Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Приведенные примеры показывают, что определение вектора нуждается в утсчненни. Необходимость этого диктуется также следующими соображениями. Не всегда очевидно, какое направление следует приписать той или иной физической величине. Например, в случае геометрического отрезка АВ не возникает вопроса, *) Если бы все скорости измерялись в одной и той же «неподвижной» системе отсчета 5», то правило параллелограмма сохраняло бы силу и в релятивистской кинема«ике. Однако при этом изменился бы смысл скорости оь Под о, следовало бы понимать скорость точки относительно движущейся системы отсчета 5ь измеренную в «ненсдаимнод«» си«те,ке 5«, При сложении же скоростей в том смысле, в каком оно понимается в тексте, о„есть скорость точки относительно движущейся системы 5Н «юмеренная в той же системе. д это существенно иная величина.

Только в предельном случае беснонечно медленных днижений обе скорости совпадают. При изложении теории относительности затронутые вопросы будут разобраны подробно. 50 кинвмхтикА что следует считать его направлением. За таковое можно принять либо направление от точки А к точке В, либо противоположное направление — от точки В к точке А.

Не возникает вопроса, что следует считать направлением смещения, скорости или ускорения точки, а также направлением силы, иа нее действующей. Однако не очевидно, чтб следует считать за направление угловой скорости или геометрической поверхности, в особенности когда последняя изогнута. Наконец, точное определение вектора необходимо дать для того, чтобы обобщить это понятие на случай л[ногомернык пространств. Чтобы прийти к такому определению, рассмотрим сначала простейший вектор, а именно геометрический прямолинейный отрезок, на котором установлено определенное направление.

Такой направленный отрезок будем изображать стрелкой а. Возьмем какую-либо произвольную прямоугольную или косоугольную систему координат и спроектируем отрезок а на координатные оси Х, У, Л. Проектирование будем производить плоскостями, параллельнымм координатным плоскостям. Например, чтобы получить проекцию на ось Х, надо через концы отрезка а провести плоскости, параллельные координатной плоскости УЛ.

Эти плоскости и отсекут на оси Х отрезок а,, являющийся проекцией отрезка а на рассматриваемую ось. Лналогнчно получаются остальные две проекции а, и а„Обычно рассматривают прях[оугольные координатные системы. Тогда а„а,, а, будут прямоугольными или ортогональными проекци ми отрезка а. Если проекции а,, а „а, известны в какой- либо системе координат 5, то можно найти их и в любой другой координатной системе 5', оси которой произвольным образом повернуты относительно системы 5 Лля этого по проекциям а„а„а, в системе 5 надо восстановить отрезок а, как диагональ параллелепипеда, построенного на отрезках а„, а,, а...

Затем следуетспроектнровать этот отрезок на оси Х', У', 2' новой системы координат 5'. Получится тройка чисел а,, а„, а,, которые и являются проекциями отрезка а в новой системе координат. Теперь мы даем следующее определение вектора.

Вектором а называется упорядоченная тройка чисел а,, а,, а„., заданная в каждой системе координат. (Упорядочение состоит в том, что первое число а,. приводится в соответствие оси Х, второе а — оси у', третье а, — оси Л.) Эти числа называются проекциями вектора а на соответствующие координатные оси. Их называют также составляющими или колтонентами вектора. При переносе начали и поваров!в координатных осей состивля[ощие а,, а,„а, преобразуются по правилу преобразования проекций геомеп[рич[еских отрезков. Короче, вектором называется упорядоченная тройка чисел, заданная в каждой системе координат, которые при переносе начала и повороте координатных осей преобразуются как разности координат концов направленного геометрического отрезка.

О ВЕКТОРАХ И СЛОЖЕНИИ ДВИЖЕНИЙ Отложив эти числа вдоль координатных осей Х, )', Я, мыотсечем на них три отрезка. Если на таких трех отрезках как на ребрах построить параллелепипед, то его диагональ можно рассматривать как направленный отрезок, служащий наглядным изображением вектора. Этот отрезок получится одним и тем же, какую бы систему координат мы ни использовали при его построении.

В этомпроявляется инвариантный характер вектора, т. е. независимость его от системы координат, использованной для его представления. Компоненты вектора а„а„, а, в разных системах координат разные, но самый вектор а один й тот же, Векторное равенство а = И, записанное в координатной форме, равносильно трем равенствам а; = = Ь; (> =- х, у, г). При переходе к другой (штрихованной) системе координат обе части этих равенств преобразуются одинаково. Поэтому в новой системе координат они сохраняют прежний вид, т.

