Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 1. Механика (1111909), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Он равен нулю, так как начало координат О по условию помещено в центре масс. Итак, Е =Х[гте...), что и доказывает наше утверждение. Второй, более общий, случай, когда уравнение (37.2) переходит в простую форму (30.5), получается тогда, когда скорости ео и ес 19! й зг1 ДВИЖУЩИЕСЯ НАЧАЛА И ДВИЖУЩИЕСЯ ОСИ ЗАДАЧ И 1. Определить ускорения тел и натяжения нити на машине Атвуда, пред- полагая, что глз ) ш, (рис. 7!).
Момент инерции блока относительно геометрн- чесной оси равен 7, радиус блока г, Массу нити считать пренебрежимо малой. Р е ш е н н е. Ввиду того, что масса нити пренебрежимо мала, изменения натяжений Т, и Т, вдоль нити мо»кно не учитывать. Уравнения движения грузов и блока будут юга= Т,— т»у, а»га = ш,а — Т,, ! - =г(тз — Т). йо йг = тз Если нет проскальзывания нити по блоку, то Вы г — =а„ в! Решая зти уравнения, получим шз — шг а= а, шд+шз +- т после чего находим Т, и Т,, Если масса блока пренебрежимо мала, то Т, =.- Т,.
2. К шкиву креста Обербека (рис. 72) прикреплена нить, к которой подвешен груз массы М = 1 кг. Груз опускается с высоты )г= ! и до нижнего положения, а затем начинает подниматься вверх. В зто время происходит <рывок», т. е. уве- личение натяжения пити. Йаати натяжение нити Т при опускании или под- нятии груза, а также оценить приближенно натяжение во время рывка Тры,. Радиус шкива г = 3 см. На кресте уиреплены четыре груза с массой ш = 230 г каждый па расстоянии )7 =- 30 см от его оси. Моментом инерции самого креста и шкива пренебречь по сравнению с моментом инерции грузов. Растяжение нити во время рывка не учитывать.
Ответ. Т= —,= —,=099Т, Ме Ма Мгз — Мго — о 1+ — 1+ —, 4шдз ар Рис. 7!. «оллинеарны. В этом случае векторное произведение )тгоя!с) обращается в нуль. Таким образом, когда скорость движуигегося начала О параллельна скорости центра масс С, уравнение моментов принимает простую форму (30.5).
В этом случае, однако, при вычислении момента импульса д. надо брать скорости всех материальных точек обязательно относительно инерциальной системы отсчети 5, а не относительно центра масс. 3. Аналогичные результаты справедливы и для поступательно движущихся осей, когда при движении оси она все время остается параллельной своему исходному направлению.
11ет необходимости формулировать зти результаты отдельно, так как уравнение моментов относительно оси получается из соответствующего уравнения моментов относительно точки путем проектирования на эту ось. 192 [ГЛ. У МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ где 1 — момент инерции системы, а Т, — натяжение нити при неподвижном грузе. Среднее натяжейие нити во время рывка Трм, можно оценить следующим образом. Надо вычислить максимальную с корость груза М в нижнем положении. пг Обозначим ее о. За время полоборота шкива 31= — - — количество движения груза М о меняется на 2Мо. Зто изменение равно импульсу силы, действующей иа груз М, Миг зато же время, т.
е. (Трь„— Мд) йй Вычисления дают Тэ„„— — Мд+ —,, Т= — 1 42 То. 3. Монета массы т и радиуса г, вращаясь в горизонтальной плоскости вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью ы, вертикально падает на горизонтальный диск н прилипает к нему. В результате диск приходит во вращение вокр)т своей оси. Возникающий при этом момент сил трения в оси диска Рнс. 73.
