Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 9
Текст из файла (страница 9)
цией времени: о =- о ((). Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки. Ускорение мы обозначаем через а. Таким образом, по определению ускорения а=- — =- б((), (3.6) 32 КИНЕМАТИКА (ГЛ. 1 Производная (3.6) называется также второй гтроизаодной координаты х по времени и обозначается символами дсх а=х=„а = йтс' ' В существовании первой и второй производных координаты по времени в механике, как и во всех аналогичных вопросах физики, мы убеждаемся не путем логических рассуждений, а опытным путем.
2. Рассмотрим простейшие примеры. П р и м е р !. х =соня, т. е координата х остается постоянной ао времени. В этом случае материальная точка неподвижна, приращение координаты Лх равно нулю. Равны нулю также средняя и истинная скорости точки: о =- 2 .= О. Вообще, производная всякой постоянной величины равна нулю.
П р и м е р 2. х = В)+ С, где В и С вЂ” постоянные коэффициенты. В этом случае говорят, что координата х является линейной функцией времени !. Очевидно, х+лх=В (!+лг)+с — — (В(+с)+В лг, ах=В лб о,р — — — — — — и. ср=Л! = Средняя скорость постоянна и равна В. Поэтому истинная скорость также постоянна и равна средней скорости: дх — ! ср — В. др !снижение с постоянной скоростью называется раваолмрныл. Обозначим посредством хс значение координаты х в начальный момент времени г =- О. Величина х, называется начальной координатой и, очевидно, равна х„= — С.
Пройденный путь з оцРеделаетса пРиРащением кооРдинаты; з = — х — хс — — — ВД или з=ок П р и не р 3. х= АВ+ В(+ С, где А, В и С вЂ” постоянные коэффи- циенты, В этом случае говорят, что координата х является квадратичной функцией времени г. Очевидно, х+Лх= А (!+Л!)с+В ((+Л!)+С=(АП+В(+С)+(2А(+В) Л)+ А(ЛГ)с, оср= — — =(2А(+В)+А ЛЛ Лс Здесь о,р зависит не только от й но и от ЛЛ В пределе, когда Л! -ь О, член А Л! обращается в нуль, и мы получаем следующее выражение для истинной скорости: о=2А(+В.
Истинная скорость является лннейной функцией времени С а лотову, дифференцируя ее, гсолучаем постоянное значение для ускорения: йо а =--=2А. д! с(вижение с постоянным ускорением называется рааноускоренныл. Постоянная А равна яоловинс ускорения: А == а/2. Выясним теперь физический смысл постоянных В и С. При à — "- О наши формулы дают с =- В. Скорость в момент времени )=- О называется начальной скоростью и обозначается посредством о„. Мы видим, что постоянная В равна начальной скорости: В=ос.
Аналогично доказывается, что постоянная Сесть начальная координата движущейся точки; С= ха, С введением $41 скОРОсть и ускОРЕние пРи кРиВОлинейнОм дВижении ЗЗ этих величин можно написать 1 х= — ан+оеГ+хе, о=-аГ+ое 2 Пройденный пугь равен э = х — х„т, е. 1 5.= —, он+век 2 Примерами равноускоренного двигкеиия могут служить свободное падение тел н скатывание тела по наклонной плоскости беэ трения. 3. По аналогии с линейной скоростью и ускорением вводятся угловая скорость и угловое ускорение. Зти понятия относятся к случаю движения материальной точки по окружности.
Положение точки М на окружности можно задать углом а, который образует радиус-вектор ОМ с каким-либо неизменным направлением ОХ (рис. 6). Производная этого угла по времени вх ьэ = —. называется угловой скоростью. Вращение называется равномерным, если утловая скорость го постоянна, В этом случае а = =- гог + сопзй При равномерном вращении величину оэ называют также угловой частовий вращения.
Величина у =- втг'(2я) рнс, б. дает число оборотов в единицу времени и называется частотой обращения. Величина Т = Пм есть продолжительность одного обращения и называется периодом вращения. Первая производная угловой скорости оэ или вторая производная угла и по времени называется угловым ускорением: иго Вва йэ =— аг вн' Если в означает длину дуги окружности ХМ, то ее производ- Вэ Вэа пые и= „- и а = „--:;даютлинейнуюскоростьилинейноеускорение при движении точки по окружности. Если г — радиус окружности, то з = гсь. Дифференцируя это соотношение по времени, находим 0 = гог, а = бт/'. $4.
Скорость и ускорение при криволинейном движении 1. Понятия скорости н ускорения естественным образом обобщаются на случай движения материальной точки по криволинейной траектории. Положение движущейся точки на траектории мы будем задавать радиусом-вектором к, проведенным в эту точку из КИНЕМАТИКА [ГЛ. 1 какой-либо неподвижной точки О, условно принимаемой за начало координат (рис.
