нам не понадобится.
72 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА !Гл. н Сила есть веюпор, так как она получается дифференцированием вектора р по скалярному аргументу 7. Итак, проижодная импульса материальной то«ки по времени равна действуюигей на нее силе. Это положение называется впюрым законом Ньютона. Уравнение (1!.1), выражающее этот закон, называется уравнением движения материальной точки. Для движений с нерелятивистскими скоростями зависимостью массы от скорости можно пренебречь и записать второй закон Ньютона в виде те=Р, (11.2) или тр= Р.
(11.3) Масса, умноженная на ускорение, равна действующей силе. Фактическое содержание второго закона Ньютона, подчеркнем это еще раз, состоит в том, что сила Р зависит только от координат и скорости материальной точки. А второй закон Ньютона и уравнение движения (1!.1) получают конкретное содержание только после того, как определена функция Р (т, «г). К установлению вида таких функций в каждом конкретном случае и сводится основная задача физической механики.
2. Приведем простейшие примеры на нахождение уравнений движения. Они являются в то же время примерами, подтверждающими второй закон Ньютона. Подвесим тело на спиральной пружине (рис. 21). Когда система успокоится, немного оттянем тело вниз из положения равновесия, а затем отпустим. Возникнут ркс 21 колебания вверх и вниз. При подходящих параметрах системы они будут затухать слабо.
Тело успеет совершить несколько десятков колебаний, прежде чем колебания заметно затухнут. Мгновенное положение тела можно характеризовать одной координатой х — смещением тела из положения равновесия. Для определения функции х = х (Г) можно через малые промежутки времени фотографировать тело на кинопленку, а затем обработать фотографию и построить график х = х (!). Можно поступить и как-нибудь иначе. Для слабо затухающих колебаний график почти не отличается от синусоиды (рис.
22) и представляется уравнением х=А соз —, (11. 4) где А и Т вЂ” постоянные, называемые амплитудой и периодом колебаний. Дважды дифференцируя это выражение, находим скорость и ускорение: 2лА . 2лг .. !'2л гь 2л! х = — — з)п- — х= — г- -7! Асоз —. Т Т' ~!Т) Т' 73 ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СИЛА $111 Сравнивая последнее выражение с (11.4), получаем Я = — ('-7-7х, или после умножения на массу тела тх = — Фх, (1 1.5) где введено обозначение ~ ='(т) т. Сравнивая (11.5) с (11.3), находим силу Р = — йх. (11.б) (1 1.7) Мы видим, что величина Р зависит только от удлинения пружины х — единственного переменного параметра, определяющего аг Рис. 22.
положение внешних тел, оказывающих действие на рассматриваемое тело. Если к пружине подвесить тело другой массы, то изменится и период колебаний Т. Однако опыт показывает, что отношение —;, а с ним и коэффициент й остаются без изменения. Значит, сила Р определяется только растяжением пружины и совершенно не зависит от того, каким телом это растяжение вызвано. Эти Опытные факты могут служить подтверждением второго закона Ньютона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
