Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 11
Текст из файла (страница 11)
13. Рнс. 12. 4. Определить скорость, с которой движется тень Луны по земной поверхности во время полного солнечного затмения. Р е ш е н и е. Лля простоты примем, что затмение наблюдается на экваторе и что земная ось перпендикулярна к плоскостям солнечной и лунной орбит. Скорость света будем считать бесконечно большой по сравнению со всеми остальными скоростями, входя~ними в задачу. Пусть в рассматриваемый момент времени прямая Солнце — Луна перпендикулярна к земной поверхности в то жс наблюдения А !рис.
13). Поверхность Земли в окрестности той же точки можно считать плос. кой. Прн решении выберем сначала систему отсчета, в которой Земля покоится. Пусть ы и мл — угловые скорости врашеаия Солнца и Луны вокруг центра Земли, !сс и Я л — расстояния их от того же центра, г„' — радиус Земли. За секунду Солнце и Луна переместятся с востока на запад на оасстояния СС' = мсй'с и ЛЛ' = ыл!1л.
Соединив новые положения Солнца и Луны прямой линией, найдем, что за секунду граница лунной тени переместнтсч по земной поверхности с запада ва восток на расстояние о =- АА', Зто расстояние и есть скорость движения тени Луны, Из рнс. !3 видно, что О Х Х мсяс ПС %с так как расстояние до Луны пренебрежимо мало по сравнению с расстоянием до Солнца, и можно принять ОС = Ис. Таким образом, о = шсх.
Для нахождения (гл. ! КИНЕМАТИКА х составляем пропорцию юс)7 СС' ОС ыл)7л 77' О 7' Полагая в ней ОС = )7с, Од = )7л — х — г, получим уравнение для нахождения х. Оно дает юс х= ))л — г. юс Следовательно, скорость движения лунной тени с запада на восток будет ысх (ыс л) )'л с ' 2п 2я Здесь ю = —, юс — ыл — — —,где Т,, =- 86400с — продолжительность 7 стт 7 мес солнечных суток, а Тм„=- 29,6 Т,е, — продолжительность месяца.
Используя зти соотношения и подставляя численные значения )7л = 3,8 10' км, г = 6400 км, получим 2п)7л 2пг о= — — — -м0,47 км!с. 7мес Тсут (4.17) $5. Границы применимости классического способа описания движения В классической механике состояние движения часгпиг(ы в любой момент времени хариктеризуется положением (координатой х при одномерном движении) и скоростью ее. Вместо скорости можно пользоваться также импульсом, т. е. величиной р = ттт, равной произведению массы частицы т на ее скорость м). Образом частицы является геометрическая точка, описывающая с течением времени непрерывную траекторию. В квантовой механике показано, что такой способ описания движения имеет принципиальные границы применимости.
Здесь преждевременно вдаваться в подробное обсуждение этого вопроса. Достаточно ограничиться пред- *) Ыы предполагаем здесь, чю читатель знаком с понятием массы. Понятие массы и импульса вводятся и подробно обсуждаются в й!О. Смысл последней формулы легко уяснить, перейдя в систему отсчета, в кото. рой Солнце покоится, Считая Солнце бесконечно удаленным, можно отвлечься от движения центра Земли, приняв во внимание лищь вращение Земли вокруг своей оси, а также движение Луны по ес орбите вокруг Земли. Луна движется 2п)77! по орбиге с запаха на восток со скооостью ол — —, . Еслибы Земля не враща- 7 мес ласем то с той же скоростью и в том же направлении по ее поверхносеи бежала бы и лунная тень.
Но из.за вращения Земли зкнаюриальные точки последней 2пг движутся с запада на восток со скоростью о = —, для нахождения скорости 7сут лунной тени зту величину надо вьжесть из ол, что и сделано в формуле (4.17). 4 51 КЛАССИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ 43 варительным сообщением основного результата, не касаясь его обоснования.
Согласно квантовой механике состояние частицы в каждый момент времени нельзя характеризовать точными значениями ее координаты и импульса в этот момент времени. Если в каком-либо состоянии координата известна с неопределенностью бх, а импульс— с неопределенностью бр, то обе эти величины одновременно немогут быть сделаны сколь угодно малыми.
Они связаны соотношением бх бр)й, (5. 1) где б — универсальная постоянная, называемая постоянной Планка (1858 — 1947). Она играет основную роль во всех квантовых явлениях. Ее численное значение равно й = 6,63 1О " эрг с. (5.2) Соотношение (5.1) называется принципом неопределенностей Гайзенберга (р. !901). Оио определяет принципиальный предел точности одновременного измерения координаты и импульса частицы, который не может быть превзойден никаким усовершенствованием приборов и методов измерения.
