Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Поэтому он не может быть выведен из уравнений макроскопической механики, а должен рассматриваться как адно из наиболее широких обоби1вний опытных факгпов, $28. Абсолютно упругий удар 1. Интересные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно наблюдаются при абсолютно упругом ударе. Так называется столкновение тел, в результате которого их внутренние энергии не меняются. В чистом виде такой случай при столкновении макроскопических тел не встречается. Но к нему можно подойти довольно близко. Зто имеет место, например, при столкновениях бильярдных шаров из слоновой кости или подходящей пластмассы.
При столкновениях атомных, ядерных или элементар- РАБОТА И ЭНЕРГИЯ ~гл. и ных частиц может реализоваться и случай абсолютно упругого удара в чистом виде. Такая возможность связана с квантовыми законами. Внутренние состояния и соответствующие им значения внутренней энергии атомных частиц диснретны (неанГлоеаны). Частицы при столкновении могут разлететься без изменения внутренних состояний. Тогда столкновение и будет абсолютно упругим. Так будет всегда, когда кинетической энергии сталкивающихся частиц недостаточно, чтобы перевести хотя бы одну из них из нормального в блиЖайшее возбужденное состояние, характеризующееся ббльшим значением внутренней энергии.
При больших энергиях столкновение может сопровождаться возбуждением одной или обеих частиц с увеличением их внутренних энергий. Наконец, может быть и такой случай, когда сталкиваются возбужденные частицы и в результате столкновения их внутренние энергии уменьшаются. Во всех таких случаях говорят о неуаругих ударах. 2. Рассмотрим сначала центральные удары абсолютно упругих шаров.
В этом случае скорости шаров до удара и, и и, направлены вдоль прямой, соединяющей их центры. Эта прямая называется линией центрое. При столкновении кинетическая энергия шаров '/, (т, + тх) у', связанная с движением их центра масс, измениться не может, так как не может измениться скорость самого центра масс. Может претерпевать превращения только кинетическая энергия Ч, )Г (о, — о,)' относительного движения шаров. В случае абсолютно упругого удара шары при столкновении сплющиваются, и кинетическая энергия частично переходит в потенциальную энергию упругих деформаций. В некоторый момент вся кинетическая энергия относительного движения '/2)Г (а, — о,)' переходит в потенциальную энергию упруго деформированных шаров. В этот момент шары аналогичны сжатым пружинам, стремящимся перейти в недеформированное состояние. Ввиду этого начинается обратный процесс перехода энергии упругих деформаций в кинетическую энергию поступательного движения шаров.
Когда он заканчивается„шары разлетаются в разные стороны и вновь оказываются не деформированнымн. Таким образом, кинетическая энергия поступательного движения шаров снова принимает исходное значение, каким оно было до удара. Для реальных тел этот процесс осложняется возникновением упругих возмущений, распространяющихся в шарах со скоростью звука, излучением звуковых волн, а также внутренним трением и остаточными деформациями. После столкновения часть энергии уносится в виде энергии таких упругих возмущений, внутренних движений и звуковых волн, излученных в окружающую среду.
Эта часть энергии в конце концов переходит в тепловую (внутреннюю) энергию. Она может быть очень малой и в предельном случае идеально упругих шаров обращается в нуль. АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР $ 2В] 3. Скорости шаров после столкновения О] и О2 легко найти из законов сохранения импульса и энергии: тгпг'+ тгцг' = — пггпг+ п]ВОВ, 1,2 ],1 1 г ! (28.1) -з. IП101 + -а П11пг = й п]101+ й п]ВО1. Так как одно из этих уравнений — квадратное, а другое— линейное, то система (28.1) должна иметь два решения Относительно неизвестных и] н ог.
Одно из этих решений л]ожно указать сразу, а именно ог =- О„-ог' = — УВ. Но это решение не удовлетворяет условию задачи. Ему соответствует случай, когда скорости шаров не изменились, т. е. шары не претерпели столкновения. Существование такого решения неизбежно. Действительно, законы сохранения импульса и энергии можно написать для двух любых состояний системы, разделенных каким-то промежутком времени Лй Но в самих законах сохранения еще не заложено условие, что столкновение произошло. Это,условие должно быть указано дополнительно.
