Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Не представляет, например, особо большого труда измерить длину в один метр с точностью до одного миллиметра, т. е. с относительной точностью 1/!000. Но измерить с такой же относительной точностью длину в один миллиметр значительно труднее. Чем меныпе М, тем меньше точность, с которой Лх мы вычисляем отношение —. Если ОГ уменьшать беспредельно, ДГ ' Лх то вычисленные значения отношения не будут стремиться ни к какому определенному пределу.

Зто показывает, что в рассматриваемом примере из-за ошибок измерений предельный переход к Л1 — «О не может быть осуществлен в строго математическом смысле. Вычислить истинную скорость или производную о = х из физических намерений можно лишь приближенно, отождествляя Лх ее с отношением конечных приращений —. Оптимальная величина дг' КИ Н ЕМ АТИ К А 1гл. ь времени Лу, при которой точность вычисления истинной скорости максимальна, определяется конкретными условиями.

Малые, но конечные приращения Лх и Л(, отношение которых с достаточной точностью аппраксимирует производную х, физик называет бесконечно малыми или, полнее, физически бесконечно малыми величинами. Он обозначает их посредством с(х и Ж и обращается с ними как с математическими дифференциалами. Таким образом, в физике производная выступает как отношение конечных, но достаточно малых приращений функйии и аргумента, а не как предел этого отношения. Однако не только ошибки измерений могут сделать невозможным практическое выполнение предельного перехода в строго математическом смысле.

Такая невозможность может быть и принципиальной, обусловленной самой природой физических величии н физических законов. Так, точное выполнение предельного перехода невозможно из-за соотношения неопределенностей (5.1) Действительно, если промежуток времени Л1 стремится к нулю, то при этом будет стремиться к нулю и проходимое расстояние Лх. Неопределенность бх в ьзмерении проходимого расстояния не должна превосхоАх дить Лх. Иначе вычисление средней скорости по формуле о,р —— потеряло бы всякий смысл.

Таким образом, при Л1- О должна ,стремиться к нулю и неопределенность в координате Ьх. Но тогда, согласно соотношению (5.1), неопределенность скорости бо будет стремиться к бесконечности, Это значит, что ошибка, которую мы делаем при вычислении скорости о по формуле (3.3), сколь угодно велика по сравнению с самой скоростью о. 2. Изложенные выводы относятся не только к производной координаты, но и к производным всяких физических величин.

Допустим, например, что требуется определить плотность вещества в какой-либо точке пространства. С этой целью можно поступить следукщим образом. Окружим рассматриваемую точку замкнутой поверхностью, ограничивающей объем Л'р', Обозначим через Лт массу вещества, содержашегося в этом объеме. Отношение Ьт Рср называется средней плотностью вещества в объеме Л$'.

Средняя плотность, вообще говоря, зависит от величины и формы объема Л Г, внутри которого находится рассматриваемая точка. Чтобы исключить эту зависимость, вводят понятие истинной плотности вешества, определяя ее путем предельного перехода Л'р'- О. Обычно говорят, что при этом средняя плотность р,р стремится к определенному пределу р, который и называется истинной плотностью вещества в рассматриваемой точке пространства: Лп1 ат р= 1пп — = —. ър апр (6.1) $6] О СМЫСЛЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА Истинная плотность определяется, таким Образом, кан производная массы по сбъелгу. Эта величина зависит только от положения точки, к которой она относится.

Однако, если в формуле (6.1) предельный переход понимать буквально в строго математическом смысле, то для реальных тел он выполнен быть не может из-за атомистической структуры вещества. При уменьшении объема в нем рано или поздно окажется лишь небольшое число молекул, например, одна или даже ни одной молекулы. Кроме того, молекулы совершают беспорядочные тепловые движения, одни молекулы уходят из объема ЛУ, другие вступают в него. Ввиду этого число молекул в фиксированном малом объеме ЛУ весьма быстро и беспорядочно меняется во времени. При уменьшении ЛУ отношение дпг — будет быстро и беспорядочно меняться от нуля, когда внутри объема ЛУ нет молекул, до очень больших значений, когда в него попадет одна илн несколько молекул, При бесконечном умеиьшеЛы нии ЛУ отношение — не будет стремиться к определенному преЛр делу. Ввиду этого при определении истинной плотности вещества нельзя брать величины Лггг и ЛУ сколь угодно малыми.

Объем ЛУ должен иметь макроскопическне размеры, т. е. содержать еще очень большое число молекул. Но он должен быть и достаточно мал, чтобы содержащееся в нем вещество могло рассматриваться приближенно как макроскопически однородное. Еслгг оба этн требоЬгг~ вання выполняются, то отношение — — будет иметь практически лг' вполне определенное значение, не меняющееся прн дальнейшем уменьшении макроскопического объема ЛУ. Это отношение мы и принимаем в физике за производную массы т по объему У.

