Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Эта положительная величина равна 7Ь =- пй. Поэтому предыдущую формулу можно пере7щсать в виде нз 1 77. 7~7 У (4.! О) Это — известная формула для центростремительного ускорения. Ее можно записать в векторной форме а = — 7а»г. (4.7) Знак минус указывает на то, что направления векторов а и 7 взаимно противоположны, т. е. ускорение а направлено к центру круговой траектории, по которой вращается материальная точка. Можно также написать для любого положения движущейся точки (4.8) 5 4] СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ 37 В этом виде формула не содержит никаких кинематических величин.
В нее входят только геометрические величины, характеризующие окружность. Поэтому она может быть получеа нчисто геометрически без привлечения кинематических понятий. Она определяет производную единичного вектора касательной з по длине дуги а5 ! окружности. Взаимная перпендикуляриость векторов в и — (или а5 (, 4]5 ) 4и] — ~] объясняется тем, что длина вектора в постоянна, меняется только направление этого вектора.
Треугольник, составленный из векторов в, в+ Лв н Лв (рис. !О), — равнобедренный. При стремлении элемента дуги Лв к нулю стремится к нулю угол а при его вершине. Л5 Поэтому направление вектора ; в пределе оказывается перпендикулярным к вектору в. Отмеченное свойство, разумеется, не является специфическим свойством единичного вектора в. Производная любого вектора А постоянной длины по любому в 5+йв скалярному аргументу есть вектор, перпендикулярныи к вектору А. 4. Формула (4.10) допускает обобщение иа а случай произвольной гладкой кривой.
Обозначим по-прежнему посредством в единичный вектор касательной к кривой, а посредством йз — длину 4]5 Рис. ]О. элемента дуги этой кривой. Производная — есть 4]5 вектор, направленный нормально к кривой в сторону ее вогнутости. Эту производную можно поэтому представить в виде (4.10), рассматривая величину 1!г как коэффициент пропорциональности между 4]5 векторами-- и и. Фактическое содержание этой формулы сводится а5 4]5 к тому, что производная — „', есть вектор, нормальный к кривой. В остальном на иее надо смотреть как на определение двух новых понятий: величины 1!г и единичного Вектора 75.
Величина 1!г называется кривизной кривой, г — радиусом кривизны, а 75 — единичным вектором главной нормали к кривой. При этом кривизна 1-7г считается существенно положительной, а потому единичный вектор 75 всегда направлен в сторону вогиутости кривой. Оправданием такой терл]инологии служит интуитивное представление, что при рассмотрении кривизны малый элемент кривой приближенно можно рассматривать как дугу окружности. Это приближение тем точнее, чем меньше длина дуги Лв. В случае окружности кривизна 1]г постоянна на протяжении всей кривой.
В общем случае произвольной гладкой кривой кривизна непрерывно меняется от точки к точке. Непрерывно меняется и направление единичного вектора главной нормали 75. Кинематическая формула (4.9) также справедлива для 38 !гл, 1 КИНЕМАТИКА или ввиду формулы (4.9) ~Ь Ф а = — в+ — и. ги г (4.! 1) движения вдоль произвольной кривой и притом независимо от того, постоянна величина о нли меняется с течением времени. Действительно, формула (4.10) получается из формулы (4.9) с помощью соотношения сэ = ой. Все геометрические кривые разделяются на плоские и кривые двоякой кривизны.
Плоской кривой называется кривая, все точки которой лежат в одной плоскости. Примерами плоских кривых являются окружность, эллипс, гипербола, парабола, синусоида и пр. Кривыми двоякой кривизны называются такие кривые, которые не могут быть уложены в одной плоскости. Примером подобной кривой может служить винтовая линия — спираль. Плоскость, в которой лежат касательная и главная нормаль к кривой, называется соприкасающейся плоскоппью. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит кривая.
К понятшо соприкасающейся плоскости приводит следующее интуитивное представление. Произвольную конечную дугу кривой двоякой кривизны, разумеется, нельзя уложить в плоскость. Но чем меньше дуга кривой, тем точнее она приближается к элементу плоской кривой, тем с меньшей ошибкой ее можно уложить а плоскости. Такая плоскость приближенно и воспроизводит соприкасающуюся плоскость. Это интуитивное представление можно превратить в точное определение с помощью предельного перехода.
Пусть М (см. рис, 7) — произвольная точка на кривой. Проведем в ней касательную МС и хорду ММ,. Этими двумя прямыми, вообще говоря, определится некоторая плоскость СММ,. Будем неограниченно приближать точку М, к точке М. Тогда указанная плоскость, восбще говоря, будет стремиться к некоторому определенному предельному положеншо. Это предельное положение и называется соприкасающейся плоскостью. Перпендикуляр к соприкасающейся плоскости в точке М называется бинормалью к кривой.
5. При равномерном вращении точки по окружности ускорение направлено к ее центру, т. е. перпендикулярно к траектории. Ускорение перпендикулярно к траектории и при движении по любой кривой, если только скорость движущейся точки не меняется по величине. Не так будет, когда меняется также и величина скорости.
Чтобы разобрать этот вопрос, представим вектор скорости в виде тг = ов. Применяя к этому выражению правило дифференцирования произведения, получим И гг'о аз а=- — (ов) = — в+о —, Й аг ги' $4! СКОРОСТЬ Т! УСКОРЕНИЕ ПРИ КРИВОЛИНЕПНОМ ДВИЖЕНИИ 39 Отсюда следует, что вектор ускорения а лежит в плоскости векторов в и и, т. е.