е. а> =Ь, (У =- х', у', г'). Уравнения, обе части которых при переходе к другой системе координат преобразуются одинаково и благодаря этому сохраняют свой вид во всех координатных системах, называются ковариантными или инвариантными по отношению к рассматриваемому преобразованию координатных систем, Мы видим, что векторное уравнение а = Ь инвариантно по отношению к переносу начала и повороту координатных осей.

Ввиду втой инвариантности уравнения, выражаюи1ие физические законы в векторной форме, не зависят от выбора осей координат. С помощью векторов физические законы формулируются в простой и обозримой форме, которая не сохраняется, если выразить их через проекции векторов в какой-либо системе координат. Заметим, что координатные оси Х, )',с не обязательно должны поворачиваться вместе подобно повороту твердого тела.

Определение предусматривает и такие случаи, когда оси Х, 1', 2 поворачиваются независимо. Путем поворотов такого типа может быть совершен переход от любой прямолинейной системы координат к другой прямолинейной системе — правой или левой, оси которой Ориентированы совершенно произвольно.

В частности, такими поворотами может бьггь осуществлена инверсия осей, т. е. одновременное изменение на противоположные положительных направлений всех трех осей. Если обе координатные системы прямоугольные, то формулы преобразования проекций вектора имеют следующий вид: а„= а, „а„+а;„а„+а;,а„ а„= ам„а, + о.„„а„+ а„,а„ (7.1) а, =а,„а„+а,„а„+а,,а„ где а,. „, а, „, ... — косинусы углов между соответствующими координатными осями обеих систем координат. Например, а„, означает косинус угла между положительными направлениями осей у' и г.

кннеылтикА 4. Аналогично, скалярам или инвариантом называется число, заданное в каждой системе координат, причем при переносе начала и повороте координатных осей это число остается неизменным. Таким образом, как и определение вектора, это определение предусматривает только перенос начала и поворот координатных осей.

Оно предполагает, что обе координатные системы должны оставаться неподвижными одна относительно другой. Примерамн скаляров являются время, масса, электрический заряд и пр. Абсцисса х неподвижной точки не является скаляром, так как ее численное значение в разных системах координат разное. Скаляры можно образовывать из векторов. Например, скаляром является длина вексиора или ее квадрат, который в прямоугольной системе координат представляется выражением а,'-' + а„' + а,".

Скаляром является скалярное произведение двух векторов а и Ь, т, е, величина (аЬ) =- аЬ сох Ф, где б — угол между этими векторами. В прямоугольной системе координат, как известно, скалярное произведение представляется выражением (аЬ) = а„Ь, + а,„Ь, + а,Ь, (см. задачи 1 и 3 к этому параграфу). 5. На основании изложенного ясно, что для доказательства векторного характера той или иной направленной физической величины надо только установить, как определяются ее составляющие вдоль координатных осей н как они преобразуются при переходе от одной координатной системы к любой другой, оси которой повернуты относительно осей первоначальной системы.

При этом имеются в виду координатные системы, неподвижные одна относительно другой. Например, двум векторам а и Ь с составляющими а„, а„, а, и Ь, Ь„, Ь„. можно сопоставить в каждой системе координат упорядоченную тройку чисел с„= а, -',— Ь„, с, = а, + Ь,, с,=а,+Ь,. Легко видеть, что такая тройка чиселобразует вектор, так как эти числа подчиняются тем же правилам преобразования, что и составляющие векторов а и Ь. Вектор с (с„с,„с,) называется суммой векторов а и Ь.

Легко доказать, что он может быть получен из векторов а и Ь геометрическим построением по правилу параллелограмма. Аналогично определяется и вычитание векторов. Разность двух векторов а и Ь есть вектор Ф, определяемый упорядоченной тройкой чисел й„= а, -- Ь,, й, = — а — Ь,„й, =- а, — Ь.. Для его построения надо изменить на противоположйое направление вектора Ь (получаемый таким путем вектор обозначают — Ь), а затем на векторах а и — Ь построить параллелограмм. В таком смысле сложение и вычитание векторов вводится путем математического определения. Над векторами можно производить и другие операции, вводимые таким же путем, например умножение вектора на скаляр или скалярное и векторное перемножение двух векторов.

Характеристики

Список файлов книги