Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 46
Текст из файла (страница 46)
х — 13 Формула (36.8) годится также для вычисвенни моментов инерции прямоугольного параллелепипеда относительно его геометрических осей. В этом можно убедиться, если мысленно сжать параллелепипед ндоль одной из геометрических осей в прямоугольную пластинку — при таком сжатии момент инерции относи. тельно этой оси не изменяется. Формула (36.8) дает момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно той его геометрической осн, которая проходит через центр основания с длинами сторон а и 5.
На рис. 66 эта ось перпендикулярна к плоскости рисунка. 6. Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момомент инерции относительно оси Е (рис. 67), очевидно, равен 1 =т)7з, где )7 — радиус кольца. Ввиду симметрии 1з = 1ю Поэтому из формулы (36.4) находим 1„1„= — тЮ 1 (36ПО) вычислвнив момвнтов инврции й зз! Формула (36.9), очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно сто геометрической оси. Рис.
68. Рис. 67. 7. Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с по. стоянной плотностью. Пусть ось 2 проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 68). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом г и наружным радиусом г+ г(г. Площадь такого кольца п5 = 2лгдг. Его момент инерции найдется по формуле (36.9), он равен п1»= гент. Момент инерции всего диска определяется интегралом 1, =~ гз г)пь Ввндуоднороднасти г)5 г о'г диска 3т=т --=2т — где 5 = пЯз — площадь всего диска. Вводя зто 5 )7з' выражение под знак интеграла, получим 1г= — ! ганг=--ш)гз 2шг ! -ж~ Момент инерции диска относительно диаметра вдвое меньше, как это непосредст.
венно следует из формулы (36.4) и из соображений симметрии: 1г 1з лг)г ! (36.!2) Формула (36.! !) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси. г Л 8, Момент инерции однородного сплош- /г ного цилиндра относительно поперечной ~йг оси, Пусть ось вращевия нроходнт через 11 ! К центр основания цилиндра А перпендикулярно к его продольной геометрической оси (рис. 69), Вырежем мысленно Рис. 69. бесконечно короткий цилиндр с массой г)ш, находящийся от оси вращения на расстоянии х. Для его момента инерции по теореме Гюйгенса — Штейнера можно написать А + 2 4 а для момента инерции всего цилиндра 1 = ~ ха от+ — Йз ~ Йл, 188 момвнт количвствл двидсвния !гл. у Первое слагаемое в правой части формально совпадает с выражением для момента инеРции одноРодного бесконечно тонкого стеРжна, а потомУ Равно г!а ши.
ВюРое слагаемое равно '!, т)7э. Следовательно, 4 1,, ! Момент инерции ! относительно поперечной геометрической оси, проходяшей через центр масс цивиндра,можно найти по формуле (36.!3), если цилиндр разделить на два цилиндра с высотами !72 и массами т!2, Получим 1 „1 )с '12~в( + 4 ш)7 ' (36. Н) 1О. Момент инерции сплошного однородного шара.
Сплошной шар можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами г((г йи (см. рис. 68). Так как шар по предположению однороден, то йи=т---, )7 ' где г()г=4лг г(г — объем сферического слоя, а )г= — 77 — объем всего шара. По — е 4я 3 формуле (36.15) момент инерции сферического слоя относительно диаметра 2 равен Ы.= — гйп гз=2т —. Интегрируя, по3 лы' / лучаем момент инерции сплошного шара 7= -тФ.
2 (36.16) !1. Момент инерции однородного эллипса. Предполагается, что масса равномерно распреl делена по плошади эллипса. Эллипс мон но получить нз круга равномерным сжатием вдоль одного из его диаметров, например вдоль оси У Рис. 70. (рис. 70). При таком сжатии момент инерции относительно оси г' не меняется. Первоначально он был Равен '/гшаэ (а — РадиУс кРУга, сжатием которого получен эллипс, он равен длине большой полуоси эллипса).
Аналогичное рассуждение применимо и для оси Х. В результате получим )х — тйз, ! х ьа лшз, 1 ! 4 ' " 4 (36.! 7) Момент инерции относительно оси Я, перпендикулярной к плоскости эллипса, найдется по формуле (36.4): 7 =- (ах+Ь'). 4 (36. 18) Формула (36.18) дает также момент инерции однородного эллиптического ци- линдра относительно его продольной геометрической оси.
При )7 -ь 0 формулы (36 13) и (36.14) переходят в формулы (36.5) и (36.6) для бесконечно тонного стержня. 9. Момент инерции полого шара с бесконечна тонкими стенками. Сначала аайдем момент инерции В относительно центра шара. Очевидно, ои равен  — — т)7э. Затем применяем формулу (36.3), полагая в ней ввиду симметрии!„= )а == 7, —.— 1, В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра [ =- — ш)7з. 2 3 (36.15) 4 зт) движущиеся ндчдлд н движущиеся оси (69 ИН Момент инерции трехосного эллипсоидв. Предполагается, что масса равномерно распределена по объему эллнпсоидз.
