Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 2 (1111799), страница 83
Текст из файла (страница 83)
3 а меч ание 1. Если векторная функция т = т(и, и) дифференцируема в точке М(и, и), то, очевидно, векторы а и Ь равдт дт ны соответственно частным производным — и — в данной точке. ди дь. Замечание 2. Пусть векторная функция и = т(и, и) дифференцируема в точке М(и, и) и 1 некоторая ось, проходящая через М в плоскости ие и составляющая угол ст с осью и. дт Тогда производная — по направлению 1 существует и может д1 быть найдена по формуле дт дт дт — = — сов о + — вш сь д1 ди де (12.
3) В самом деле, для направления 1 имеем ли = 1соэо, сап = 1в1по (рис. 12.4). Подставляя эти значения Ьи и Ьп в соотношение (12.2) и используя соотношение дт . Лт — = 1пп — убедимся в справед- о д1 го ливости формулы (12.3). о+˄— — — — — 1и+Ли, и+Ля) 3 а м е ч а н и е 3. Мы убеди- М1и, оЯа 'Ло лись, 1то В слу зае дифференцируемости функции т = т(и, и) справедлива формула (12.3).
Из этой формулы следует, что все д1 и и+Ли векторы — расположены в плосд1 дт дт кости векторов — и †. Плосди дв' кость,проходящую через точку годографа функции т(и, и), отдт дт вечающую точке М(и, и), и параллельную векторам — и— ди де естественно назвать касательной плоскостью к поверхности Я, представляющей собой годограф.
На рис. 12.3 плоскость я представляет собой касательную плоскость к поверхности Я в точке Ро. 5. Формула Тейлора для векторных функций. Формула Тейлора для фу.пкции т = т(и, и) с центром разложения Рис. 12.4 ') Векторная функция св(Ли, Ле) называется бесконечно малой, если ее предел при Ли — ~ О и Ле -ч О равен нулю (нулевому вектору). ) ны не приводим определение днфференцируемости векторной функции одной скалярной переменной. Оно может быть сформулировано в полной аналогии с соответствующим определением для скалярных функций одной переменной.
428 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ. 12 в точке М(и, о) и с остаточным членом в форме Пеано имеет следующий вид: т(и + 2аи, О + таи) = т(и, О) + ' ) таи + ' ) таи + ди ди 1 (дат(и, и) 2 дат(и, и) дат(и, и) 2) 11, ' + и + 1 ('д" т(и., и) ь и д" т(и, и),„и 1, дт(и, и) п) п1 ~ ди" ди" 'ди ди" + Ли(тки, Ьо), (12.4) где остаточный член Ли(Ьи, ото) представляет собой вектор, поеа« ' е -» е(е=М'+ам) В справедливости формулы (12.4) можно убедиться, представляя каждую из координат вектора т(и, о) по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и записывая затем выражение для т(и + ььи, о + тао) с помощью разложения по базисным векторам (коэффициентами разложения и будут координаты этого вектора).
6. Интегралы от векторных функций. Мы уже отмечали, что векторная функция определяется своими координатами, которые представляют собой скалярные функции. Это позволяет перенести на случай векторных функций операцию интегрирования. Пусть, например, векторная функция т(и) задана на сегменте (и, и1, и пусть ее координаты т1(и), т2(и)., та(и) представляют собой интегрируемые на сегменте (а, д) функции.
Если е1., е2, е;1 — базисные векторы, то естественно положить по определению Ь Ь Ь Ь ) т (и) г)1т = е1 (' т1(и) е(и + ез /' т2(и) е(и + ез /' та(и) 11и. Отметим, что интеграл для функции т(и) может быть определен и непосредственно, как предел интегральных сумм для функции т(72). В полной аналогии с рассмотренным случаем могут быть введены и кратные интегралы от векторных функций. Заметим, что основные формулы и правила интегрирования скалярных функций могут быть перенесены на случай интегралов от векторных функций.
')Порядок малости аектора определяется как порядок малости его модуля. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРИВЫХ 429 9 2. Некоторые сведения из теории кривых 1. Регулярные кривые. В 9 1 гл. 11 вып. 1 этого курса говорилось о понятии кривой и о способах ее задания. Одним из способов задания кривой был указан параметрический способ, заключающийся в том, что координаты переменной точки кривой задаются как функции скалярной переменной параметра. Считая эти координаты координатами вектора, ведущего из начала координат в точку кривой, мы получим векторную функцию, годографоы которой является данная кривая. Таким образом, мы можем задавать кривую при помощи векторной функции одной скалярной перелленнойл, и этот способ равнозначен параметрическому способу задания кривой. Пусть кривая Ь задается посредством векторной функции т = = т(г) ) .
Допустим, что параметр 1 с помощью соотношения 1 = = 1(и), где 1(лг) -- строго возрастающая и непрерывная функция, заменяется другим параметром и. При этом функция т = т(г) превращается в новую функцию т = тл)(лл)) параметра н. Таким образом, .можно полу лить различные параметризации одной и той же кривой. Ъудем называть кривую Л регу.лярной (к раз дифференцируемой) без особых точек, если эта кривая допускает такую параьлетризацию с помощью параклетра 1, что векторная функция т = т(с) для некоторого целого г' > 1 Й раз дифферепцируема и т'Я ~ 0 для всех значений параметра й При 1 = 1 кривая называется г л а д к о й.