Величины Лт и ЛУ, удовлетворяющие указанным двум требованиям, в физике рассматриваются как физически бесконечно малые, и с ними физика обращается как с математическими днфференцналамн. Математически этому соответствует замена реального тела идеализированной моделью с непрерывным распределением масс. 3. Совершенно так же обстоит дело с понятием интеграла. В математике интеграл определяется предельным переходом ~ г" (х) г(х = 1 пи ~ г" (х;) Лхп Ьк. 0 Числовой промежуток (а, Ь) разбивается на и частичных промежутков Лх,, Лх.„.,., Лх„.,((лина каждого из ннх Лх; умножается на значение функции ) (х) в произвольной точке, лежащей внутри рассматриваемого частичного промежутка. Затем составляется сумма ХГ (хг) Лх; и выполняется переход к пределу и — ОО в предположении, что длина каждого из часпгчных промежутков стремится к нулю.

В физике, однако, из-за ошибок измерений или по 48 кинемхтикк принципиальным соображениям (например, из-за атомистической структуры вещества) деление промежутка (а, Ь) на частичные промежутки меньше определенной длины (величина которой зависит от конкретных условий) теряет смысл. Ввиду этого предельный переход к Лх! — 0 не может быть выполнен до конца, а должен быть оборван на каком-то месте. Это означает, что в физике интеграл выступает не как !!редел суммы, а как сумма больиюго числа достаточно малых слагаел4ых Х) (х;) Лх!. 2 7. 0 векторах и сложении движений 1. Понятие вектора и основные операции векторной алгебры мы считаем известными, Остановимся только на разъяснении некоторых принципиальных моментов, представляющих особый интерес в физике. Среди физических величин встречаются величины, не имеющие направления, и величины, которым можно приписать определенное направление.

Величины первого рода называются скалярами. К ним относятся, например, масса, энергия, температура, электрический заряд и пр. Величины второго рода называются векторами. Примерами векторов являются скорость, ускорение, сила, напряженности электрического и магнитного полей и пр. Векторы принято изображать направленными отрезками или стрелками и обозначать буквами полужирного шрифта (А, В„С, ...) или (реже) буквами, над которыми поставлены стрелки (А, В, С, ....) В качестве дополнения к приведенному определению иногда указывают, что не всякие направленные величины являются векторами, а только такие, которые складываются геометрически, т.

е. по правилу параллееограмма. Однако это указание остается расплывчатым и бессодержательным, пока не сказано, что следует понимать под сложением рассматриваемых физических величин. Смысл сложения физических величин еще не определяется их физической природой.

Сначала надо указать, чтб мы понимаем под сложением двух физических величин, а затем уже находить правила, по которым должно производиться это сложение. Только тогда указание, о котором говорилось выше, приобретает ог!ределенное содержание. Нередко для решения вопроса, являются ли рассматриваемые физические величины векторами или не являются, в их сложение вкладывают такой смысл, который к этому вопросу не имеет никакого отношения. 2. Например, сложение скоростей в механике понимают в следующем смысле. Пусть точка диижется относительно системы отсчета 5, со скоростью ю! (например, пассажир идет по палубе корабля).

Пусть далее система о~счета 5, сама движется со скоростью е, относительно другой системы отсчета 5„ условно принимаемой за неподвижную (например, корабль движется относительно берега). 49 О ВЕКТОРАХ И СЛОЖЕНИИ ДВИЖЕНИЙ 4 7] Под сложением движений понимают операцию, с помощью которой по этим данным можно найти скорость и точки (пассажира) относительно неподвижной системы 5, (берега). В релятивистской кинематике это определение должно быть дополнено указанием, что каждая из скоростей п, и пт измеряется с помощью линеек и часов в той системе отсчета, относительно которой рассматривается движение.

В нерелятивистской кинематике такое указание излишне, так как длины и промежутки времени в ней имеют абсолютный смысл, т. е. не зависят от системы отсчета. И вот оказывается, что сложение движений в указанном смысле в нерелятивистской кинематике производится по правилу параллелограмма, а в релятивистской кинематике это правило не справедливо. Тем не менее скорость точки считается вектором как в той, так и в другой кинематике.

Это показывает, что правило параллелограмма скоростей для сложения движений в указанном смысле не имеет никакого отношения к вопросу о том, является скорость нектором или не является *). Да н в самой нерелятивистской кинематике можно указать величины, которые считаются векторами, но тем не менее не всегда складываются по правилу параллелограмма, если в сложение этих величин вложить примерно такой же смысл, что п в сложение скоростей в вышеприведенном примере.

К таким величинам относится, например, ускорение. Пусть точка движется относительно системы отсчета 5, с ускорением а,, а система 5, имеет ускорение аз относительно «неподвижной» системы отсчета 5,. По этим данным можно найти ускорение а точки относительно системы 5. тсччько в том случае, когда складываемые движения являются поступательными. В этом случае вектор а находится по правилу параллелограмма. В остальных случаях для нахождения результирующего ускорения знания ускорений ат на« недостаточно, и само нахождение вектора а производится по более сложному правилу, которое будет рассмотрено в 9 б4. 3.

Характеристики

Список файлов книги