Рис. 74. Рис. 72. постоянен и равен М,. Через каное время иращение диена прекратится? Сколько оборотов (У сделает диск до полной остановки? Момент инерции диска относительно его геометрической оси (э. Расстояние между осями диска и монеты равно ГЕ Ответ. 1= —,ы; (т'= 'гэ, где 1=1ч+т(бэ+ ЕМч ' 21 ' ч (, 21'' 4. Сплошной одйородный короткий цилиндр радиуса г, вращающийся вокруг своей геометрической осн со сноростью и об1с, ставят в вертикальном поло. женин на горизонтальную поверхность. Сколько оборотов (У сделает цилиндр„ прежде чем вращение его полностью прекратится? Коэффициент трения скольжения между основанием Пнлапдра н поверхностью, на которую оп поставлен, не зависит от скорости вращения и равен й.
Зпгпэ ' Ответ. А' =— 4йя ' 5. Тонкий стержень массы т и длины Е (рис. 73) поднешен за один конец и может нращэться без треккя вокруг горизонтальной оси. К той же оси подвешен на нити длины 1 шарик такой же массы и. П1арик отклоняется на некоторый угол и отпускается. При какой длине нити шарик после удара о стержень останонится? Удар абсолютно упругий.
Ответ. 1==.. р'з" б. Математический маятник массы т и стержень массы М (рис. 74) подвешены к одной и той же точке А, вокруг которой они могут свободно колебаться, Длина нити маятника равна длине стержня. Шарик маятника отклоняют в сторону, так что он приподнимается иа высоту Н относительно своего нижнего поло- уйз движущився нлчллл и движущився оси 6 зт) жения. Затем парик отпускают, и он сталкивается неупруто с палкой. Как будут двигаться шарик и нижний конец палнн после удара и на накие высоты онн поднимутся? Р е ш е н и е. Скорость шарика в нижнем положении до удара о „=1~2цН. Так как удар неупругнй, то непосредственно после удара шарип н нижний конец стержня в нижнем положении будут иметь одну и ту же скорость о.
Она найдется из занона сохранения момента импульса относительно оси А: т(о„= тра+ Пе, где 1 =- ')з МР— момент инерпни стержня относительно той же оси. Так как о = 1щ то написанное уравнение дает т12 зт по=, ое. 1+тд ' М Зт е. Теперь надо решить, будут ли шарик и стержень после столкновения двигать я вместе или при дальнейшем движении они разойдутся.
С этой целью вычислим скорость шарика ог и нижнего конца стержня оз при поднятии ва какую-то одну и ту же высоту Л, если бы при этом онн двнгалнсь независима друг от друга. Зги скорости найдутся из уравнений сохранения энергии 1 1, „йг оэ — оз = 2ййм —;- (гд — о)) =Мл -'-. 2 1' Преобразовав второе уравнение к виду ох о( 3йй видим, что о, > гз. Поэтому в любом положении шарик будет стремиться обог. пать стержень. А так как шарик движется позади стержня, то он все время будет прижиматься к стержню.
Отсюда следует, что после удара шарик в стержень будут подниматься нак единое тело. Высоту поднятия й легко определить из закона сохранения энергии. Она равна 1+ти „бл,з (М+2т) д1з (М+2т) (М+Зт) 7. Решить предыдущую задачу в предположении, что до удара был отклонен стержень(нвжний конец его был поднят на высоту Н). О т в е т.
После удара шарик поднимается на А Л11 высоту нижний конец стержня — на высоту "=~М+,) "=-Злы 8. Твердый стержень длины 1 и массы М может вращаться вокруг горизонтальной оси А, проходящей через его конец (рис. 75). К той же оси А подвешен Рис. 75. математический маятник такой же длины 1 и массы т.
Первоначально стержень занимает горизонтальное положение, а затем отпускается. В нижнем положении происходит идеально упругий удар, в результате которого шарик н стержень деформируются, и часть нинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем деформация уменьшается, и запасенная потенциальная энергия вновь перехо- !94 (ГЛ. У МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ днт в кинетическую, Найти значение потенциальной энергии деформации (Г в момент, когда она максимальна. ! шР 3 Мш Ответ.
