Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 48
Текст из файла (страница 48)
авдее в контакт с диском В, ось вращения которого перпендикулярна к осн диска А . Масса диска В равна М,, а расстояние между точкой соприкосновения и осью диска А равно а. Найти установившиеся угловые скорости дисков ю, и ых и потерю энергии в процессе установления. Трением в осях, а также трением начения пренебречь. М,г," Мгг', а ' а Ответ. ых=М», 14, г»», ыз= 14», 11 э — ю»=- г»м хг'+ за ',г'+ за' ге гз Потеря энергии М,М»г;'аз 4 (Мгг,'+ М.аз) 13.
Вертикальный столб высотой ( подпиливается у основания и падает на землю, поворачиваясь вокруг нижнего основания. Определить линейную скорость его нерхнего конца в момент удара о землю. Какая точка столба будет в этот момен~ иметь ту же скорость, какую имело бы тело, падая с той же высоты, как и данная точка? Ответ. о= ) 33(. Искомая точка находится на расстоянии х= з?з! ат основания столба. 1б. Изменится ли ответ в предыдущей задаче, если столб первоначально стоял в вертикальном положении на абсолютно гладком льду, а затем начал падать под действием силы тяжести? Чем будет отличаться движение столба в этои случае от движения в предыдущем случае? Р е ш е н и е. По теореме Кенига кинетическая энергия столба слагается из кинетической энеРгии движении его центРа масс Пз пю- со скоРостью ос и кинетической энергии вращения г?з )е?з яокруж центра масс с угловой скоростью сь 198 МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЙ !ГЛ.
У а) б) 0 Рис. 79. Рнс. 80. 17. Однородный стержень массы т и длины 1 (рис. 79) падает без начальной скорости из положения 1, вращаясь без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Найти горизонтальную Р р и вертикальную Р ре составляющие силы, с которыми ось О действует на стержень в горизонтальном положении 2. Р е ш е н и е. Кинетическая энергия стержня в горизонтальном положении '1в 1ы' = 'Iе тп1. Центростремительное ускорение центра масс стержня в том же положении юв112, Отсюда по теореме о двиткенни центра масс .1 т!в 3 Рте р тюе = тн тк.
2 21 2 Применив к вращению стержня в положении 2 уравнение (33.4), получим аю 1 е(1 ь 2' Отсюда находим вертикальную составляюшую ускорения центра масс в том же положении: бщ тд12 3 а= — -.- =. — = — вт 2 е)1 41 4в' Далее, В реаультате получится та =-тй — Рверт.
! Рверт= не (Ы а) =' тй' 4 !8. Лбсолютно твердая однородная балка веса Р лежит своими концами на двух абсолютно твердых опорах (рис. 80, а). Одну нз них выбивают. Найти на~альную силу давления, действующую на оставшуюся опору (рис 80 б). Ответ. Р='lеР. За время падения центр масс проходит путь 1/2. При этом совершается работа тф/2, которая идет на приращение кинетической энергии: тос 1еоз т81 — + — — = —. 2 2 2 В нижнем положении, когда столб горизонтален, и. = Пв 1сь Имея это в виду., а также используя выражение 1= '1, тР, получим э = Пв 'г'381. Скорость верхнего конца столба вдвое больше, т.
е. равна о = Р Зф, Отсюда видно, что результапя будут такими же, что и в предыдущей задаче. Однако характер движевия будет другим. В предыдущем случае столб при падении вращался вокруг своего нижнего основания. При этом центр масс столба двигался по дуге окружности. В рассматриваемом случае, поскольку все действующие силы направлены вертикально, центр масс столба при его падении все время будет находиться на одной и той же вертикали.
197 движкщився илчллл и движкщився оси 4 зт] из его концов, то получится Р = 4тя. 20. Человек иа аттракционе «гигантские шаги« движется по замкнутой траектории таким образом, что достигаемая им высота относительна положения равновесия меняется в пределах отоман до Ьмакс. Определить максимальную и минимальную скорости человека при таком движении, если длина веревки, на которой он удерживается, равна 1.
Р е ш е н и е. На основании закона сохранения энергии аа+ 288 = сопи. (37.3) Момент силы тяжести относительно точки подвеса ие имеет вертикальной составляющей. Момент силы натяжения веревки равен нулю. Поэтолау при дви- женин человека вертикальная составляющая его Рис. 81. момента количества движения остается неизменной. В положенинх, где высота Л максимальна или минимальна, скорость человека о горизонтальна, а момент количества движения равен пшг, где г — расстояние до вертикальной оси, вокруг которой вращается человек. Значит, в этих положениях величина аг одна и та же.
В момент, когда высота Ь максимальна или минимальна, опишем в вертикальной плоскости окружность с центром в точке подвеса О, проходящую через точку нахождения человека М (рис. 81). По известной геометрической теореме гз = А В. ВС, или га = (21 — й) Л. Поэтому в положениях, где й максимальна и минимальна, (21 — Л) йаа = сопз1. (37.4) Запишем соотношения (37.3) и (37.4) для этих положений, имея в виду, что максимуму 6 соотнетствует минимум а, и наоборот.