7). Пусть в момент времени ! материальная точка находится в положении М с радиусом-вектором г == г (!). Спустя короткое время д[, она переместится в положение М, с радиусом- вектором г, = г (! + Л!). Радиус-вектор материальной точки получит приращение, определяемое геометрической разностью Ьг = = г, — г.
Величина д>' г (1+ д!) — >' ГО ср д! д> (4.1) называется средней скоростью движения за время Д! или, точнее, за время между > и ! + Д>. Она является величиной векторной, так как получается делением вектора дг на скаляр дй Направление средней скорости е,р совпадает с направлением хорды ММ„т. е. с Ьг. Предел средней скорости при дг -~ О, т. е. производная радиуса-вектора гпо вре- мени е=г= — = 1!гп -- (4.2) А> О Д! Рис. 7 а=о(7) = — „; = Вп! —, ав .
др (4.3) а=г'(1) =-,— „.. с[>с (4.4) 2. Отметим следующую формальную аналогию между скоростью н ускорением. Из произвольной неподвижной точки О, будем откладывать вектор скорости е движущейся точки во всевозможные моменты времени (рис. 8). Конец вектора е назовем скоростной точкой. Геометрическое место скоростных точек есть кривая, называемая содосра4юм скорости. Когда материальная точка описывает траекторию„соответствующая ей скоростная точка движется по называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки. Истинная скорость есть вектор, направленный по касательной к траектории движущейся точки.
Совершенно аналогично определяется ускорение при криволинейном движении. Ускорением а называется веюпор, равный первой >гроизводной ветпора скорости е или второй производной радиуса-вектора г по времени: Ч М СКОРОСТЬ И УСКОРеНИе ПРИ КРИВОлИНеЙНОм дВИЖеНии 38 годографу. Рис. 8 отличается от рис. 7 только обозначениями. Радиус-вектор тзаменен на вектор скорости 25, материальная точка— на скоростную точку, траектория — на годограф. Математические операции над вектором и при нахождении скоростн и над вектором е5 при нахождении ускорения совершенно тождественны. Для математики безразлично, какой физический смысл имеют величины, над которыми выполняются математические операции.
Не имеет значения также, какими символами эти величины обозначены. Для нахождения А скорости т) надо дифференцировать ран диус-вектор г; для нахождения ускоре- ар ння надо дифференцировать вектор скорости Е5. Скорость е5 направлена по 5 касательной к траектории. Поэтому ускорение а будет направлено по касательной к годографу скоросгпи. Можно сказать, что ускорение есть скорость дви- а, женил скоростной точки по годографу. Следовательно, все соотношения и теоремы, полученные для скорости, остаются справедливыми и для ускорения, если в них произвести замену величин и терминов согласно следующей таблш)ег Рис. 8 точка — Скоростная точка — Вектор скорости — Годограф — Ускорение Материальная Радиус-вектор Траектория Скорость 3. В качестве простейшего примера найдем ускорение точки, равномерно вращающейся по окружности радиуса г (рнс.
9, а). Скорость е) направлена по касательной к окружности, ее величина определяется выражением 2пг о=гег=- Т (4.5) Годографом будет окружность радиуса о (рис. 9, б). Когда материальная точка М нращается по окружности радиуса г, соответствующая ей скоростная точка А вращается в том же направле" нии по окружности радиуса о, описывая эту окружность за то же время Т.
Положениям материальной точки на траектории М„ Ма, М,, М, соответствуют на годографе положения скоростной точки А„А„Аа, А,. Ускорение а направлено по касательной к окружности — годографу и притом, как видно из рисунка, к центру О траектории вращающейся точки М. По аналогии с формулой (4.5) для величины ускорения можно написать а=ыо= — ' 2по оа Т г' (4.6) КИНЕМАТИКА !ГЛ. ! где л — единичный вектор нормали к круговой траектории движущейся точки, направленный к центру О (см.
рис. 9, а). ' ~7 77 47 »7 77» а) б)' Рис. 9. Имея в виду дальнейшие обобщения, представим вектор скорости в виде 77 =- оэ, где а — единичный вектор касательной к окружности. Первый множитель и дает численную величину скорости, второй множитель э указывает ее направление. При равномерном вращении абсолютное значение скорости о остаегся неизменным, меняется только направление скорости, т. е. единичный вектор э. Дифференцированию подлежит только этот вектор, а по- 774 тому ак о „--. Сравнивая это выражение с (4.8), получим !77» -- =--и. 717 Обозначим 7(з длину пути, проходимого материальной точкой за время 7(1 прп ее вращении по окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
