Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Все операции такого типа мы называем математическими. Их свойства устанавливаются соответствующими мате- 4 П о вектоглх и сложении движгнин матическими теоремами. Не имеет смысла ставить вопрос об опытной проверке результатов, получаемых с помощью таких математических операций. Например, о сложении векторов, как оно только что определено, мы будем говорить как о маглемшпическом сложении нли сложении в матлематическом смысле.
Но когда векторами изображают различные физические величины, часто в их сложение или вычитание вкладывается какой-то другой смысл. А именно для получения суммы или разности векторов над ними надо произвести какие-то (хотя бы мысленные) физические сперев,ии. Сложение и вычитание в таком смысле мы условимся называть физическими. Будет ли какое-либо конкретное физическое сложение совпадать с математическим (т. е. с правилом параллелограмма) и будет ли в результате такого сложения получаться вектор — это требует дополнительного исследования, в частности В С опытного. 6. Поставим, например, такой вопрос.
Точка перешла из А в положение В вдоль прямолинейного отрезка АВ 1рис. 14). Затем из положения В она перешла в С вдоль отрезка ВС. Вдоль какого прямолинейного отрезка должна перемещаться точка, чтобы из А попасть в С? Ясно, рис. 14. что таким отрезком является отрезок АС. Его можно рассматривать как геометрическую сумму отрезков АВ и ВС. Сложение перемещений в таком понимании производится по правилу параллелограмма, т. е.
совпадает с математическим сложением векторов. Тому же правилу подчиняется и сложение скоростей в следующем смысле. Точка в течение секунды перешла из А в В, двигаясь равномерно со скоростыа и,. Затем также в течение секунды она перешла из В в С с постоянной скоростью и,. С какой постоянной скоростью и должна двигаться точка, чтобы в одну секунду перейти из А в С? Но в сложение скоростеи обычно вкладывается другой смысл, разъясняемый на следующем примере. Точка перешла из А в В вдоль прямолинейного отрезка на палубе корабля, двигаясь равномерно со скоростью п,. За то же время сам корабль переместился относительно берега па отрезок ВС, двигаясь с постоянной скоростью п,.
С какой скоростью е двигалась точка относительно берега? Здесь сложение движений и их скоростей понимается в другом смысле. Оба движения рассматриваются в разных системах отсчета, движущихся одна относительно другой. Одной системой является корабль, н скорость е, измеряется с помощью линеек и часов в этой системе. Другой системой является берег, с помощью линеек и часов этой системы измеряются скорости пз н в. На вопрос о результате сложения в таком смысле 54 кинемхтикА !ГЛ.
! должен в конце концов ответить опыт. Дорелятивистская кинематика утверждала, что по своему результату сложение движений во втором смысле не может отличаться от сложения в первом смысле. Это происходит потому, что и дорелятивистской физике длины отрезков и промежутков времени не зависят от того, в какой системе отсчета они измеря!отся. Сложение скоростей и во втором смысле в дорелятивистской кинематике происходило по правилу параллелограмма, т.
е. совпадало с математическим сложением векторов. В релятивистской кинематике это уже не так. Сложение скоростей во втором смысле не подчинягтгя правилу параллелограмма. Это правило приближенно верно только в пределе, когда обе складываемые скорости очень малы по сравнению со скоростью света.
7. Каждому вектору а (а„, а„, а,) и скаляру Л можно аксиоматически сопоставить объект Ла, задаваемый упорядоченной тройкой чисел Ла„., Ла„Ла,. Легко убедиться, что такой объект будет вектором. Он называется произведением скаляра Л на вектор а. Бесконечно малое приращение вектора йа само является вектором. Бесконечно малое приращение любого скаляра ! есть также скаляр йй Этим двум величинам можно сопоставить вектор ! в'а -- йа = — „, называемый производной вектора и по скаляру й 8. Теперь мы в состоянии доказать векторную природу многих физических величин, с которыми имеет дело механика. Прежде всего, смещение точки из какого-либо положения А в другое положение В вдоль соединяющего их прямолинейного отрезка АВ есть вектор.
