Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 29
Текст из файла (страница 29)
На нее надо смотреть только как на целесообразное обозначение. 2. Рассмотрим пример, поясняющий пользу введения понятия приведенной массы. Пусть планета обращается вокруг Солнца па окружности радиуса г. Дейст. , Мпг вующая на нее сила по зенону всемирного тяготения равна Т= 6 —,, где М— г'"' масса Солнца, т — масса планеты, 6 — гравитационная постоянная, Тан наи Мт г ,Мт сила направлена н Солнцу, то в векторной 4юрме Р= — 6 —, — = — Π— г.
га г гэ Вводя приведенную массу, запишем ураннеиие движения планеты относительно Солнца: Мт .. Мт рг'= — — Д = — Р= — 6 — г. М+т Отсюда М+т г= — 6 г га Тан нан вращение няанеты но орбите равномерное, то г= — ытг, а потому 2п]2 =~ — '1=6 где ы — угловая скорость, а Т вЂ” период обращения планеты.
Если масса планеты пренебрежимо мала по сравнению с массой Солнца, го для угловой скорости ич и периода обращения Т, получвем !2п т2 М *'=]]Т-) ='-. Если бы масса планеты была равна массе Солнца ]двойная звезда), то для угловой скорости ыа и периода обращения мы получили бы При одном и том же расстоянии г ( — 2) = ( — г) = 2. ' Период обращения ао взором случае меньше, чем в первом, в У2 раа. 114 СЛВДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА [ГЛ. 1П й 21. Движение тел с переменной массой.
Реактивное движение 1. Термин «переменная масса» употребляется в этом параграфе в совершенно ином смысле, чем в теории относительности. В теории относительности масса движущегося тела изменяется за счет изменения его скорости, причем никакого вещества во время движения тело не получает и не теряет. Напротив, в настоящем параграфе говорится о медленном движении тел, масса которых меняется за счет потери или приобретения вещества. Например, масса автомобиля для поливки улиц уменьшается за счет вытекающих водяных струй; дождевая капля растет при падении в воздухе, пересы- щенном водяными парами; масса ракеты или реактивного самолета уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива.
В таких случаях говорят о движении тел с переменной массой. Уравнения движения тел с переменной массой не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, а являются их следствиями. Тем не менее они представляют большой интерес, главным образом в связи с ракетной техникой.
2. Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой.
Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет. Целесообразно, однако, обобщить задачу, предположив, что на ракету действуют внешние силы. Такими силами могут быть сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета. Пусть т (1) — масса ракеты в произвольный момент времени 1, а и (1) — ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет то. Спустя время 1(1 масса и скорость ракеты получат приращения йп и Г(е (величина пт отрицательна!). Количество движения ракеты станет равным (т + йп) (и+ дп).
Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время й. Оно равно йи„„е„„, где 11т„,, — масса газов, образовавшихся за время Г)(, а в,.„— нх скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент 1+ Г(1 количество движения системы в момент 1, найдем приращение этой величины за время пд Согласно известной теореме это приращение равно Р111, где Р— геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету, Таким образом, (т + йт) (и + Г(п) + йл„,п,.„— то = Р Ж ЛВИЖЕНИЕ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ Время й(, а с ним и приращения йт и йт! мы должны устремить к ет нулю — нас интересуют предельные отношения, или производные — „ еэ и --.
Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение йп! йп, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, йт + йт„„= О. Пользуясь этим, можно исключить массу газов йт„„. Наконец, разность т1„н = и„, — т! есть скорость истечения газов относительно ракеты. Мы будем называть ее скоростью газовой струи. С учетом этих замечаний предыдущее соотношение легко преобразуется к виду (21.1) т йт! =т!„и йт+ ГЖ. Отсюда делением на й( получаем еь вы Е! т'отн а! + ~' (21.2) т йт! = Е1„н йт.
Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи в„н. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора и „ на это направление будет отрицательной и равной — о„„. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так: тйо = — о„„йт, причем в соответствии с принятыми обозначениями величина о„, существенно положительна. Следовательно, "отн (21.3) Скорость газовой струи о„н может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве о„„очевидно, не По форме уравнение (21.2) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела т здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества.
К внешней силе )а' ет добавляется дополнительный член п„н — „, который может быть атн и истолкован как реактивная сила, т. е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (21.2) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским (1889 — 1935). Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (21.1), называется уравнением Меи1ерского или уравнением движения пвчки с переменной массой.