Получим: пмакс+2н)«мин "мин+ аймака (21 Лани) Лминамаакс (21 Ланкс) 1«максамин ° Решая эти уравнения, получим а 2яймакс (21 Лмакс) (37,5) макс 21 (Л 1 1« ) 2йй„аа (ж — йман) 21 — (Ьм,к,+ Лини) ' При этом учтено, что в реальных условиях Ь < 1, так что величина (37.5) действительно максимальна, а (3?.6) — действительно минимальна. Если лн,к, и Лиан пренебрежимо малы по сравнению с 1, то "*"макс = 28йианс амин =28ймик (37.7) (37.8) Когда балка лежала на двух опорах, на каждую из опор действовала сила а1а Р. При быстром удалении одной из опор сила, действующая на оставшуюся опору, скачкообразно уменьшается вдвое.
Такое скачкообразное нзменение связано с идеализацией — балка и опора считаются абсолютно твердыми. Реальные балки и опоры деформируются. При учете этого обстоятельства нагрузка на опору Р будет меняться непрерывно. 19. Гимнаст на перекладине выполняет большой оборот из стойки на руках, т. е. вращается, не сгибаясь, вокруг перекладины под действием собственного веса.
Оценить приближенно наибольшую нагрузку Р на его руки, пренебрегая трением ладоней о перекладину. 4а'т 1 Ответ. Г= !+ — 'тя, где сп — масса, 1 — момент инерции чело- 1 века относительна перекладины, а — расстояние между осью вращения и центром масс человека. Если при оценке момента инерции моделировать человека однородным стержнем, вращающиясся вокруг одного С 108 1гл.
у МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 21. По внутренней поверхности конической воронки, стоящей вертикально, без трения скользит маленький шарик (рис. 82), В начальный момент шарик находился ва высоте йз, а скорость его ве была горизонтальна. Найти о„ если известно, что при дальнейшем движении шарик поднимается до высоты Ь, а затем начинает опускаться. Найти также скорость шарика в наивысшем положении е.
2ййз 255' О т в е т. оа = — ее = й+й, и+А„ 22. Тяжелая веревка (линейная плотность р) длины 5 перекинута через блок с моментом инерции и радиусом г. В начальный момент блок неподвижен, а больший из свешивающихся концов веревки имеет длину 1. Найти а угловую скорость вращения блока ю, когда веревка сода скользнет с нега, Веревка двигается по блоку без скольжения, трение в оси блока не учитывать. О т в е т.
юе =,, (йз+ 4га — Р— (1. — 1 — пг)з!. рд Рис. 82. 1 ! (ргь У к а з а н н е. Воспользоваться законом сохранения эвергии. 23. Метеорит ыассы т = 10"" т, двигавшийся со скоростью о = 50 кмус, ударился о Землю на широте 0 = — 60'. Вся его кинетическая энергия перешла в тепловую (внутреннюю) энергию, а сам он испарился. Какое максимальное влияние мог оказать удар такого метеорита на продолжительность суток? О т в е т.
Максимальное изменение продолжительности суток АТ, вызван. ное ударом метеорита, определяется формулой АТ то)с соз 0 Т 2л! где Т = 86!64 с — продолжительность суток, )1 = 6400 км — радиус, М = =- 6 1Ом т — масса Земли, 1 — ее момент инерции. Если считать Землю однородным шаром, то 1 = Я)з М)1з (на самом деле из.за возрастания плотности к центру Земли момент инерции ее несколько меньше и составляет приблизительно 1= туэ МП'). В результате получится ЬТ1Т 2 1О з, ЬТ 2 1О ш с. 24. Оценить, с какой минимальной скоростью о нужно выпустить на экваторе Земли снаряд массы т = 1000 т, чтобы изменить продолжительность земных суток на о Т = 1 мин? О та е т. Наивыгоднейшим является выстрел в горизонтальном направле. нии в плоскости экватора.
В этом случае с — о 5 тзсвТ4 25 тнкеТ4 с 18 пз!М (АТ)з 36пзМзРз (ухТ)з где с — скорость света в вакууме. Остальные обозначения такие же, как в предыдущей задаче. Относительно приближенных вычислений см. 3 22. 25. Пульсарами называются небесные объекты, посылающие импульсы радиоизлучевия, следующие друг за другом с высокостабильными периодами, которые для известных к настоящему времени пульсаров лежат в пределах примерно от 3 10 ' до 4 с.
Согласно современным представлениям пульсары представляют собой вращающиеся нейтронные звезды, образовавшиеся в результате гравитационного сжатия. Нейтронные звезды подобны гигантским атомным ядрам, построенным из одних только нейтронов. Платность вещества р в нейтронной звезде не однородна, но прн грубых оценках ее можно считать одной и той же по всему объему звезды и по порядку величины равной !О" гусмз. Оценить период вращения Т, с каким стало бй вращаться Солнце, если бы оно превратилось в нейтронную звезду. Пчотность вещества Солнца возрастает к его центру, а различные слон его вращаются с различными скоростями. При оценке этими обстоя- ЗАКОНЫ СОХРАНЕГГИЯ И СИММЕТРИЯ тельствами пренебречь и считать, что средняя плотность солнечного вещества р„ =- 1,41 г)см', а период вращения Солнца Т, = — 2,2 1О' с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