Это очевидно, так как по самому определению при смещении начала и повороте координатных осей компоненты вектора должны преобразовываться так же, как проекции направленного отрезка. Обозначим рассматриваемый отрезок к. Продифференцируем этот отрезок по времени ! в предположении, что начальная точка его йг закреплена. Производная — буогт вектором, так как время— ь'! скаляр.
Но такая производная есть скорость точки е. Таким образом, скорость е есть также вектор. Дифференцируя 4! снова по !, вю найдем другой вектор — ускорение точки а = — . Масса точки т Й' является скалярам. Умножая его на скорость е, получаем вектор р = те, называемый импульсом точки. Дифференцируя его по времени, получаем силу Р=- —, действующую на точку.
Таким лр лй ' образом, сила есть вектор. 9. Приведем несколько более сложные примеры векторов. Возьмем в пространстве какой-либо ориентированный контур Е, т. е. не самопересекающуюся замкнутую кривую, проходимую в какомто определенном направлении. Спроектируем этот контур на координатные плоскости прямоугольной системы координат ХУЕ. Получим три ориентированных плоских замкнутых контура О ВЕКТОРАХ И СЛОЖЕНИИ ДВИЖЕНИЙ Е„Е, Е„лежащих в координатных плоскостях УУ, ЯХ, Х)' соответственно (на рис.
15 контур Е не изображен, изображены только его проекции). Обозначим 5, 5„5, площади, ограниченные замкнутыми контурами Е„Е „Е,. Эти величины будем считать положительными, если контуры Е„Е, обходятся в положительных направлениях, и отрицательными в противоположном случае. Положительные направления обхода контуров Е,, Е,„Е, задаются по-разному в зависимости от того, какая используется система координат — правая или левая. В правой системе координат направления Обхода контуров Е, Е, 1„ считаются положительными, если они находятся в праеовингповом соотношении с положительными иаправлениями координатных осей Х, )', 2 соответственно, а в левой системе — в левовипгповом. Это значит, например, что в правой системе координат вращение ручки буравчика с правой нарезкой в положительном направлении контура Е, приводит к поступательному перемещению буравчика в поло- Рис.
15. жптельном направлении Оси Л. В левой системе будет то же самое, если взять буравчик с левой нарезкой. При таком соглашении о знаках площади 5„, 5„, 5, представляются интегралами 5,= — ~ дг(г, 5„= ~ гйх, 5,= ~ хг(у„(7.2) взятыми по контурам Е„, Ел, Е„ независимо от того, применяется ли правая или левая система координат. Мы утверждаем, что тройка чисел 5„, 5, 5, образует вектор, с одной оговоркой, о которой будет сказано ниже.
Для доказательства рассмотрим сначала частный случай, когда коитур плоский. Вдоль нормали к плоскости контура отложим направленный отрезок А, длина которого численно равна площади 5, ограниченной контуром Е, а направление находится в правовинтовом соотношении с направлением обхода по контуру, если используется правая система координат, и в левовиитовом соотношении, если используется левая система (рис. 16).
Сначала будем пользоваться системами координат только какого-либо определенного типа: либо только одними правыми, либо только одними левыми. Построенный нами отрезок А совершенно не зависит от выбора координатных осей, а потому является вектором. Его проекции иа координатные КИНЕМАТИКА !ГЛ. 1 оси равны А = А сов (А, Х), А„ = А сов (А, У), А, = А соз(А, 2), С другой стороны, по известной геометрической теореме 5,=5 сов(А, Х), 5,=5соз(А, У), 5,=-5 сов(А, Л). Так как длину А мы выбрали численно равной 5, то в любой системе координат 5, =-А, 5х ==-А „5,= А,.
Отсюда следует, что при вращении координатной системы 5„5, 5, преобразуются так же, как компоненты вектора А. Поэтому 5„5,, 5, образуют вектор. Его д мы будем обозначать 5 и называть вектором площади, ограниченной ориентированным контуром 1,. В этом смысле Г говорят, что площадь является векто4иЬт ром.