3. Применим уравнение (21.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая ет= О, получим !!а следствия и пеимвнвния законов ньютона 1гл. гп затрагивает основные черты явления, но сильно облегчает решение уравнения (21.3). В этом случае г с!т о = — о„, 1 --- = — о н 1п т+ С. Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость Ракеты Равна нУлю, а ее масса Равна 1нн. Тогда пРедыдУщее УРавнение дает О = — о„н )п то + С, откуда С = о„н1п л22.
Следовательно, ттта оотн 1п тл (21.4) или о 111а — г атн ти (2 1.5) Последнее соотношение называется формулой Циолковского (1857— 1935). Она получена нами для нерелятивистских движений, т. е. для тех случаев, когда обе скорости о и о,тн малы по сравнению со скоростью света в вакууме с. Но ее можно обобщить на случай РЕЛЯтИВИСтСКИХ ДВИжЕНИй. ЕСЛИ тн И Л1 ОЗНаЧаЮт МаССЫ ПОКОЯ ракеты в соответствующие моменты времени, то без вычислений ясно, что формула (21.5) дает заниженное значение для отношения то/Л2. ДЕйСтВИтЕЛЬНО, рЕЛятИВИСтСКая МаССа ВОЗраСтаЕт СО СКОРО- стью.
Ввиду этого при одном и том же расходе топлива «релятивистская» ракета достигнет меньшей скорости, чем получается по нерелятивистской формуле (21.5). Релятивистская формула имеет вид с тно (1+8 1 отн (21.6) т 11 — !1) — = 1+2р 1+о 1 — (! и, следовательно, с о 1 о (] +2!))2о отн — (! + 2()) а атн. нт Так как величина 2(1 мала, то (1+2)1)111261~ !1ш (! + 2р)1/(2а1= р. а-о (см. задачу 2 к 3 22).
Здесь (! == †. При р ~~ 1 и — "™ ~~н 1 формула (21.6) переходит в формулу Циолковского. Действительно, в этом случае дВиЖениЕ тел с пеРеменнОЙ мАссОЙ 117 В результате в предельном случае медленных движений получаем Юо ого — и ' отн тп т т. е. формулу Циолковского. 4. Формула Циолковского позноляет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете определенной снорости о.
В табл. ! приведены отношения начальной массы ракеты отч к ее конечной массе гл при различных значениях отношения о/о, „. Вычисления выполнены с помощью нерелятивистской формулы (21.5). Таблица 1 ю /т ( о/ь юь/ю т/"отв ь,'. ~ юа/т юч/ю 2,72 7,39 20,1 54,6 7 148 , '8 1100 2980 8!00 10 11 12 22000 59900 163000 403 ! 9 Допустим, например, что ракете надо сообщить первую космическую скорость, т. е. такую скорость, чтобы она начала двигаться вокруг Земли по окружности.
Зта скорость приблизительно равна о = 8 км/с. При скорости газовой струи оша = 1 кмlс должно быть то/ш = 2980. Практически вся масса ракеты приходится на топливо. Прн о„т, = 2 км/с получилось бы шч/т = 54,6, при о„„= = 4 км/с пь/гл = 7,39 и т. д. Отсюда видно, что относительная полезная масса ракеты очень быстро увеличивается с увеличением скорости газовой струи о „. Газы, выходящие из ракеты, должны иметь возможно меньший молекулярный вес и быть нагреты до возможно более высокой температуры. Действительно, в молекулярной физике будет показано, тто скорость газовой струи о„и пропорциональна РгТ/и, где Т вЂ” абсолютная температура газа, а и — егомолекулярный вес.
В современных ракетах на химическом топливе скорость газовой струи порядка одного или нескольких километров в секунду. Вероятно, она не превосходит 4 кмlс. Имея это в виду, оценим перспективы межпланетных и межзнездных полетов ракет на химическом топливе. Минимальчая скорость, которую необходимо сообщить ракете относительно Земли, чтобы она вышла ча пределы действия почя земного тяготения, называется вюорой космичесмой скоростью и составлиет !1,2 км/с. Практически такую скорость необходимо сообщить ракете, например, при отправке ее на Луну.
Скорость ракеты, которую она должна приобрести относительно Земли, чтобы навсегда покинуть пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоросгпью. Третья космическая скорость зависит ат направления начальной скорости ракеты. Минимальное ее значение соответствует запуску ракеты по касательной к земной орбите в направлении орбитального вращения Земли. Зта скорость состанляет около 16,7 км/с (см, $61). Скорости такого порядка необходимы при межпланетных путешествиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
