Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Ответ. Т=Т,) — ) *=1,3.10 а с. !)и) и '~р) 2В. Гладкий твердый стержень длины !а и массы М равномерно вращается с угловой скоростью юа вокруг неподвижной оси, проходящей через один из концов стержня перпендикулярно к его продольной оси. На стержень надет ша. рнк массы т. Вначале шарик находится на свободном конце стержня и вращается вместе с ним (упор, имеющийся на конце стержня, не позволяет шарику соскользнуть со стержня). В некоторый момент шарику сообщается скорость и, направленная вдоль стержня к оси вращения. Определить наименьшее расстояние 1, до которого приблизится шарик к оси вращения, и угловую скорость системы оз в этом положении.
В какую сторону будет изогнут стержень, когда шарик движется по направлению к оси вращения? Как изменится изгиб стержня, когда шарик, достигнув наименьшего удаления до оси, начнет двигаться в обратном направлении? г газ Ответ. ю А ше + 1 (- ! — 1„1! — Прн приближении шарика — М+ш) !гоп к оси вращения стержень будет нагибаться в сторону, противоположную вращению. Прн удалении шарика изгиб стержня изменится в обратную сторону. В 38. Законы сохранения и симметрия пространства и времени 1.
Закон сохранения энергии является следствием однородности времени, закон сохранения импульса — следствием однородности пространства, а закон сохранения момента импульса — следствием изотропии пространства. Такое утверждение встречается очень часто. Однако из-за своей краткости оно может привести к ошибочным представлениям.
Можно подумать, что указанных свойств пространства и времени достаточно, чтобы вывести эти законы сохранения. А это неверно. Перечисленные законы сохранения являются следствиями второго закона Ньютона (или законов, ему эквивалентных), если его дополнить некоторыми утверждениями относительно действующих сил. Так, при выводе законов сохранения импульса и момента импульса достаточно предположить, что силы подчиняются закону равенства действия и противодействия. Но вместо этого закона можно воспользоваться и другими положениями. И утверждение, приведенное в начале этого параграфа, надо понимать в том смысле, что перечисленные в нем законы сохранения можно получить из впюрого закона Ньюпюна, если к нему присоединить свойства симметрии пространства и времени, а именно: однородность пространства и времени, а также изотропию пространства. Впрочем, при выводе закона сохранения энергии надо ввести и некоторые более специальные предположения относительно характера действующих сил.
2. Прежде чем приводить вывод законов сохранения, использующий однородность и изотропию пространства, а также однород- момвнт количвствл двнжвння ~гл. ч ность времени, необходимо точно сформулировать, какой смысл вкладывается в эти свойства пространства и времени. Говорят часто, что однородность времени означает равноправие всех моментов времени. Однородность пространства означает, что в пространстве нет выделенных положений, все точки пространства равноправны. Аналогично, изотропия пространства характеризуется отсутствием в нем выделенных направлений, все направления в пространстве эквивалентны.
Но такие формулировки слишком неопределенны и при буквальном понимании просто неверны. Направление к центру Земли, например, резко отличается от всякого горизонтального направления. Для альпиниста положения его у подножья и на вершине Эльбруса отнюдь не эквивалентны. Тело на вершине горы, представленное самому себе, может скатиться вниз. Но оно никогда не поднимется от подножья горы к ее вершине, если ему не сообщить надлежащей скорости. Точно так же для человека моменты времени, когда он молод, полон энергии н снл и когда он стар и находится на склоне лет, отнюдь не эквивалентны. Что же такое однородность времени, однородность и изотропия пространства? Однородность времени означает, что если в два любые момента времени все тела замкнутой системы поставить в совершенно одинаковые условия, то начиная с этих моментов все явления в ней будут протекать совершенно одинаково.
Однородность пространства' означает, что если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в другое, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последующих явлений. В том же смысле надо понимать и изотропию пространства, только вместо переноса замкнутой системы надо говорить об ее повороте в пространстве на любой угол. Здесь необходимо сделать такое же замечание, что и в Э 15 в связи с принципом относительности Галилея.
Нельзя понимать под замкнутой системой тел всю Вселенную. Если поступить так, то перечисленные свойства симметрии пространства и времени стали бы самоочевидными. Но оии стали бы и бессодержательными. Ибо говорить о переносе или повороте системы тел можно только по отношению к каким-то другим телам. Речь идет не о всей Вселенной в целом, а о таких частях ее, которые можно рассматривать как (приближенно) замкнутые системы. Отсюда ясно, что свойства симметрии пространства и времени, о которых мы говорили, отнюдь не самоочевидны. На них надо смотреть как на фундаментальные обобщения опытных фактом 3.
