Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В согласии с 58 КИНЕМАТИКА (ГЛ. 1 изложенным выше векторное произведение можно изобразить стрелкой, направленной перпендикулярно к плоскости параллелограмма и находящийся в нужном винтовом соотношении с направлением обхода периметра параллелограмма. Длина стрелки численно равна площади параллелограмма, т. е. аЬ з[п б, где б — угол между векторами а и Ь. Векторное произведение мы будем обозначать 4" Лейн аааагагга Тграбан саазала Рис. !8. символом с = [аЫ, т. е. будем заключать векторы а и Ь в квадратные скобки. Часто употребляется также косой крест: с = а х Ь. Если векторы а и Ь вЂ” полярные, то векторное произведение их будет вектором аксиальным.
Векторное произведение полярного вектора на аксиальный есть вектор полярный. Векторное произведение двух аксиальных векторов есть также аксиальный вектор. ЗАДАЧИ !. Доказать, что если а и Ь вЂ” два полярных или два аксиальных вектора, то в прямоугольных системах координат выражение ать + азь„+ а,ьа есть инвариант, (Это выражение называется скалярным проиэйезением векторов а и Ь и обозначается символом (аЬ) или аЬ.) У к аз а н не. Воспользоваться инвариантами о'+ а'„+ а;, Ь'+ Ь,', + Ь', и (а, + Ьз)а+ (а„+ Ья)'+ (аа -Ф- Ь,)'. 2.
Доказать, что скалярное произведение полярного вектора на аксиальный есть псевдоскаляр (псевдоинварнант). 3. Доказать, что скатярное произведение любых двух векторов а и Ь представляется выражением (аЬ) = аа соз О, где 6 — угол между этими векторами. Д о к а з а т е л ь с т в о. Направим ось Х вдоль вектора а.
Тогда о = а, = = О, Ь, = Ь соз О. Так как скалярное произведение (аЬ) == а,,ь„+ ааьч + а,Ь есть нйвариант, то (аЬ) =- а„Ь„= аЬ соз О. 4. Скалярное произведение вектора а на векторное произвечение других двух векторов [Ьс| называется смешанным пронзведевием трех векторов а, Ь, с и обозначается (а[во)). Показать, что оно является псевдоскаляром, если один из зтих векторов или все три полярные.
Если же полярных векторов два или совсем нет, то смешанное произведение будет скалярам (инвариантом). Показать, что смешанное произведение численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, е. Пользуясь этим, доказать, что (а [Ьс|) =(Ь [са|) =(с [аЬ!]= — (а [сЬ[) = — (Ь [ас|) = — (с [Ьа|), (7.3) О ВЕКТОРАХ И СЛОЖЕНИИ ДВИЖЕНИЙ я т! т. е. смешанное произведение нв меняется лри любой циклической перестановке перемнолсаемых векторов, а при нарушении пикличности меняет знак.
б. Доказать формулу [а ] Ьс]] = (ас) Ь вЂ” (аЬ) с. (7А) До к аз а тел ь ство. Представим вектор а в видел = а, + ай, где ав — составляющая вектора а вдоль вектора г( — ]Ьс], а а, — составляющая, [~г„е) перпендикулярная к й. Тогда [а [Ьс]] = [ай]=[айм). Отсюда х = а с яп й = а, с соз (а», с) = (а с) = (ас), у = а, » яп у = — а» соз (а (л Ь) = — (аЗЬ) = — (аЬ). 6.
Доказать формулу Да»] [га]) = (ас) (Ьа) — (ай) (Ьс). 7. Покачать, что векторное произведение ]аЬ] можно записать в виде символического определителя й [аЬ]= а, ав а, ]»„. »„», (7.ог) если условиться разлагать его по элементам первой строки, состоящей из единичных векторна 7,7', й вдоль координатных осей прямоугольной системы координат. Запись справедлива и в правых и в левых системах координат. Компоненты секторного произведения определяются одними и течи же формулами, независимо оч того, какие (прямоугольные) системы координат используются.
О этим и связано то обстоягельство, что векторное произведение — аксиальный вектор. 8. Доказать, что в прямоугольной системе координат ]А- Ав Ал (.А [ВС])= В„В, В, (7.6) 9. Пусть е,, е,, ев — произвольные векторы, не лежащие в одной плоскости. Векторы [ехев! (е,[е,ев]) ' [е,е,] (е,[еве,]) ' (с,ез] (7.7) (е, ]вес,]) Трн е"ктора а <, Ь, с лежат в одной плоскости. Примем ее за плоскость рисунка (рис. )9). Вектор г( перпендикулярен к этой плоскости, его длина равна »с яп а, если а — угол между векторами Ь н с.