0 = — —. М((! =— 2 1-(-ш(з 2 М+Злг я(, где 1 — момент инерции стержня. 9. Вертикально висящая однородная доска длиной Е = ),5 и и массой М = !О кг может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через ее верхний конец. В нижний конец доски ударяет пуля, летящая горизонтально с начальной скоростью !'е = 600 и/сек. Пуля пробивает л доску н летит далее со скоростью (г.
Определить скорость У, если после выстрела доска стала колебаться с угловой амвлнгудой а = О,! рад, Масса пули гл = (О г. М1/2, а )!1 г О т в е т. г' = !'а — — 1~ — я(. мп — = 444 м)с. ш г 3 2 )О. В общей точке подвеса А (рис. 76) подвешены шарик на нити длины ! и однородный стержень длины Е, г отклоненный в сторону на некоторый угол. При возвра- ЛГ шенин- стержня в положение равновесия происходит упругий удар. Прн каком соотношении между массами Рис. 76.
стержня М и шарика ш шарик н точка удара стержня будут двигаться после удара с равными скоростями в противоположных направлениях? При каком соотношении между массами М и т описанный процесс невозможен? О та е т. М).з = тР. Так как 1. ="1, то для возможности процесса необходимо М ~ пь При М ) гл процесс невозможен, !!.
На горизонтальный диск, вращающийся вокруг геометрической оси с угловой скоростью шн падает другой диск, вращающийся вокруг той же оси с угловой скоростью ыз. Моменты инерции дисков относительно указашюй оси равны соответственно 1, и 1,. Оба диска при ударе сцепляются друг с другом (при помощи острых шипов на их поверхностях). На сколько изменится общая кинетическая энергия вращения системы после падения второго диска? Чем объясняется изменение энергии? Геометрические осн обоих дисков являются продолжением одна другой. О т в е т.
Кинетическая энергия вращения уменьшится на ! 1,1, 21+1 ( г г 3 )2. Шкивы двух маховиков соединены ремнем (рнс. 77). Радиусы шкивов равны )?, и )?а. Моменты инерции маховиков относительно их геометрических Рнс, 77. осей равны 1х и 1з.
Удерживая нторой маховик и ремень неподвижными, раскручиваот первый маховик до угловой скорости ы„вследствие чего между осью первого маховика и ремнем возникает скольжение. Затем ремень и второй маховик отпускают, Пренебрегая всеми силами трения, за исключением сил тре- ДВИЖУШИЕСЯ НАЧАЛА И ДВИЖУШИЕСЯ ОСИ 195 ния скольжения между ремнем и осями маховиков, найти установившиеся скорости вращения маховиков ыг и ыю т.
е. скорости после прекращения скольжения. Найти также потерю ЬК кйнетической энергии на трение скольжения. Массой ремня пренебречь. Р е ш е н и е. Благодаря трению скольжения натяжения ремня сверху Т, и снизу Т, будут разными. Применяя к маховикам уравнение (33.4), получим Й», )х — =(т,— те) Р.ь г(( г(ыз ?з — =(те — та Р, 3( Поделим эти уравнения соогветственно иа )?г и гга сложим и проинтегрируем. Тогда получим — + — соп51. 7)ыг (зы» Ях ??з Входящая сюда постоянная равна (хв„!)?х, так как в — -- ю», ыз = О. Когда скольжение прекратится, то ю,)?т ную систему уравнений, найдем угловые скорости ю, скольжения: начальный момент юг = юз(?з.
Рец~ая получен- и ю, после прекращения (.Ьо?г (г)?! ых= 7 1?з+7 ~г» ш„ ?г)?фз юз — 7 )?»+ 7)?х ы». Потеря кинетической энергии на трение равна 1 ?,?~)?э 2 (г)?„"+ )~Я;" 13. Почему в предыдущей задаче полный мо. мент количества движения систелгы не сохраняется? 14. Однородный диск А массы Мг и радиуса гг (рис. 78) раскручен до угловой скорости ы» н приРис. 78.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