Если столкновение не произошло, то скорости шаров не могли изменитьса, и мы полУчаем Решение ог — — п„ог —— ом Указанное выше. Чтобы получить решение, относящееся к столкновению, очевидно, надо потребовать, чтобы скорости шаров изменились, т. е. и; ~ п„в; ~ о,.
Заметив это, перепишем уравнения (28.Ц в виде тг(пг — Ог) = тг (иг О) л]1 (пг пг) = п]2(ог пг ). Так как и( — о, н О~ — ОВ не равны нулю, то уравнения можно поделить почленно. Это дает О1+и! ОВ+ОВ' В результате з$дача свелась к реп]ению системы двух линейных уравнений. Реп(ня нх, найдем единственное решение и'=- — О +2 '"' ' ", о'= — О +2 ' ' ' ' ", (28.2) удовлетворяющее условию задачи. 4. Полезно привести другой способ решения той же задачи. Он сокращает вычисления и лучше выявляет структуру окончательных формул. Рассмотрим процесс удара сначала в сися]еме иенпгра масс, т. е.
в такой системе отсчета, в которой центр масс неподвижен. Относительно неподвижной системы отсчета (ее называют лабораторной) центр масс движется со скоростью Вггсг + мгсг (28.3) Жг+ МВ Скорости в системе центра' масс будем обозначать прежними буквами, но с индексом О. Полный импульс в системе центра масс 102 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 1ГЛ. 1У равен нулю, и законы сохранения импульса и энергии в такой системе запишутся в виде тоо1о + тоооо = тгпоо+ а12ооо = (). ,2 (28.4) й "11о10 + 9 1поооо = 9 тоо10+ 9 п12ооо ° Эта система уравнений илоеет два решения, которые могут быть указаны без вычислений.
Первое решение О10 О10 Ооо О20 не удовлетворяет условиям задачи. Годится только второе решение, ,а именно о,',= — о,, О20 О20' Мы видим, что в системе центра масс столкновение приводит просто к изменению знака каждой из скоростей. 9 ОООО ОО~ 9 Рис. 49. Перейдем теперь к лабораторной системе отсчета. Очевидно ом — — о, — У, о01 =- о1 — У и т. д. Поэтому (о, '— У) = — (о, — У), (о,' — У) = — (о, — У), откуда о,'= — о1+2У, о;= — оо+2У.
(28.5) Подставив сюда значение для У из (28.3), придем к прежним формулам (28.2). 5. Допустим, что второй шар вначале был неподвижным (О,=О). Тогда т1 022 92п1 о1= т,)то о1 оо= т,+то о1. Если т, ) т„то первый шар будет двигаться в первоначальном направлении. При т, ( т, он отскочит в противоположном направлении. При т, = т, первый шар остановится, а второй пойдет вперед со скоростью первого. Вообще, прн т, = т, из формул (28.2) получаем О1 —— Оо, Оо = О1, т. е. при спюлкновении двух один ковых абсолютно упругих шаров они просто обмениваются скоростями. Рассмотрим ряд соприкасающихся одинаковых абсолютно упругих шаров, центры которых расположены вдоль одной и той же прямой линии (рис.
49). В соответствующем демонстрационном РАБОТА И ЭНЕРГИЯ (гл. Гу Получилось всего три уравнения для определения четырех неизвестных о1в, г',г, о'„, о' . Чтобы написать недостающее уравнение, введем предположение, что лри столкновении шаров нг возникают тазмгнциальньгг силы.
В сущности, ввести такое предположение вынуждает нас закон сохранения энергии, уже использованный при написании наших уравнений. Действительно, если бы тангенциальные скорости сталкивающихся шаров были одинаковы (г„=- г„), то рассматриваемый случай сводилоя бы к случаю центрального удара, уже разобранному выше. Для этого достаточно было бы перейти в систему отсчета, в которой гы —— о о Поэтому без ущерба для общности мы будем предполагать, что озз ~ оеи Но тогдз, если бы при столкновении развивались тангенциальные силы трения скольжения, механическая энеогия не могла бы сохраняться.