Координатные оси Х, )», 3 направим вдоль главных осей эллипсоида. Длины полуосей эллипсоида обозначим а, Ь, с. Вычислим момент инерпии его относительно главной оси 3. Эллипсоид может быть получен из шзрз равномерным сжатием или растяжением по трем взаимно перпендикулярным направлениям, например по направлениям осей Х, )», Е. Возьмем однородный швр радиуса а.
Его момент инерции 1 = з1згаа'. Произведем однородное сжатие в направлении оси 3, чтобы шар превратился в бесконечно тонкий круглый дисн (конечно„ с неравномерным распределением масс). Момент инерции 1» при этом остается неизмененным, в моменты инерции 1» и 1п будут равны между собой ввиду симметрии. На основании соотношения (36.4) 1» = — 1„==- '1з!, =- (1эша'"'. Произведем затем равномерное сжатие круглого диска в нзпрзвленйи оси г', чтобы его размеры в этом направлении сделались равными 2Ь. При этом момент инерции 1з останется неизменным, а 1„сделается равным 1» — — гузтзз.
Применяя снова соотношение (36.4), для момента инерции 1 полученного эллиптического диска найдем 1» = 1„+ 1э — — Цьт (а' + Ьэ). Наконец, произведем равномерное растяжение эллиптического диска в направлении оси Я, чтобы он превратился в трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с. Прн этом величина 1, не изменится. Таким образом, момент инерции трсхосного эллипсоидв относительно осн Я ранен (36.
гй) 1, = . (аз+ Ьз). Моменты инерции относительно остальных двух главных осей равны соответственно пг га 1,=- — (Ьз+сз), 1, =--(се+пан В 37. Уравнение моментов относительно движущегося начала и движущейся оси 1. Уравнение моментов (30.5) справедливо для того случая, когда начало О, относительно которого рассматриваются моменты Е и 1И, нег1одвижно.
Точно так же уравнение (32.2) относится к моментам относительно неподвижной оси. В некоторых случаях, 'однако, целесообразно рассматривать двилсди(неся начала или движущиеся оси. Исследуем, как меняется в этом случае уравнение моментов. Особый интерес представляют случаи, когда уравнение моментов относительно движущегося начала сохраняет прежний вид (30.5). 2. Рассмотрим сначала одну материальную точку, Будем понимать под тз и р ж гпп скорость и импульс этой точки относительно неподвижной инерциальной системы отсчета 5, а под г — ее радиус-вектор, проведенный из движущегося начала О.
Движение начала О может быть как равномерным, так и неравномерным. Скорость этого движения обозначим через тто. Момент импульса движущейся точки относительно начала О определим прежним выражением (30.3), т. е. х. = ( р). Как и раньше, дифференцированием этого выражения найдем А = ~гр1+ ~гр1. 1во момвнт количвствл движвния [гл. ч Однако теперь и означает не скорость материальной точки е, а разность между этой скоростью и скоростью движущегося начала ео.
Таким образом, ~- = [( — ео) р'1+ РЯ. или ввиду уравнения Ньютона р = Р и коллинеарности векторов е н р Е = — [кР1 — [еор1, или, наконец, А = М вЂ” [еор). (37.1) Чтобы обобщить это уравнение на случай системы материальных точек, напишем его для 1-й материальной точки Е, = М, + +[еорД, а затем просуммируем по всем 1.
Таким путем снова получим уравнение (37.1). Однако теперь р будет означать импульс всей системы материальных точек, а М вЂ” момент действующих на нее внешних сил. Импульс р можно представить в виде р = тес,где ес — скорость центра масс системы. Таким образом, Е =- М вЂ” т [еоес) (37.2) Это и есть уравнение моментов относительно движущегося начала. Если движущееся начало О совпадает с центром мисс С системы, то ео = ес, и формула (37.2) переходит в прежнее уравнение (30.5).
Уравнение моментов относительно центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижного начала. Более того, в этом случае скорости е материальных точек не обязательно рассматривать относительно неподвижной системы отсчета 5. Их можно брать и относительно самого центра масс С, считая его как бы неподвижным. Если центр масс С движется прямолинейно н равномерно, то это утверждение непосредственно следует из принципа относительности.
Но оно справедливо и в случае ускоренного движения центра масс. В самом деле, скорость каждой материальной точки может быть представлена в виде е = ес + е„„, где 億— скорость точки относительно центра масс С. Поэтому Е =К[гте1=»" [гп1ес)+К[кте.„,) Предпоследняя сумма в этом равенстве равна нулю. Действительно, так как скорость ес одна и та же для всех слагаемых суммы, то ее можно вынести из-под знака суммы, что дает — [ес,У, 'тг~= = — [есгс1 ~ т, где нс — радиус-вектор центра масс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