Эго утверждение доказано нами сесяела аалелв для плоских контуров и плоских пло:цадей. Рис. !6. Обобщение на случай неплоских контуров и площадей не представляет затруднений. Пусть 1. — такой контур. Натянем на него совершенно произвольную поверхность и разобьем ее на достаточно большое число н малых ориентнрованных областей, как указано на рис. 17. Проектируя их на координатные плоскости, получим 5,=~; 51„ 1=1 5„= ~' 5;„ где 5;„5;„, 5;. — проекции на те же плоскости бй элементарной области. Число и можно взять сколь угодно большим и рассматривать каждую малую область 5; '! как плоскую.
Тогда на основании доказанного можно утверждать, что 5;„ 5Н 5;, образуют вектор. Будет образовывать вектор и тройка ~ чисел 5,, 5„, 5., так как эти числа получаются путем сложения ком— — понентов векторов 5ь 10. В одном отношении, однако, 1 тройка чисел 5„ 5,, 5, отличается от вектора. Зтн числа преобразуютРис.
17. ся так же, как компоненты вектора при вращении координатнои системы как целого, когда система координат все время остается либо правой, либо левой. Однако они ведут себя существенно иначе при переходе от правой системы координат к левой или наоборот, например, при инверсии координатных осей. В этом случае для нахождения направления 5 надо перейти от одного винта к другому. Если в правой системе координат величину 5 изобразить стрел- о вектоглх и сложении движении кой, то при переходе к левой направление стрелки надо изменить на противоположное. Величины такого типа называются псевдовекторами или аксиальными векторами, в отличие от полярных векторов, которые мы рассматривали до снх пор.
При повороте координатной' системы как целого акгиальные векторьс ведут себя в спочности так же, как и полярные векторы. При инверсии координатных <кей компоненты полярных векторов меняют знаки, в то время как компоненты аксиальных векторов остаются неизменными. Можно было бы обойтись н без введения аксиальных векторов. Но тогда не все формулы имели бы одни и тот же внд в правых и левых координатных системах. Например, если бы в правых системах координат мы определили тройку чисел 5„5„, 3, формулами (7.2), а в левых — теми же формулами, но с измененными знаками, то такая тройка чисел образовывала бы полярный вектор. Аксиальные векторы для того и вводятся, чтобы все формулы имели совершенно одинаковый вид в правых и левых системах координат.
Аналогично, наряду с истинными скалярами вводятся так называемые псевдоскаляры. Скаляр или инвариант есть число, остающееся неизменным во всех систел<ах координат, как правых, так и левых. Псеедоскаляр или псевдоинвариант остаеспся неизменным при переходах от правых сисспем координат к правым же или от левых к левым же. При переходе же от правой < истемы к левой или наоборот псевдоскаляр меняет знак, оставаясь неизменным по абсолютной величине.
Произведение псевдоскаляра на полярный веюпор есть вектор аксиальный. Произведение псевдоскаляра на аксиальный вектор есть вектор полярный. Если пользоваться одними только правыми илн одними только левыми системами координат (а в физике, как уже упоминалось, применяется почти исключительно правая система), то отпадает необходимость разделения векторов на полярные и аксиальные, а скаляров — на истинные скаляры н псевдоскаляры. Операция сложения двух векторов имеет смысл только тогда, когда вкладываемые векторы оба полярные или оба аксиальные. Сумма а + Ь не имеет смысла, если один из векторов полярный, а другой — акснальный.
Сумма такого рода непреобразовывалась бы по правилу преобразования полярного нли аксиального вектора, а потому она не могла бы быть ни тем, ни другим. 11. Частным случаем вектора, представляющего площадку или поверхность„является так называемое векторное произведение двух векторов а и Ь. Оно определяется как вектор площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь. Чтобы ориентировать этот параллелограмм„ надо обходить его периметр от начала вектора а к его концу, затем от конца вектора а параллельно вектору Ь и т. д., пока при таком обходе мы не вернемся в исходную точку (рнс. 18). Короче говоря, первый вектор и надо проходить в прямом, а второй вектор Ь вЂ” в обратном направлениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