После этих разъяснений обратимся к выводу закона сохранения энергии в механике. Из динамики мы заимствуем следствие второго закона Ньютона, выражающееся формулой А =Кь — К (38.1) ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ а ав1 т. е. работа сил над механической системой равна приращению ее кинетической энергии К (см. 8 22). Следующую часть наших рас- суждений проведем применительно к одной материальной точке. В случае системы материальных точек все будет обстоять так же, изменится только число аргументов, от которых зависит потен- циальная функция У, вводимая ниже. Предположим, что проекции силы Р„, г"„Р„действующие на материальную точку, могут быть получены дифференцированием потенциальной функции У: Однако сама потенциальная функция У может зависеть явно не только от координат к, у, г рассматриваемой материальной точки, но и от времени й У = У (х, у, г, 1).
Например, это будет так, когда точка находится в силовом поле других тел, которое меняется во времени. Работа, производимая действующими силами над мате- риальной точкой при перемещении ее вдоль некоторой кривой из положения 1 в положение 2, представляется интегралом Ага= — ~ (д-„««+д-Ф+д-; с(~), взятым вдоль той же кривой. Прибавим и вычтем под знаком инте- дУ грала член — г(1. Тогда, вводя полный дифференциал Вих Ои т~ т,„ дг дв У дг д1 представим предыдущее выражение в виде Ага = — ~ ~(1+ ~ — й. В таком виде оно справедливо и для системы материальных точек. Поэтому дальнейшие рассуждения не связаны с предположением, что система состоит из одной материальной точки.
После интегрирования получаем Комбинация этой формулы с (38А) приводит к соотношению (Ка+(1 ) — (Кг+()г) — $ д, г(1. (38.3) До сих пор мы не использовали условие замкнутости системы н свойства однородности времени, поэтому наши рассуждения применимы и для незамкнутых систем. Допустим теперь, что система замкнута. Тогда ввиду однородности времени функция (1 не может дУ явно зависеть от времени, т. е. -- = О.
В результате получим д1 Ка + ('а = 1(а+ (уа. (38.4) мОмент кОличестВА дВижения т. е. уравнение, выражающее механический закон сохранения энергии. 4. Перейдем к доказательству закона сохранения импульса. Допустим, что механическая система замкнута. Все силы гт, Еэ„..., действующие на материальные точки системы, являются силами внутренними, внешних сил нет. Перенесем систему из произвольного положения Е в другое произвольное положение 2, чтобы все материальные точки ее претерпели одно и то же смещение г и притом так,' чтобы их скорости остались прежними по величине и направлению.
Ввиду однородности пространства на такое перемещение не требуется затраты работы. Но зта работа представляется скалярным произведением (гх+ ге+ ...) г. Значит, оно равно нулю, каково бы ни было смещение г. Отсюда следует, что для замкнутой системы гт + гз + ... =- О. А зто есть как раз то условие, при выполнении которого из второго закона Ньютона получается закон сохранения импульса (см. 5 12). 5. Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы доказывается в точности так же. Используя изотропию пространства, можно доказать, что геометрическая сумма моментов внутренних сил, действующих в системе, равна нулю: (т(т + М, + ...
= О (см. задачу 2 к З 46). Отсюда немедленно следует рассмариваемый закон (см. 5 30). ЗАДАЧ И 1. Пусть У (гт, гз) означает потенциальную энергию взаимодействия двух МатЕРИаЛЬНЫХ ТОЧЕК КаК ФУНКЦИЮ РаДИУСОВ-ВЕКТОРОВ Г, И Гз, ОПРЕДЕЛЯЮШИХ их положения в пространстве. Используя однородность пространства, доказать, что ГЕ является функцией только разности гз — гт. Обобщить результат на случай системы п взаимодействующих материальных точек. Р е ш е н н е. Ввиду однородности пространства потенциальная энергия (Е не изменится, если обе взаимодействующие точки сместить на один и тот же вектор а. Записанное математически, это условие гласит; У (г„ г,) = (Е (г, + а, Г, +а). Это соотношение должно выполняться, каков бы ни был вектор а. Полагая а = — Г,, получим ГЕ = ГЕ(0, г — г,), т.е.
(Е= Е(Г, — г,), где )в какая-то функция только разности Г, — Г,.' Если система состоит из и взаимодействующих материальных точек, то, рассуждая аналогично, найдем и=Е(г,— „г,—,, ...). Разумщчся, вместо первой точки можно взять любую из материальных точек системы. Значит, потенциальная энергия У может зависеть только от л — 1 векторных аргументов: разностей радиусов-векторов каких-либо л — ! точек системы и радиуса-вектора остальной точки. 2.
Какие дополнительные ограничения накладывает на вид функции У изотропия яространства? О т в е т. Потенциальная энергия ГЕ может зависеть только от расстояний канах-либо л — ! материальных точек системы от остальной точки. 3. Используя однородность пространства и галилеевский принцип относительности, показать, что сила взаимодействия материальных точек ! и 2 не за. висит от их координат н скоростей, а может зависеть только оа разнослмй этих координат и скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