Рис. !9. Поэтому длина вектора ]а, г(] будет а, »с в!и а. Поскольку этот вектор лежит в плоскости рнгунка, его можно разложить по векторам Ь и с, т. е. поедставить в виде ~а а1= »+ус. Неизвестные числа х и у найдутся с помощью теоремы синусов: х» яп]) ус япу ай»сяяя япя' а„»сз(пф япсс' (гл. з кинемдтикл называются по отноп»енню к ннм взаимными. Очевидно, что они также не лежат в одной плоскости. Показать, что [езе";) е,= (е*, [еге,'[) ' [ерез] (е", [е,*е,*[) ' (е,' [езеч[) ' Показать, далее, что (езе„") = бз„ (7.9) где б;з — символ Кронекера, т.
с. бм .††! при ( =- й и б;з — — О прн ( ф еп Пусть А и  — произвольные векторы. Представим нх в виде А = А,е,+ А,ез+ Азез В =, В,*е*;+ В,*е,"+ В,*е,". Показать, что (АВ) = А»В»»+ А»В» + АзВз* й 8. Степени свободы и обобщенные координаты (7.)0) 1. Положение точки в пространстве можно задать тремя прямоугольными координатами х, у, г. Но это можно сделать и иначе. Например, вместо прямоугольных можно взять полярные или какие-либо другие координаты, Существенно, однако, что при любом выборе число независимых координат, требующихся для однозначного определения положения точки, которая может перемещаться в пространстве как угодно, равно трем. Про такую точку говорят, что она обладает тремя степенями свободы.
Может случиться, что перемещение точки в заданных условиях не может быть каким угодно. Рассмотрим, например, маленький шарик, привязанный к концу нерастяжимон нити, другой конец которой закреплен (математический маятник). Если нить натянута, то шарик может перемещаться только по поверхности сферы с центром в точке закрепления. Можно привести много других примеров, в которых материальная точка все время вынуждена находиться на какой-либо заданной поверхности. В подобных случаях говорят, что на ее движение наложена связи. Координаты х, у, г такой точки должны удовлетворять соотношению вида [ (х, д, г) = О, которое является уравнением рассматриваемой поверхности.
Ввиду этого независимыми остаются только две координаты, например х и у. Третья координата г может быть вычислена из уравнения связей ((х, у, г) =- О. В этих случаях говорят, что точка обладает двумя степенями свободы. Если точка может перемещаться только вдоль какой-либо заданной кривой, то число независимых координат, требующихся для определения ее положения, снижается до одного. За координату можно принять, например, расстояние материальной точки от какой-либо точки рассматриваемой криной, отсчитанное вдоль азой кривой. В таких случаях говорят, что точка обтадает одной степенью свободоз.
г в] СТЕПЕНИ СВОБОДЫ И ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ 61 2. Все сказанное без труда обобщается на случай механической системы, состоящей из произвольного числа и материалыгых точек. Если эти точки могут перемещаться без всяких ограничений, то для определения мгновенного положения их надо задать Зп координат (по три координаты для каждой точки). В этом случае говорят, что система обладает Зп степенями свободы. В некоторых задачах, однако, свобода перемещения материальных точек ограничена. На Зп координат налагаются дополнительные условия, называемые связями.
Для Однозначного определения положения всех материальных точек системы достаточно знать меньшее число координат. Обозначим его /'. Остальные Зп — / координат могут быть вы- 1~ числены из уравнений связи. Не обязательно в качестве независимых координат брать прямоугольные координаты. Для этой ! цели могут быть использованы любые / величин г/„г/г, ..., г//, заданием которых положение / материальных точек системы Л 8 определяется однозначно.
Такие / величины называются обобщенными координатами. Движение / системы определится полностью, ! если обобщенные координаты г/ / будут найдены как функции вре- г/ мени. Производные обобщенных // координат по времени /)„г/„..., д„ Рис. 20. называются обобщенными скоростями. Так, при вращении материальной точки по окружности ее положение можно задать значением центрального угла гр, который радиус-вектор вращающейся точки образует с положением его в некоторый определенный момент времени (например, в момент / — — 0).
Обобщенная скорость в этом случае ы ==- сг имеет смысл угловой скорости вращающейся точки. Обобщенные координаты г/„г/г, „г// могут быть выбраны как угодно, лишь бы они в любой момент времени полностью определяли положение механической системы. Однако число независимых обобщенных координат /" во всех случаях будет одно и то же. Оно называется числом степеней свободы системы, 3. Определим, например, число степеней свободы идеально твердого тела. Идеально твердым /пелом в механике называют идеализированную систему материальных точек, все расстояния между которыми при движении системы не изменяются с течением времени. Локажем, что идеально твердое тело, если на его движение не на,гожепы никакие ограничения, обладает шестью степенями КИНЕМАТИКА ггл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