Дело здесь не в ошибках измерений. Такова уж природа реальных частиц, что мгновенные состояния нх движения не могут быть охарактеризованы классически — точными значениями координат и импульсов. Частицы ведут себя более сложно, чем материальные .точки классической механики. Классическая картина движения по непрерывным траекториям лишь приближенно соответствует законам природы. Границы ее применимости определяются соотношением неопределенностей (5.1). Из него следует, что мгновенное состояние движения частицы нельзя также характеризовать абсолютно точными значениями координаты и скорости.
Неопределенности этих величин должны удовлетворять условию бх тбо) б. Для макроскопическнх тел практическая применимость классического способа описания движения не вызывает сомнений. Допустим, например, что речь идет о движении шарика с массой т = 1 г. Обычно положение шарика практически может быть определено с точностью до десятой или сотой доли миллиметра, Во всяком случае вряд'ли имеет смысл говорить об ошибке в определении положения шарика, меньшей размеров атома.
Положим поэтому бх =- 10 ' см. Тогда из соотношения неопределенностей (5.1) найдем 6,63. 16 е" бо) ', 10" см/с. Одновременная малость величин бх и бо н является доказательством практической применимости класснческого способа описа- 44 кинел!Лтикл ния движения для макроскопических тел. Не так обстоит дело, когда речь идет об атомных явлениях — явлениях, происходящих с частицами очень малой массы в очень малых объемах пространства.
Рассмотрим, например, движение электрона в атоме водорода. Масса электрона и = 9,1! 10" г. Ошибка в положении электрона бх во всяком случае не должна превышать размеры атома, т. е, должно быть бх (!О' см. Но тогда из соотношения неопределенностей получаем Ь 663 1О" бо) мх« —— 611 Ю-«Ю-< 7 10' см/с. Эта величина не меньше, а даже больше самой скорости электрона в атоме, которая по порядку велнчииы раина 10' см!с. При таком положении классическая картина движения теряет всякий смысл.
й 6. 0 смысле производной и интеграла в приложениях к физическим вопросам !. Процесс предельного перехода (3.4), с помощью которого определяется производная, называется дифференцированием. Понятие производной широко используется в механике и во всех других разделах физики. Именно задача об определении скорости произвольного движения привела к этому понятию Ньютона, который, наряду с Лейбницем (1646 — 1716), является основоположником ах дифференциального и интегрального исчислений. Обозначение —— ах для производной принадлежит Лейбницу.
На символ -- в матемаа1 тике следует смотреть как иа единое целое, а не как иа отношение двух <бесконечно малых» приращений дх и а1. Смысл производной ах х =- — точно определен соотношением (3.4). Сначала надо образолу ах вать отношение конечных приращений —, предполагая, что 61 ие равно нулю. Затем путем преобразований этого отношения или каким-либо иным способом следует совершить переход к пределу. Но ни в коем случае нельзя представлять себе, что сначала совершен какой-то предельный переход от бх и б! к «бесконечно малым» величинам дх и Ш, называемым дифференциалами функции х и ах аргумента 0 а затем взято отношение этих дифференциалов — „.
Такой взгляд на производную существовал в начальной стадии развития дифференциального исчисления. Однако ои не совместим с требованием математической ясности понятий, да и вообще лишен смысла. Правда, можно так определить дифференциалы дх и д1, что их отношение сделается равным производной х. В математике дифференциал Ж определяется как произвольное приращение 45 О СМЫСЛЕ ПРОИЗВОДНОГ! И ИНТЕГРАЛА 4 б] аргумента 1, а дифференциал функции Г1х — с помощью соотношения йх == ход Но теперь в утверждении, что производная есть отношение двух конечных величин Г1х и б11, нет ничего удивительного, это — простая тавтология, иной способ выражения. Первичным, по-прежнему, является понятие производной, а не дифференциала. Однако в приложениях математики к физике надо считаться с тем, что физические величины получаются в конце концов в результате конкретных измерений, а все измерения сопровождаются ошибками и вносят искажения в естественный ход явлений.
Зто обстоятельство, строго говоря, делает невозможным предельный переход М вЂ” ~ О, Лх- О, вводимый в математике при определении производной. Допустим, например, что измеряется скорость дви. жущейся пули в воздухе. Задача сводится к измерению расстояния Лх и промежутка времени М, за который пуля проходит это расстояние. Если время М взять очень большим, то за это время скорость пули может заметно уменьшиться из-за сопротивления возЬх духа.
Отношение - — в этом случае может оказаться заметно меньше скорости пули в рассматриваемый момент времени. Уменьшая время М, мы заметим, что, начиная с определенного момента, Лх отношение в пределах доступной точности измерения перестает изменяться, если отвлечься от случайных ошибок, сопровождающих каждое измерение. Дальнейшее уменьшение М бессмысленно. Оно может только ухудшить дело, так как при дальнейшем уменьях шенин М отношение — начинает изменяться снова и притом все ЛГ более и более нерегулярно. Оно принимает различные значения от очень больших до очень малых. Зто обусловлено тем, что относительная точность любого измерения тем меньше, чем меньше измеряемая величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