в соприкасающейся плоскости; вектор а нг имеет составляющей по бинормали к траектории. В общем случае ускорение а направлено под углом к траектории. Первое слагаемое в формуле (4.11) (4.12) есть вектор, направленный по касательной к траектории. Этот вектор называется касательным нли танггнциальным ускорением. Второе слагаемое (4.13) есть вектор, направленный вдоль главной нормали в сторону вогнутостн траектории. Он называется нормальным ускорением. Такия4 образом, в общем случае ускорение а можно представить в виде геометрической суммы тангенциального и нормального ус- М Р ~ "4 корений: а=а,+а„. (4.!4) Тан генц и ильнов ускорение меняет скорость только по величине, нормальное ускорение меняет ее только по направлению. Рис. !1 поясняет разложение полного ускорения на тангенциальное и нормальное. Пусть и — скорость материальной точки в момент времени 1, когда она находилась в положении М.
Обозначим посредством Е4! =- и + ЛЕ4 скорость той же точки в момент ! + Ы, когда она переместилась в положение М, (не обозначенное на рисунке). Отложим оба вектора е и и! из одной и той же точки М и разложим приращение Лп скорости на две составляющие: составляющую ЛЕ4! вдоль вектора т4 и составляющую Лп„, перпендикулярную к этому вектору.
При уменьшении Л4 оба отношения Ло, ЛР„ — и —" будут стремиться к определенным пределам. Первый п4 а! из них есть тангенциальное, а второй — нормальное ускорения. Прн вычислении скорости точки бесконечно малую дугу траектории можно аппроксимировать бесконечно коротким прямолинейным отрезком, направление которого совпадает с направлением касательной к траектории, При определении ускорения такая аппроксимация уже не годится.
Однако, как видно из рассуждений настоящего параграфа, при вычислении ускорения бесконечно малую дугу траектории можно аппроксимировать дугой окружности, плоскость которой совпадает с соприкасающейся плоскостью, 40 КИНЕМАТИКА [Гл, ! а радиус равен радиусу кривизны траектории в рассматриваемой точке. Но и такая аппроксимация оказалась бы недостаточной, если бы потребовалось вычислить производные радиуса-вектора более высокого порядка: г', ! и т.
д. ЗАДАЧИ 1. Шарик, ноторому сообщена горизонтальная скорость о, падает на горизонтальную плиту с высоты Гь Прн каждом ударе о плиту теряется часть скорости (отношение вертикальной составляющей скорости после удара к ее значевию до удара постоянно н равно а), Определить, на каком расстоянии х от места бросания отскоки шарика прекратятся. Считать, что трение отсутствует, так что горизовтальная составляющая скорости шарика о не меняется. » / 2Л 1+а Ответ. »=оба~ У 21 — ' 2. Точка движется в плоскости, причем ее прямоугольные координаты определяются уравнениями »=Асс»а(, у=В »1па!, (4.
15) где А, В, а — постоянные. По какой траектории движется точка? Вычислить ее ускорение. Р с ш е н н е. Исключая время ! нз уравнений (4.15), находим Точка движется по эллипсу. Ее радиус-вектор г = х!+ у1, а ускорение а = = х)+ у!. Дифференцирование дает х =- — аА яп аб х = — а'А соз а! = — а»», у=аВ сов а!, у= — ийВ яп а!=- — ату.
Следовательно, а = — а» (х!+ у/) = — а»г. (4. 16) Ускорение направлено к центру эллипса и пропорционально г. В частном случае А =  — эллипс вырождается в круг, а формула (4.16) переходят в известную формулу для центростремительного ускорения при равномерном вряцении по кругу. 3. Установить связь между звездными и средними солнечными сутками. Зггздиый год, т. е, промежуток времени, в течение которого Солнце совершает свой видимый путь по небесной сфере относительно звезд, составляет 365,2564 средних солнечных суток. (Звездный год следует отличать от тропического года, который соответствует периоду смены времен года и составляет 365,2422 средних сол-.
нечных суток). Р е ш е н и е. Пусть в положении 1 (рис. !2) плоскость земного меридиана АВ проходит через центр Солнца С и какую-либо (бесконечно удаленную) звезду Р. Когда Земля в своем орбитальном движении перейдет в положение 2, плоскость того же меридиана повернется относительно направления на звезду на угол а, а относительно направления на центр Солнца — на угол ().
Углы и и й могут превышать 2п, но они всегда связаны соотношением а = й+ у, где у — угол между направлениями на центр Солнца в положениях 1 и 2. Спустя звездный год, когда Земля вернется в исходную плоскость !СР, угол у примет значение 2п, а потому в этом положении а = р+ 2п. За это время пройдет )У» = а)(2п) звездных и Л'со — — й)2п средних солнечных суток. Поэтому Ж»» = Жс + 1.
Если Т,»вЂ” З Н сКОРость и нСКопнинв нри КривОЛИННйнОМ днижнини 41 продолжительность звездных, а Теы — средних солнечных суток, то очевидно, что ДГ, Тз, =- Дг,е, Т, „так кай оба эти выражения представляют одно и то же время — звездный год. Используи соотношение 5'зв = И, + 1, отсюда находим ~~ сол 1 Тзв Тсьл Тсол Тэа 1 У счм Подставив сюда Т,д, =- 24 60 60 = 86400 с, й'сь, = 365,2564, получим Т,,— Т„=235,9003 с 236 с, Т,„86164 с. Заметим, что при решении мы не вводили предположения, что Земля по своей орбите движется равномерно. Вагш А' А Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