В этой главе мы будем рассматривать регулярные кривые без особых точек и те параметризации этих кривых, для которых т~(г) ф О. 2. Касательная к кривой. Пусть 1 кривая и Р фиксированная точка на ней (рис. 12.5). Проведем хорду РМ кривой. Прямая РС2, к которой стремится хорда РМ ~) при М э Р, называется касательной к Л в точке Р. Справедливо следующее утверждение. Гладкая кривая Л бев особых точек имеет в каждой точке Р касательную. Докажем, что касательной будет прямая РЯ, проходящая через точку Р параллельно вектору т'(1) (напомним, что т'(г) Р' О). В самом деле., вектор — параллелен хорде РМ (см. рис. 12.о) и Гзт г ьл при Ь вЂ” э 0 стремится к т'(г).
Отсюда вытекает, что угол между ') Векторная функция т = л ОО называется обычяо р а д и у с о м-в е ктором кривойЛ. е) Будем говорить, что прямая Рм стремится к прямой Рс2 при м — л Р, если утоп между этими прямыми стремится к нулю. 430 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ГЛ. ~2 ггрямой РМ и прямой РЦ стремится к нулю при М -э Р. Поэтому прямая Рс) яв.ляется касательной к кривой Л.
Утверждение доказано. Рис. 12.5 Рис. 12.6 Выведем векторное уравнение касательной к кривой Л в точке Р. Пусть г . радиус-вектор переменной точки Я на касательной в точке Р. Вектор РЯ = Я вЂ” гЯ коллинеарсн вектору т' (1), и поэтому Я вЂ” г(1) = иг~11). Отсюда мы получаем искомое уравнение касательной Я = т (т) + иг'(г), (12.5) в котором роль параметра играет величина и, а т--.фиксированнос значение параметра на кривой А, определяющее точку Р. 3. Соприкасающаяся плоскость кривой. Пусть РЯ касательная в точке Р к кривой Л (рис.
12.6). Через касательную Рс,1 тг точку М кривой гтроведем плоскость РЯМ. Плоскость к, к которой стремится плоскость РОМ 1) при М вЂ” э Р, называется соприкасающейся плоскостью к кривой Л в точке Р. Справедливо следующее утверждение. Регулярная (по крайней мере дваокды дифференцируе мал) кривая Ь без особых точек имеет соприкасающуюся плоскость в киоюдой точке., в которой векторы г'Я и глЯ не коллинеарны. Докажем, что соприкасающейся плоскостью будет плоскость я, проходящая через касательную РО„параллельно вектору глЯ. Очевидно, вектор п = ~г' (г) т" (г)] (12.6) будет вектором нормали к плоскости к, а вектор ти = — [г'(1)Ьг], Ьг = т (1+ 212) — г(1), (12.7) Лтэ ') Будем говорить, что плоскость РОМ стремится к плоскости я при М -э Р, если угол между этими плоскостями стремится к нулю.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ КРИВЫХ 431 (см. рис, 12.6) будет вектором нормали к плоскости РЯМ. Так как кривая Л дважды дифференпируема, то по формуле Тейлора ит = т'(1)~11+ 1 т" [1)Ь12 + и Ь12, [12 8) 2 где О бесконечно малая при юг -э О векторная функция. Из формул [12.6)- (12.8) вытекает, что тп = [т'(1)т" (1)) + 2[т'(1)сх) = и+ Д, [12.9) где,8 = 2[т'(1)гт) бесконечно малая при Ы вЂ” Р О векторная функция. Из соотношения (12.9) следует, что при М вЂ” Р Р вектор тп стремится к и, а следовательно, стремится к нулю и угол р между плоскостями РЯМ и я.
Поэтому плоскость я является соприкасающейся плоскостью к кривой в точке Р. Утверждение доказано. Выведем векторное уравнение соприкасающейся плоскости. Пусть 2ь радиус-вектор переменной точки л' этой плоскости. Векторы Ро' = ть — тЯ, т'[г) и т" Я параллельны соприкасающейся плоскости и поэтому хь — т[1) = ит'(1) + гтл[г). Отсюда мы получаем искомое уравнение соприкасающейся плоскости хь = т[г) + ит (г) + от [г), [12.10) в котором и и г аргументы векторной функции 2т, а 1-- фиксированное значение параметра на кривой Ь, определяющее точку Р. Получим уравнение соприкасающейся плоскости в другой форме.
Так как векторы 2ь — т(1), .т'(1), т [1) компланарны, то вектор хь удовлетворяет следующему уравнению: (ть — т(1))т'(1)т" (1) = О. [12. 11) Если Х, У, х координаты вектора Я [координаты переменной точки о' плоскости я), а х(г), д(г), л(1). координаты вектора т[1), то в координатной форме уравнение [12.11) запишется следующим образом: [12.12) Уравнение [12.12), очевидно, представляет собой уравнение соприкасающейся плоскости. 3 а м е ч а н и е. Соприкасающаяся плоскость определена нами геометрически с помощью предельного перехода, и поэтому в случае се су.шествования она будет единственна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