Поэтому, предполагая удар идеально упругим, мы должны считать сами шары идеально гладкими. При их столкновении тангенциальные силы не возникают Если так, то не происходит также изменения тангенциальных скоростей, и к уравнениям (28.6) следует присоединить уравнения г,'з .=-. оы, и~, = ози Тогда останутся только уравнения для нормальных скоростей, отличающиеся от уравнений (28.)) лишь обозяачениями.
В результате мы приходим к следующему заключению. При столкновении гладких идеально упругих шаров их тинггнциальнме скорости нг изгаляются Норлальньзг жг скоросзли изленлютсл так же, как и скорости лри центральном ударе. В частности, при столкновениях не изменяются состояния ЕР, в агцения шаров.
Это было бы возможно только при наличии тангенциальных сил. .с,ш шарм одинаковьь то при столкновении они обмгниваютгя нормальными гхорастяни, тангенциильнмг скорости их остаются неизленнмли. 7. Отметим с.тучай, когда масса одного из шаров бесконечно велика. В этом случае скорость большего шара при столкновении вообще не изменяется. Устремляя радиус этого шара к бесконечности, в пределе придем к задаче о столкновении гладкого упругого шара с гладкой плоской степкой. Если связать систему отсчета с такой стенкой, то можно сказать, что при столкновении с ней тангенпиальная скорость шара не меняется, а нормальная меняет знак. Это значит, что шар отражается от стенки «зеркаланоа: его скорость по величине не изменяется, а угол падения равен углу отражения.
ЗАДАЧ И К На гладком горизонтальном столе лснгит игар массы тз, соединенный с пру. жиной жесткости й. Второй конец пружины закреплен (рис 52). Происходит лабовос упругое соударепне мого шара с другим шаром, масса которого тз меньше 9 згвть ~„~з Рис. 53. Рис. 52. т,, а снорость равна о. В какую сторону будет двигаться второй шар после удара? Определить амплитуду колебаний первого шара А после соударсния. О т в е т. После соударения второй шар отскочит назад. 2тзо -х / т, тз+т р' К ' % зз) АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР 2. Система состоит из двух шариков с массами т и М, соединенных между собой невесомой пружиной с коэффициентом упругости (г (рис.
53). Третий шарик с массой т, движущийся вдоль оси пружины со сйоростью о, претерпевает упругое столкновение с шарином т, как указано на рис. 53. Считая шарики абсолютно жесткими, найти после столкновения: 1) кинетическую энергию К движения системы как целого; 2) внутреннюю энергию системы Е„„; 3) амплитуду колебаний одного шарика относительно другого А. До удара система покоилась, а пружина не была пеформирована. Какие шарики могут рассматриваться как абсолютно жесткие? ( )3 М з.ЗА,ч Мт О т в е т. Ц К = -, 2) Е„, =,; 3) А = о ~~? 3. Ядра дейгерия О и трития Т могут вступать в реакпию О+Т-» Нег+и-1-176 МэВ, в результате которой образуются нейтроны и и сс-частицы, т. е.
ядра гелия Не'. При каждой реакции выделяется энергия 17,6 МэВ. Определить, какую энергию уносит электрон и какую а.частнца. Кинетические энергии, которыми обладали частицы до реакции, пренебрежимо мачы. П о я с н е н и е. Дейтерий — изотоп нодорода с атомным весом 2, тритий— изотоп водорода с атомным весом 3, Нег — обычный гелий с атомным весом 4. О т в е т. а-частица уносит 3,5 МэВ, нейтрон — 14,1 МэВ. 4.
Ядра дейтерия О могут вступать друг с другом в реакпию, в результате которой образуется протон и ядро трития Т. Каждый протон уносит кинетическую энергию 3 МэВ. Какую кинетичесхую энергию уносит ядро атома трития и канон общий энергетический выход реакции? Кинетические энергии, которыми обладали настины до реакции, пренебрежимо малы. О т в е т. Ядро трития уносит энергию 1 МэВ; общий энергетический выход реакции 4 МэВ. 5. Ядра дейтерия могут вступать также в реакцию Т?+)у-»Нее+и+3,25 МэВ. Какую энергию уносит нейтрон и какую ядро гелия Нез с атомным весом 3? Кинетические энергии, которыми обладали частнны до реакнии, пренебрежимо малы. О т в е т. Нейтрон уносит энергию 2,44 МэВ, ядро Нез — 0,31 МэВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
